微练(七) 一元二次方程根的分布
一、单项选择题
1．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有2个正根，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－1,0) D．(－1,1)
2．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的值可能为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
3．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．
5．若函数f(x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(7，＋∞)
D．(－∞，－3)
二、填空题
6．已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是________．
7．若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为________；若它有一个正根和一个负根，则k的取值范围为________．
8．已知关于x的方程m·22x＋(2m－1)·2x＋m＝0在(－∞，1)上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为________．
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a有两个零点x1，x2(x1
10．设函数f(x)＝－cos 2x＋asin x＋a＋，若方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
微练(七) 一元二次方程根的分布
1．A 解析 设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝82＋.两根都大于0，应满足解得02．B 解析 令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1，由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0，即(m＋2)(2m＋1)<0，解得－23．C 解析 依题意并结合函数f(x)的图象(图略)可知，即解得4．D 解析 当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)<0或②或③或④解①得－5．C 解析 设t＝2x，则t>0，则问题转化为函数g(t)＝t2－mt＋m＋3有两个不同的零点t1，t2，且t1∈(1,2)，t2∈(4，＋∞)，所以即解得m>7.故选C.
6．(0,3－2)∪(3＋2，＋∞) 解析 依题意有即解得03＋2.
7.∪(3，＋∞) (0,3) 解析 当两根都为负数时，解得k≤－或k>3.若有一个正根和一个负根时，依题意有k≠0且<0 08. 解析 令t＝2x，当x∈(－∞，1)时，t∈(0,2)．显然m≠0，问题转化为方程mt2＋(2m－1)t＋m＝0在(0,2)上有两个不相等的实数根，其充要条件为即解得9．解 因为二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a有两个零点x1，x2(x10，x1<－a.因为函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a在上单调递减，在上单调递增，且所以所以所以10．(－3,6－6) 解析 f(x)＝－(1－2sin2x)＋asin x＋a＋＝3sin2x＋asin x＋a＋3，令sin x＝t，当x∈(0，π)时，t∈(0,1]，令h(t)＝3t2＋at＋a＋3，当0微练(七)
一元二次方程根的分布
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解
R
赢在欲点微专题强化一 一元二次方程根的分布
专|题|梳|理
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
①二次函数图象的开口方向．②对应一元二次方程根的判别式．③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系．④二次函数在所给区间端点处函数值的正负．具体如下：
1．一元二次方程的根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.
(1)两个正根：
(2)两个负根：
(3)一正根一负根：x1x2＝<0.
2．一元二次方程的根的非零分布——k分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干情况：
(1) af(k)<0.
(2)
(3)
(4) f(k1)·f(k2)<0(f(k1)或f(k2)为0的情况另算)．
(5) 或
典|型|例|题
【例1】 m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4满足下列条件：
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且一个零点小于－1，另一个零点大于－1；
(3)有两个零点且均比－1大．
【例2】 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．
【训练】 关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在(－2,0)内，另一个根在(0,4)内；
(4)一个根小于2，一个根大于4；
(5)两个根都在(0,2)内．
微专题强化一 一元二次方程根的分布
【例1】 解 (1)由f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，可知方程f(x)＝0有两个相等实根，故Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.
(2)f(－1)＝1－2m＋3m＋4<0，解得m<－5.
(3)由题意，知即解得－5【例2】 解 (1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，
得
即解得－(2)
依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图，得即解得－【训练】 解 令f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，
(1)由题意得解得0(2)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f(1)＝2m－2<0，解得m<1.
(3)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(0,4)内，则解得－(4)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则解得m<－.
(5)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两个根都在(0,2)内，则解得一元二次方程根的分布
微专题强化一
专|题|梳|理
典|型|例|题
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
R
赢在欲点
y个
y
a>0
f(k)>0
k
1
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X2
X
X1
0
k
七2
X
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y
y
b
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a>0
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2a
k
k x1
X2
X
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b
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b
a>0
1
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X2
k
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X2
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X
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y
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1
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0
1
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