第五节 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数
【课程标准】 1.掌握二次函数的图象与性质；2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题.
教|材|回|顾
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝________________.
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
2．二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) y＝ax2＋bx ＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ______
值域
对称轴 x＝________
顶点坐标 ____________________________
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是____函数；在上是____函数 在上是____函数；在上是____函数
微|点|延|伸
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况
(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f.
(2)若－ [m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
2．当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．
小|题|快|练
1．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝－2(x＋1)2＋3
2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
3．函数f(x)＝x2－2x＋4，x∈[0,3]，则函数f(x)的最大值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝________.
5．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________．
类型一 二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且f(0)＝0，顶点的纵坐标为1，求f(x)的解析式．
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【训练1】 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为__________________.
类型二 二次函数的图象
【例2】 (多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论正确的为( )
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【训练2】 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是( )
(2)(多选题)已知函数f(x)＝4ax2＋2bx＋c(a≠0)满足f＝0，且f(0)>0，f(1)>0，则下列不等式一定正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．f(－1)>0
类型三 二次函数的性质
【例3】 已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【训练3】 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
第五节 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)ax2＋bx＋c(a≠0) (2)(m，n)
2．R － 减 增 增 减
小题快练
1．D 解析 设所求函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝－1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.故选D.
2．C 解析 因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0.只有选项C符合，故选C.
3．D 解析 f(x)的对称轴为直线x＝1，所以f(x)max＝f(3)＝7.故选D.
4．2 解析 因为f(0)＝f(2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．所以x1＋x2＝2×1＝2.
5．(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析 依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40.
关键能力·落实
【例1】 解 解法一(一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，f(0)＝0，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，f(1)＝1，故有 所以f(x)＝－x2＋2x.
解法二(零点式)：由已知易得f(2)＝f(0)＝0，所以f(x)＝0的两根分别为0,2.所以可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．又因为f(1)＝1，可得a＝－1，所以f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.
解法三(顶点式)：由已知，可得顶点为(1,1)，所以可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.又由f(0)＝0，可得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
【训练1】 f(x)＝x2－4x＋3 解析 依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，所以16－＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3.
【例2】 AD 解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确．对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，B错误．结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误．由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD.
【训练2】 (1)D 解析 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B.故选D.
(2)ACD 解析 解法一：由题可知，f(0)＝c>0，故C正确；f(1)＝4a＋2b＋c>0 ①，f＝a＋b＋c＝0，所以b＝－a－c，代入①，得4a＋2(－a－c)＋c>0，即2a－c>0，所以2a>c>0，所以a>0，故A正确；因为a＋b＋c＝0，a>0，c>0，所以b<0，故B错误；f(－1)＝4a－2b＋c＝4a－2(－a－c)＋c＝6a＋3c>0，故D正确．故选ACD.
解法二：根据题意，可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，数形结合，易知选ACD.
【例3】 解 (1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2，a>0，解得0
(2)①当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1.③当>2，即0【训练3】 解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2,3]，所以f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.(共30张PPT)
第五节
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
二次函数
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
二次函数的解析式
解
解
解析
类型二
二次函数的图象
解析
解析
解析
解析
类型三
二次函数的性质
解
解
解
解
解
R
赢在欲点
y
y个
y个
A
B
D
y
I
I
I
I
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I
I
I
I
I
I
A
-3-1
0
X
0
2
1
X微练(五) 二次函数
基础过关
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
3．函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
4．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )
5．已知f(x)＝－x2＋2ax＋1，则( )
A．f(a)>f(a－1)>f(a＋1)
B．f(a)>f(a－1)＝f(a＋1)
C．f(a)D．f(a＋1)>f(a－1)>f(a)
6．已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．(2,3)
二、多项选择题
7．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
8．(2024·宜昌质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是( )
A．a＜1
B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
三、填空题
9．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.
10．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
11．(2024·江西赣州模拟)已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时，y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的取值范围是________．
四、解答题
12．(2025·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
13．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
素养提升
14．(2025·陕西联考)已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是( )
A．[－，] B．[1，]
C．[2,3] D．[1,2]
15．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[－1，＋∞)
16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k的取值范围．
微练(五) 二次函数
1．A
2．B 解析 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.故选B.
3．A 解析 易知函数y＝x2－2ax＋3的单调递减区间是(－∞，a]，故a≥3.故选A.
4．C 解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.
5．B 解析 函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝a，故f(a)>f(a－1)＝f(a＋1)．故选B.
6．B 解析 易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B.
7．AB 解析 A中，a<0，b<0，c<0，所以abc<0，符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，所以abc<0，符合题意；C中，a>0，b>0，c>0，所以abc>0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，所以abc>0，不符合题意．故选AB.
8．ABC 解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)的对称轴为直线x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(|x|)＝x2－2|x|有3个零点，故D不正确．故选ABC.
9．9或25 解析 y＝82＋m－7－8·2，因为值域为[0，＋∞)，所以m－7－8·2＝0，所以m＝9或25.
10．[－2,0] 解析 当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0；当x>1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2.综上，实数m的取值范围是[－2,0]．
11．[0,1] 解析 解法一：设cos x＝t(－1≤t≤1)，y＝f(t)＝(t－a)2－1，画出f(t)的图象如图，由图易知0≤a≤1.
解法二：设cos x＝t(－1≤t≤1)，y＝f(t)＝(t－a)2－1，由题意知即所以0≤a≤1.
12．解 当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝.①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝－＝－.②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝＜0，所以f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝
13．解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0)．当a＞0时，f(x)在[2,3]上单调递增，故 当a＜0时，f(x)在[2,3]上单调递减，故
(2)因为b＜1，所以a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，因为g(x)在[2,4]上单调，所以≤2或≥4，解得m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
14．B 解析 由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，因为f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，所以t≥1，所以当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，所以1－(－t2＋1)≤2，得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，]，故选B.
15．B 解析 由题意a≤2(否则有f(a)＝－2a2<0不符合题意)，则x>2时，f(x)＝x2－ax－2a2的对称轴为直线x＝≤1.f(x)>f(2)＝4－2a－2a2≥0解得－2≤a≤1，故选B.
16．解 (1)由题意知解得所以f(x)＝x2＋2x＋1.由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k微练(五)
二次函数
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