第三节 等式性质与不等式性质
【课程标准】 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念；2.会比较两个数(式)的大小；3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
教|材|回|顾
1．两个实数比较大小的方法
作差法(a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么_____________________________；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么________；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么________．
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b ________；
性质2 传递性：a>b，b>c ________；
性质3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________；
性质5 同向可加性：a>b，c>d ______________；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ________；
性质7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
微|点|延|伸
不等式的两类常用性质
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a>b>0,0
；
(3)02．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数的性质
<，>(b－m>0)；
(2)假分数的性质
>，<(b－m>0)．
小|题|快|练
1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M≥N
C．M2．(人A必一P43T8改编)已知非零实数a，b满足aA．ln a
C．a23．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是( )
A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy
C．x2<－xy－xy>y2
4．已知a>0，－15．(人A必一P43T5改编)已知2类型一 比较数(式)的大小
【例1】 (1)(2025·石家庄调研)已知a＝e，b＝，c＝，则( )
A．aC．b(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
比较大小的常用方法
1．作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
2．作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
3．构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【训练1】 (1)已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则( )
A．P≤Q B．P＝Q
C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．c类型二 不等式的基本性质
【例2】 (1)(2025·北京朝阳区模拟)若a>0>b，则( )
A．a3>b3 B．|a|>|b|
C．< D．ln(a－b)>0
(2)(多选题)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是( )
A．> B．a－c>2b
C．a2>b2 D．ab＋bc>0
解决此类题目常用的三种方法
1．直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件．
2．利用特殊值排除法．
3．利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断．
【训练2】 (1)若a，b，c为实数，且aA．ac2C．> D．a2>ab>b2
(2)(多选题)若<<0，则( )
A．|a|<|b| B．acC．>0 D．0<<1
类型三 不等式性质的应用
【例3】 (1)已知6A．<< B．21C．－12(2)某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为________．
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
【训练3】 (1)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
(2)已知2A． B．
C． D．
第三节 等式性质与不等式性质
必备知识·梳理
教材回顾
1．> ＝ <
2．b＝a a＝c ＝
3．bc ac>bc acb＋d ac>bd
小题快练
1．A 解析 因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A.
2．D 解析 对于A，当ab2，故C错误；对于D，当a3．D 解析 因为x＋y<0，y>0，所以x<－y<0－xy.在不等式x<－y两边同时乘以y，得xy<－y2，则－xy>y2.所以x2>－xy>y2.故选D.
4．ab0，－15．(－2,1) 解析 因为－2关键能力·落实
【例1】 (1)A 解析 因为2c－2b＝e－2＋1＝(－1)2>0，所以2c>2b，即c>b；又因为(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)>0，所以(2b)4>(2a)4，又a，b均为正数，所以2b>2a，即b>a，所以a(2)eπ·πe＜ee·ππ 解析 ＝＝π－e，又0＜＜1,0＜π－e＜1，所以π－e＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ.
【训练1】 (1)C 解析 P－Q＝－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋2≥0，所以P－Q≥0，即P≥Q.故选C.
(2)B 解析 解法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即c解法二：构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，由f′(x)>0，得0e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.故选B.
【例2】 (1)A 解析 因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，<不成立，故B，C错误；取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误．故选A.
(2)BC 解析 对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，A错误；对于B，因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，a－b>0，所以b＋c＝－a<0，所以a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；对于C，因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误．故选BC.
【训练2】 (1)D 解析 当c＝0时，A不成立；－＝>0，即>，B错误；－＝＝<0，即<，C错误；由aab>b2，D正确．故选D.
(2)ACD 解析 由<<0，得c≠0.当c>0时，由<<0，得<<0，即b>0，即b>a>0，所以0<<1，故A，D正确；由<<0，得－＝<0，且a与b同号，即ab>0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，故C正确；由ac【例3】 (1)C 解析 A，因为15(2)12 解析 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1,2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.
【训练3】 (1) 解析 因为0<β<，所以－<－β<0，又0<α<，所以－<α－β<，又β<α，所以α－β>0，即0<α－β<.
