第二节 常用逻辑用语
【课程标准】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词(全称量词)对全称量词命题(存在量词命题)进行否定.
教|材|回|顾
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的_______条件，q是p的_______条件
p是q的____________条件 p q且qp
p是q的____________条件 pq且q p
p是q的________条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ______________ x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) ______________
微|点|延|伸
1．会区分A是B的充分不必要条件(A B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B A且AB)两者的不同．
2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
4．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假．
小|题|快|练
1．(人A必一P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定是( )
A． x∈R， n∈N*，使得n＞x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＞x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＞x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＞x2
3．(苏教必一P46“探究拓展”素材发掘命题)《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”则“有之必然”表述的数学关系一定是( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．不能确定
4．(人A必一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是______________．
5．(人B必一P38T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
类型一 充分条件、必要条件的判定自练自悟
1.“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知复数z1和z2，则“z1>z2”是“z1－z2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．－1
1 B．x>－1
C．x<－1或01
充分、必要条件的三种判定方法
1．定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
2．集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
3．等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
类型二 充分条件与必要条件的应用
【例1】 (2025·沈阳模拟)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|(x－m－1)(x－2m＋1)<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．[－3,2] B．[－1,3]
C． D．
由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
【训练】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2025·河南联考)设p：0A． B．
C． D．
类型三 全称量词与存在量词
考向 ：含有量词的命题的否定
【例2】 (1)(多选题)下列说法正确的是( )
A．“正方形是菱形”是全称量词命题
B． x∈R，exC．命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x≤1，使得2x＋1≤5”
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：_________________.
全称量词命题与存在量词命题的否定
1．改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
2．否定结论：对原命题的结论进行否定．
考向 ：求参数的取值范围
【例3】 (1)命题“ x∈(1,2)，log2x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥0 B．a≥2
C．a≥1 D．a≤4
(2)若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法
1．巧用三个转化
(1)全称量词命题可转化为恒成立问题；
(2)存在量词命题可转化为存在性问题；
(3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题．
2．准确计算
通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.(多选题)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A． x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
2．已知命题p：对于任意x∈[1,2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0.若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________．
第二节 常用逻辑用语
必备知识·梳理
教材回顾
1．充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要
2．(1) (2)
3． x∈M，p(x) x∈M，綈p(x)
小题快练
1．B 解析 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立．故选B.
2．D 解析 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.
3．A 解析 由“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也”知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件．故选A.
4．任意一个偶数都不是素数
5．(－∞，3) 解析 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A?B，所以a＜3.
关键能力·落实
1．B 解析 解法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2,2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
解法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
2．A 解析 因为z1>z2，所以复数z1和z2是实数，所以z1－z2>0成立；当z1－z2>0时，例如(2－3i)－(－5－3i)＝7>0，z1，z2无法比较大小，所以“z1>z2”是“z1－z2>0”的充分不必要条件．故选A.
3．B 解析 “打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件．故选B.
4．D 解析 由x－>0可知>0，即或解不等式组可知x－>0的解集为{x|x>1或－10成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D.
【例1】 C 解析 由题意可得集合A＝[－3,4]，若m>2，则2m－1>m＋1，此时B＝(m＋1,2m－1)，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B?A，故所以2【训练】 (1)C 解析 由函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此由f(a)>f(b)得f(|a|)>f(|b|)，|a|<|b| a2f(b)”的充要条件．故选C.
(2)C 解析 因为0【例2】 (1)ABC 解析 对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e1，都有2x＋1>5”的否定为“ x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．故选ABC.
(2)至少有一个实数是无理数
【例3】 (1)B 解析 由题意得，当x∈(1,2)时，a>log2x恒成立，则a≥1，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥2.故选B.
(2)(－2,1) 解析 因为命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以“ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”为真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2【题组对点练】
1．AC 解析 A项，原命题的否定为 x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，因为x2－x＋＝2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B项，原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以该选项不符合题意；C项，原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－8＝－4<0，所以x2＋2x＋2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；D项，原命题的否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0，如x＝－1时，x3＋1＝0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意．故选AC.
