2024-2025学年北师大版八下数学期末模拟试卷（含解析）

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2024-2025学年北师大版八下数学期末模拟试卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（每小题3分，共12分）
1．（2024秋 思明区期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1
2．（2024秋 锦江区校级期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024
C．由ab＞ac，得b＜c D．由，得b＞c
3．（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　）
A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5
4．（2024秋 西安期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2
5．（2024秋 怀仁市期末）综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC的道路AB上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．下列方案能满足项目要求的是（　　）
A．B． C．D．
6．（2024春 孝感期末）若关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围为（　　）
A．m≥﹣1 B．m＜1 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1
7．（2024秋 任城区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2
题7 题9 题12
A．6 B．9 C．18 D．24
8．（2024秋 香河县期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
9．（2024秋 临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2024秋 孝昌县期末）已知x2﹣3x+2＝0，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024秋 青山湖区校级期末）▲若分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣8
12．（2024秋 福山区期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn n的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（2022秋 渌口区期末）若分式的值为0，则x的值为 　 　 ．
14．（2024春 五华县期末）如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是 　 　 ．
15．（2021春 中牟县期末）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 　 　 cm．
题15 题17 题23
16．（2024秋 醴陵市期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　 ．
17．（2024秋 章丘区期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE相交于点P，DF与CE相交于点Q，若，则阴影部分四边形EPFQ的面积为
　 　 cm2．
18．（2025春 昆明期中）已知直角坐标系内有四个点A（0，0），B（5，0），C（2，3），D（x，y），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：　 　 ．
三．解答题（共60分）
19．（8分）（2024秋 内乡县期末）分解因式：
（1）﹣9x3y+6x2y2﹣xy3；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）．
20．（8分）（2021秋 石泉县期末）解分式方程：2．
21．（8分）（2024秋 平邑县期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　 　 ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ．
②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．（8分）（2025 龙凤区校级三模）先化简，再求值：，其中．
23．（8分）（2025 镇江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE＝CE，BC＝2AB，BC＝6，求四边形AECF的面积．
24．（10分）（2025 成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
25．（10分）（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
2024-2025学年北师大版八下数学期末模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2024秋 思明区期末）要使分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1
【答案】D
【分析】根据分式的分母不为零求解即可．
【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣1≠0，即x≠1，
故选：D．
2．（2024秋 锦江区校级期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＞b，得am＞bm
B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024
C．由ab＞ac，得b＜c
D．由，得b＞c
【答案】D
【分析】不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此逐项分析判断即可．
【解答】解：根据不等式的基本性质逐项分析判断如下：
A．由a＞b，若m＞0，则可得am＞bm，故本选项变形错误，不符合题意；
B．由a＞b，得a﹣2024＞b﹣2024，故本选项变形错误，不符合题意；
C．由ab＞ac，若a＜0，则可得b＜c，故本选项变形错误，不符合题意；
D． ，因为a2+1＞0，所以可得b＞c，故本选项变形正确，符合题意．
故选：D．
3．（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　）
A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5
【答案】D
【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得：BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，AD＝3，
∴BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6，
∵△ACE的周长为9.5
∴AC+AE+EC＝9.5，
∴AC+BE+EC＝9.5，
∴AC+BC＝9.5，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝9.5+6＝15.5，
故选：D．
4．（2024秋 西安期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2
【答案】B
【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
B、﹣x2﹣y2不符合平方差公式结构，故本选项符合题意；
C、49x2﹣z2符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
D、16m2﹣25n2符合平方差公式结构，故本选项不合题意．
故选：B．
5．（2024秋 怀仁市期末）综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC的道路AB上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．下列方案能满足项目要求的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质、基本尺规作图判断即可．
【解答】解：∵点M到AC和BC两边的距离相等，且点M在AB上
∴点M是∠ACB的平分线与AB的交点，
∴C选项中的方案能满足项目要求，
故选：C．
6．（2024春 孝感期末）若关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围为（　　）