(2)B 解析 原式分子和分母同时除以x，得＝，由条件得2<－2y<6，<<，所以<－<，即<－<3，所以<1－<4，所以<<.故选B.(共31张PPT)
第三节
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
等式性质与不等式性质
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
比较数(式)的大小
解析
解析
解析
解析
类型二
不等式的基本性质
解析
解析
解析
解析
类型三
不等式性质的应用
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(三) 等式性质与不等式性质
基础过关
一、单项选择题
1．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
B．MC．M≤N
D．M，N大小关系不确定
2．若ad>0，则一定有( )
A．> B．<
C．> D．<
3．已知－3＜a＜－2,3＜b＜4，则的取值范围为( )
A．(1,3) B．
C． D．
4．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－2.5]＝－3.若[x－2]＝－1，则x的取值范围为( )
A．(0,1] B．[0,1)
C．(1,2] D．[1,2)
5．“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若c>b>a>0，则( )
A．abbc>acbb B．2ln bC．a－>b－ D．logac>logbc
二、多项选择题
7．已知a>b>c，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋b>2c B．a－b>b－c
C．ac>bc D．<
8．若0c>1，则( )
A．a>1 B．>
C．ca－1三、填空题
9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N(填“＞”“＜”或“＝”)．
10．若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>.
请写出一组a，b的值________．
11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．
四、解答题
12．已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小．
13．(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
(2)已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
素养提升
14．(多选题)(2025·济南联考)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是( )
A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1
C．a2>4b D．>b＋1
15．若关于x的不等式a－2<2a－x<只有一个整数解2，则实数a的取值范围为________．
16．已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
微练(三) 等式性质与不等式性质
1．B 解析 M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，所以M2．D 解析 由题知ad>0，则可取a＝－2，b＝－1，c＝2，d＝1，则＝＝－1，＝＝－1，故A错误，B错误；由于ad>0，得－a>－b>0，c>d>0，则两式相乘得－ac>－bd，则不等式左右两边同时除以cd得>，再同时除以－1得<，故C错误，D正确．
3．A 解析 因为－3＜a＜－2，所以44．D 解析 由题意得解得1≤x<2.故选D.
5．A 解析 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当06．A 解析 由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确；2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；由于a－－＝(a－b)<0，故C错误；令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误．故选A.
7．AD 解析 根据a>b>c，取a＝1，b＝0，c＝－1，则可排除BC.因为a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，所以a＋b>2c；因为－＝<0，所以<.故选AD.
8．AD 解析 对于A，因为b>c>1，所以>1，又00＝1，A正确；对于B，若>，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0c>1矛盾，B错误；对于C，因为0c>1，所以ca－1>ba－1，C错误；对于D，因为0c>1，所以logca9．＞ 解析 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，故M＞N.
10．a＝－1，b＝2(答案不唯一) 解析 容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．
11．(2,10) 解析 因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，又1<α<3，所以2<2α<6，所以2<2α＋|β|<10.
12．解 ＋－＝＋＝(a－b)·＝.因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，所以≥0.所以＋≥＋.
13．证明 (1)因为bc≥ad，＞0，所以≥，所以＋1≥＋1，所以≤.
(2)因为c＞a＞b＞0，所以c－a＞0，c－b＞0.因为a＞b＞0，所以＜.又因为c＞0，所以＜，所以＜，又c－a＞0，c－b＞0，所以＞.
14．ABC 解析 对于A，因为b≠0，所以a>|b|＋1>0＋1＝1，所以a2>(|b|＋1)2＝|b|2＋2|b|＋1>b2＋1，故A正确；对于B，因为a>|b|＋1≥b＋1，所以2a>2b＋1，故B正确；对于C，由A可得a2>b2＋2|b|＋1，则a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b≥b2＋2|b|＋1－4|b|＝(|b|－1)2≥0，所以a2>4b，故C正确；对于D，令a＝4，b＝2，满足a>|b|＋1，但15. 解析 由a－2<2a－x<可得2a－16．M>N 解析 解法一：M－N＝－＝＝＝>0.所以M>N.
解法二：令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，所以f(2 023)>f(2 024)，即M>N.(共22张PPT)
微练(三)
等式性质与不等式性质
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