2．(－2,1)∪(1，＋∞) 解析 若命题p为真，则对于任意x∈[1,2]，都有a≤(x2)min＝1，即a≤1；若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a2＋a－2≥0，解得 a≥1或a≤－2.若p与q都是真命题，则a≤－2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a>－2且a≠1.(共34张PPT)
第二节
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
常用逻辑用语
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
充分条件、必要条件的判定 自练自悟
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
充分条件与必要条件的应用
解析
解析
解析
类型三
全称量词与存在量词
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(二) 常用逻辑用语
基础过关
一、单项选择题
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x.则( )
A．p和q都是真命题
B．綈p和q都是真命题
C．p和綈q都是真命题
D．綈p和綈q都是真命题
2．命题“ x>0，ex＋e－x>2”的否定是( )
A． x≤0，ex＋e－x>2
B． x≤0，ex＋e－x>2
C． x>0，ex＋e－x≤2
D． x>0，ex＋e－x≤2
3．命题“ x>0，sin x－x≤0”的否定为( )
A． x≤0，sin x－x>0
B． x>0，sin x－x≤0
C． x>0，sin x－x>0
D． x≤0，sin x－x>0
4．“a2<1”是“a<2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知p： x∈[3,4)，x2－a≥0，则p成立的一个充分不必要条件可以是( )
A．a＜9 B．a＞9
C．a＜16 D．a＞16
6．下列命题是真命题的是( )
A．“a>1，b>1”是“ab>1”的必要条件
B． x∈R，ex>0
C． x∈R,3x>x3
D．a＋b＝0的充要条件是＝－1
7．在数列{an}中，“数列{an}是等比数列”是“a＝a1a3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2025·杭州一模)已知符号函数sgn(x)＝则“sgn(a)×sgn(b)>0”是“ab>0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．已知p： x∈R，x2－x＋1＝0，q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列说法正确的是( )
A．p是真命题
B．綈p： x∈R，x2－x＋1≠0
C．q是真命题
D．綈q：存在两个等边三角形，它们不相似
10．(2025·湖北名校联考)若命题“ x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1>0”是假命题，则k的值可能为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11．下列命题中正确的是( )
A．“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要条件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”
C．“幂函数y＝(m＋1)xm2＋m－1为反比例函数”的充要条件是“m＝0”
D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”
三、填空题
12．命题“ x∈R，|x|＋≥0”的否定是______．
13．若不等式|x|14．已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
素养提升
15．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝{x，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是( )
A．3或4 B．2或3
C．1或2 D．1或3
16．已知p： x1∈， x2∈，使得方程log2x1＋a＝x＋2成立，q： x1，x2∈[0,1]，不等式a＋3x2>恒成立．若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围是________________．
微练(二) 常用逻辑用语
1．B 解析 因为 x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以 x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题， 所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题，故选B.
2．D 解析 命题“ x>0，ex＋e－x>2”的否定是“ x>0，ex＋e－x≤2”．故选D.
3．C 解析 由题意知命题“ x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即 x>0，sin x－x>0.故选C.
4．A 解析 因为a2<1 －15．A 解析 因为a≤x2在区间[3,4)上恒成立，所以a≤9，所以结合选项可知p成立的一个充分不必要条件可以是a＜9.故选A.
6．B 解析 对于A，当a＝2，b＝1时，满足ab>1，但不满足a>1，b>1，故“a>1，b>1”不是“ab>1”的必要条件，故A为假命题；对于B，根据指数函数的性质可得，对于 x∈R，ex>0，故B为真命题；对于C，当x＝3时，3x＝x3，故C为假命题；对于D，当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故D为假命题．故选B.
7．A 解析 对于充分性，因为数列{an}是等比数列，所以＝，则a＝a1a3，所以充分性成立；对于必要性，数列{an}中，因为a＝a1a3，所以a1＝a2＝a3＝0符合条件，但数列{an}不是等比数列，若数列{an}的前4项依次为1,2,4,6，满足a＝a1a3，但数列{an}不是等比数列，所以必要性不成立．所以是充分不必要条件．故选A.
8．A 解析 若sgn(a)×sgn(b)>0，则sgn(a)，sgn(b)同号，所以或即或即ab>0，所以“sgn(a)×sgn(b)>0”是“ab>0”的充要条件．故选A.
9．BCD 解析 对于方程x2－x＋1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以方程x2－x＋1＝0无解，故p是假命题，故A错误；綈p： x∈R，x2－x＋1≠0，故B正确；任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确；綈q：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确．故选BCD.
10．AB 解析 由题知“ x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1≤0”是真命题，当k2－1＝0时，k＝±1.k＝1时，－1<0恒成立，k＝－1时， x∈R，－4x－1≤0不恒成立．当k2－1<0时，Δ＝4(k－1)2＋4(k2－1)≤0，得0≤k<1.综上，0≤k≤1，故选AB.
11．BCD 解析 对于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要条件，故A错误；对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，则解得m<0，满足必要性，当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；对于C，若幂函数y＝(m＋1)xm2＋m－1为反比例函数，则解得m＝0，满足必要性，当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，所以“幂函数y＝(m＋1)xm2＋m－1为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则112． x∈R，|x|＋<0 解析 存在量词命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“ x∈R，|x|＋≥0”的否定是“ x∈R，|x|＋<0”．
13．2 解析 由不等式|x|0时，不等式|x|14．[9，＋∞) 解析 ≤2 |x－4|≤6 －2≤x≤10，于是得p：x∈[－2,10]．当m>0时，x2－2x＋1－m2≤0 1－m≤x≤1＋m，于是得q：x∈[1－m,1＋m]．因为綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此[－2,10]?[1－m,1＋m]，则有或解得m≥9.
15．C 解析 因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0<Δx<2}＝{x，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得Δ∈，故“Δ”中的数字可以是1或2.故选C.
16. 解析 对于p，当x1∈时，log2x1＋a∈(a－1，a＋1)，当x2∈时，x＋2∈.若p为真命题，则(a－1，a＋1) ，即解得≤a≤5.对于q，当x1，x2∈[0,1]时，a＋3x2∈[a，a＋3]，∈[1,4]，若q为真命题，则(a＋3x2)min>()max，则a>4.由题意，若p为真命题，q为假命题，则得≤a≤4，则实数a的取值范围为.(共27张PPT)
微练(二)
常用逻辑用语
基础过关
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