第2课时 一元二次不等式的解法
【课程标准】 1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.会求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
教|材|回|顾
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式解集 a
b
(x－a)(x－b)>0 {x|xb} __________ __________
(x－a)(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
微|点|延|伸
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
小|题|快|练
1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
2．(人B必一P85复习题B组T8改编)设x∈R，则“>0”是“|x－1|<4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x，则a＋b＝________.
4．一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．(人A必一P55练习T2改编)如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形土地上进行绿化，计划四周种植花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间种植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________．
类型一 一元二次不等式的解法自练自悟
1.不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A．
B．(－∞，－1)∪
C．
D．∪(1，＋∞)
2．不等式<1的解集为________．
3．不等式－14．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式(a>0)；②确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根；③结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边能因式分解，则可直接写出不等式的解集.
类型二 三个“二次”的关系
【例1】 (1)不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x
B．{x
C．{x|－2D．{x|x<－2，或x>1}
(2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________．
1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
【训练1】 (1)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1,2)，则不等式>0的解集为( )
A．(－4,2)∪(3，＋∞)
B．(－3,2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2,4)
D．(－∞，－4)∪(2,3)
(2)(多选题)(2025·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则( )
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b类型三 一元二次不等式恒成立问题
【例2】 (1)已知mx2＋2mx＋1>0恒成立，求m的取值范围．
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
(3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)；
(2)转化为函数值域问题，即f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a，b])，f(x)≤0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a，b])．
【训练2】 (1)已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．[－1,2)
(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
第2课时 一元二次不等式的解法
必备知识·梳理
教材回顾
3．{x|x≠a} {x|xa} {x|b小题快练
1．A 解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.
2．A 解析 由>0，得(x－5)(2－x)>0，得(x－5)(x－2)<0，解得20”是“|x－1|<4”的充分不必要条件，故选A.
3．－14 解析 依题意知解得故a＋b＝－14.
4．(－4,0) 解析 依题意知即解得－4＜a＜0.
5．(0,1) 解析 由题意，花卉带的宽度为x(0×8×6，整理得x2－7x＋6>0，即(x－6)(x－1)>0，又0关键能力·落实
1．B 解析 －2x2＋x＋3<0可化为(2x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>.故选B.
2．{x|－73．{x|－3≤x<－2，或00；由②，得－3≤x≤1.画出数轴，如图，
可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或04．解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.当a>1时，0<<1，解得1，解得11时，原不等式的解集为{x.
【例1】 (1)A 解析 不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，即2x2＋x－1>0，解得x<－1或x>，所以不等式2x2＋bx＋a>0的解集为{x.故选A.
(2) 解析 解法一：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝.
解法二：由x2－2ax－8a2<0(a>0)得，(x－4a)(x＋2a)<0，即－2a【训练1】 (1)B 解析 关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1,2)，则方程x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，则即则>0可化为>0，整理得>0，可得－34，故选B.
(2)ABD 解析 根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0)．对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0，即有a2－b2≤4，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，即b＝时等号成立，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD.
【例2】 解 (1)①当m＝0时，1>0显然恒成立；②当m≠0时，由题意知 0(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，因为该不等式对任意实数x恒成立，所以Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．
(3)设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得【训练2】 (1)D 解析 当a＝－1时，3>0恒成立，符合题意；当a≠－1时，需满足解得－1(2)D 解析 解法一：当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2时，a≥恒成立，则a≥max，由于＝x＋，而y＝x＋在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≥.故选D.
