微练(四) 基本不等式
基础过关
一、单项选择题
1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
2．当x>1时，函数f(x)＝的最大值为( )
A． B．
C．1 D．2
3．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A． B．4
C． D．2
4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
5．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
6．已知a，b为正实数，且a＋2b＝1，则＋的最小值为( )
A．1＋2 B．2＋2
C．3＋2 D．4＋2
7．(2025·南宁模拟)某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
8．(2025·西安模拟)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
二、多项选择题
9．下列不等式一定成立的有( )
A．≥2
B．2x(1－x)≤
C．x2＋≥2－1
D．＋≥2
10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A．＋有最小值4
B．ab有最小值
C．＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
三、填空题
11．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________．
12．若0
13．(2025·湖南联考)若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为________．
素养提升
14．(多选题)(2025·重庆调研)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论正确的是( )
A．xy的取值范围是(0,9]
B．x＋y的取值范围是[2,3)
C．x＋2y的最小值是4－3
D．x＋4y的最小值是3
15．已知a>0，b>0，c>1，a＋2b＝2，则c＋的最小值为( )
A． B．2
C．6 D．
16．某公司生产的某批产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p＝(其中0≤x≤a，a>0)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)设a>2，当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
微练(四) 基本不等式
1．D 解析 易知只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，所以a22．A 解析 因为x>1，故f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时，取等号，故f(x)＝的最大值为.故选A.
3．C 解析 因为4＝2a＋b≥2，所以04．A 解析 因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．故选A.
5．D 解析 y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时取等号．故选D.
6．D 解析 正实数a，b满足a＋2b＝1，则＋＝(a＋2b)＋＝1＋(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝，即a＝b＝－1时取等号，所以当a＝－1，b＝1－时，＋取得最小值4＋2.故选D.
7．C 解析 设该设备年平均费用为y，由题意可得，y＝＝＋＋(x∈N*)，因为x>0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C.
8．B 解析 由＋≥，得m≤(a＋3b)·＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，所以m≤12，所以m的最大值为12，故选B.
9．CD 解析 对于A，当x<0时，<0，故A不一定成立；对于B,2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－22＋≤，故B不一定成立；对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时取等号，故C一定成立；对于D，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故D一定成立．故选CD.
10．AC 解析 因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故＋有最小值4，故A正确；由基本不等式可得a＋b＝1≥2(当且仅当a＝b时取等号)，所以ab≤，故ab有最大值，故B不正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2(当且仅当a＝b时取等号)，所以＋≤，故＋有最大值，故C正确；因为a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝(当且仅当a＝b时取等号)，故a2＋b2有最小值，故D不正确．故选AC.
11．2 解析 因为log2m＋log2n＝1，即log2(mn)＝1，所以mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n＝时等号成立，故m＋n的最小值是2.
12．2 解析 因为013．8 解析 由a>0，b>0，a＋b＝9，得＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝6，b＝3时等号成立，故＋的最小值为8.
14．BC 解析 对于A，因为x>0，y>0，x＋y＋xy－3＝0，所以3－xy＝x＋y≥2，所以0<≤1，即00，y>0，得x＋y≥2.又3－(x＋y)＝xy>0，所以x＋y<3，即2≤x＋y<3，故B正确．对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝＝－1＋，所以x＋2y＝－1＋＋2y＝＋2(y＋1)－3≥2－3＝4－3，当且仅当＝2(y＋1)，即y＝－1时等号成立，故C正确．对于D，由C选项知x＝－1＋，则x＋4y＝－1＋＋4y＝＋4(y＋1)－5≥2－5＝3，当且仅当＝4(y＋1)，即y＝0或y＝－2时等号成立，而y>0，故不能取等号，所以x＋4y>3，故D不正确．综上所述，选BC.
15．D 解析 ＋＝(a＋2b)＝≥×(5＋4)＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故c＋≥(c－1)＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即c＝且a＝b＝时，等号成立，故最小值为.故选D.
16．解 (1)由题意可知，y＝p－x－6，将p＝代入化简得y＝19－－x(0≤x≤a)．
(2)因为19－－x＝22－≤22－3＝10，当且仅当＝x＋2，即x＝2时，取等号．故当a>2，促销费用投入2万元时，公司利润最大．