解法二：令f(x)＝x2－ax＋1，x∈[1,2]，因为当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以f(x)max≤0，所以即解得a≥.故选D.(共37张PPT)
第五节
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
一元二次不等式的解法
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
一元二次不等式的解法 自练自悟
解析
解析
解析
解
类型二
三个“二次”的关系
解析
解析
解析
解析
类型三
一元二次不等式恒成立问题
解
解
解
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y
x1
0
X2
X
y个
0
X1=X2
X
y个
0
X
x
X微练(六) 一元二次不等式的解法
基础过关
一、单项选择题
1．已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝{x，则A∩B＝( )
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)
2．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为{x，则m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)
3．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( )
A．x>1或x<
B．x>1或－1C．－1D．x<－1或x>
4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x，则f(ex)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－ln 3}
B．{x|－1C．{x|x>－ln 3}
D．{x|x<－ln 3}
5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－26．已知函数f(x)＝ax2－2x＋a，对x∈都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．
C． D．
二、多项选择题
7．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为( )
A． B．(－1，a)
C．(a，－1) D．(a，＋∞)
8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x，则下列结论正确的是( )
A．a>0
B．c<0
C．a＋b>0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3三、填空题
9．不等式≥2的解集为________．
10．已知对任意x∈[－1,1]，使得不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为________．
四、解答题
12．求下列关于x的不等式的解集：
(1)≤1；
(2)若a<3，求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．
13．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
素养提升
14．(2025·浙江联考)若关于x的不等式3x2－(a＋2)x－3>0在区间内有解，则a的取值范围是( )
A． B．(－∞，－10)
C．(－∞，－2) D．
15．若不等式－2A．－2 B．－1
C．0 D．1
16．若函数y＝f(x)在定义域内存在实数x使得f(－x)＝－kf(x)，其中k∈Z，则称函数y＝f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”，对于任意的实数t∈(－∞，3]，函数f(x)＝x2－2x＋t恒为R上的“k阶局部奇函数”，则k的取值集合是________．
微练(六) 一元二次不等式的解法
1．B 解析 由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－12．D 解析 由已知y＝(mx－1)(x－2)是开口向下的抛物线，所以m<0.故选D.
3．B 解析 原不等式等价于或所以或所以x>1或－14．D 解析 由已知f(x)>0的解集为，所以f(ex)>0的解为－15．C 解析 由题意得解得a＝－1，c＝－2.则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.其图象为开口向下，对称轴为x＝的抛物线，由－x2＋x＋2＝0，可得x＝－1或2，即f(－x)的图象与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，故只有C项符合题意．
6．A 解析 由题意知函数f(x)＝ax2－2x＋a，对x∈都有f(x)≥0成立，即ax2－2x＋a≥0对x∈恒成立，即a≥＝，对x∈恒成立，等价于a≥max在x∈上恒成立．设g(x)＝x＋，由于g(x)＝x＋在上单调递减，在[1,2]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝2，则≤1，当且仅当x＝1时等号成立，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞)．故选A.
7．ABC 解析 根据题意，易知a≠0，当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)．当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为 ；若－18．BC 解析 由题意得，a<0，和1是方程 ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确；不等式 cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0，即x2－4x＋3<0，解得19．?x 解析 因为≥2，则－2＝≥0，等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)，解得－210. 解析 因为对任意x∈[－1,1]，不等式x2－x＋≥m恒成立．所以min≥m，x∈[－1,1]，设y＝x2－x＋，x∈[－1,1]，因为y＝x2－x＋＝2＋，所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1,1]取最小值，最小值为，所以m≤，故实数m的取值范围是.
11．[－1,0)∪(8,9] 解析 不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0.设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x18 或k<0，所以－1≤k<0或812．解 (1)由≤1，得≤0，故≥0，则(2x－3)(x－1)≥0且x≠1，解得x<1或x≥.故≤1的解集为(－∞，1)∪.
(2)ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0，当a＝0时，不等式为x－1<0，不等式的解集为{x|x<1}；当a<0时，不等式化为(x－1)<0，不等式的解集为{x；当01，不等式化为(x－1)>0，不等式的解集为{x.综上，当a<0时，不等式的解集为{x；当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；当013．解 (1)根据题意得解得
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0 x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为 ；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．综上，当a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，原不等式的解集为 ；当a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
14．D 解析 因为x∈，所以由不等式3x2－(a＋2)x－3>0得a＋2<＝3x－，不等式3x2－(a＋2)x－3>0在区间内有解，只需a＋215．C 解析 因为不等式－2－2，解得m2<.又x2＋mx－m2＝1的两个根为n,2，所以解得或当时，不符合m2<，故舍去，所以所以m－n＝0.故选C.
16．{－3，－2，－1} 解析 由题意得，函数f(x)＝x2－2x＋t恒为R上的“k阶局部奇函数”，即f(－x)＋kf(x)＝0在R上有解，则有(－x)2－2(－x)＋t＋k(x2－2x＋t)＝0在R上有解，即(k＋1)x2＋(2－2k)x＋(k＋1)t＝0有解，当k＝－1时，x＝0∈R，满足题意；当k≠－1时，对于任意的实数t∈(－∞，3]，Δ＝(2－2k)2－4(k＋1)2t≥0，则4(k＋1)2·3－(2－2k)2≤0，解得－2－≤k≤－2＋，又k∈Z，故k∈{－3，－2，－1}．(共30张PPT)
微练(六)
一元二次不等式的解法
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素养提升
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