A．m≥﹣1 B．m＜1 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，表示出不等式组的解集，再根据整数解有且只有3个，得出关于m的不等式组即可解决问题．
【解答】解：解不等式x﹣m＞0得，
x＞m，
解不等式2x﹣3≥3（x﹣2）得，
x≤3，
因为不等式组的整数解有且只有3个，
所以0≤m＜1．
故选：C．
7．（2024秋 任城区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．6 B．9 C．18 D．24
【答案】C
【分析】根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
则阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故选：C．
8．（2024秋 香河县期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，进行作答，即可求解；
【解答】解：根据分式的基本性质可得：
，
分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，因此分式的值整体扩大2倍；
故选：B．
9．（2024秋 临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．
故选：B．
10．（2024秋 孝昌县期末）已知x2﹣3x+2＝0，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将x2﹣3x+2＝0两边分别除以x，进行求解即可．
【解答】解：∵x≠0，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
11．（2024秋 青山湖区校级期末）▲若分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣8
【答案】D
【分析】先根据解分式方程的方法求得m＝3x﹣2，然后再根据分式方程有增根，可得x2﹣4＝0，解得x＝±2，把x的值代入3x﹣2进行计算即可．
【解答】解：去分母，得：m﹣2（x﹣2）＝x+2，
去括号，得：m﹣2x+4＝x+2，
移项、合并同类项，得：m＝3x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m＝3×2﹣2＝4；
当x＝﹣2时，m＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8，
∴m的值可能为4或﹣8．
故选：D．
12．（2024秋 福山区期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn n的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长a，△A2B2C2的周长aa，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴B1C1BC，A1C1AC，A1B1AB，
∴△A1B1C1的周长a，
同理，△A2B2C2的周长aa，
……
则△AnBn n的周长a，
故选：A．
二．填空题
13．（2022秋 渌口区期末）若分式的值为0，则x的值为 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．
【解答】解：依题意，得：
|x|﹣4＝0且x﹣4≠0，
解得x＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（2024春 五华县期末）如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是 　12　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
15．（2021春 中牟县期末）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 　100　 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断出OC是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AD＝2OC．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥MN于点D，则AD∥OC．
∵O是AB的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD＝2OC＝2×50＝100（cm）．
故答案为：100．
16．（2024秋 醴陵市期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　m＜3且m≠2　 ．
【答案】m＜3且m≠2．
【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含量m的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：，
解得：x＝3﹣m，
∵原分式方程有解，
∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解），
解得：m≠2，
∵方程的解是正数，
∴3﹣m＞0，
解得：m＜3，
∴m＜3且m≠2，
故答案为：m＜3且m≠2．
17．（2024秋 章丘区期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE相交于点P，DF与CE相交于点Q，若，则阴影部分四边形EPFQ的面积为 　27　 cm2．
【答案】27．
【分析】连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△DCF，S△BFE＝S△BFA所以S△EFQ＝S△DCQ，S△EFP＝S△ABP，因此可以推出阴影部分的面积就是S四边形EPFQ＝S△ABP+S△DCQ，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△DCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△DCF，
∴S△EFQ＝S△DCQ，
同理S△BFE＝S△BFA，
∴S△EFP＝S△ABP，
∵，，
∴，
故答案为：27．
18．（2025春 昆明期中）已知直角坐标系内有四个点A（0，0），B（5，0），C（2，3），D（x，y），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：　（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）　 ．
【答案】（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）．
【分析】由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【解答】解：①当AB为对角线时，中点坐标为（，），即（，0），
根据平行四边形的性质，得，0，
解得x＝3，y＝﹣3，
∴点D的坐标为（3，﹣3）；
②当AC为对角线时，中点坐标为（，），即（1，），
根据平行四边形的性质，得1，
解得x＝﹣3，y＝3，
∴点D的坐标为（﹣3，3）；
③当BC为对角线时，中点坐标为（，），即（，），
根据平行四边形的性质，得，
解得x＝7，y＝3，
∴点D的坐标为（7，3）；
故答案为：（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）．
三．解答题
19．（2024秋 内乡县期末）分解因式：
（1）﹣9x3y+6x2y2﹣xy3；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）．
【答案】（1）﹣xy（3x﹣y）2；
（2）（a﹣b）（m+n）（m﹣n）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）﹣9x3y+6x2y2﹣xy3
＝﹣xy（9x2﹣6xy+y2）
＝﹣xy（3x﹣y）2；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
＝m2（a﹣b）﹣n2（a﹣b）
＝（a﹣b）（m2﹣n2）
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）．
20．（2021秋 石泉县期末）解分式方程：2．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以2（x﹣1）得：2x＝3﹣4（x﹣2），
解得：x，
检验：把x代入2（x﹣1）≠0，
所以x是原方程的解，
所以原方程的解为x．
21．（2024秋 平邑县期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　（b﹣c）（a﹣b）　 ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①m2+5n﹣mn﹣5m＝　（m﹣n）（m﹣5）　 ．
②x2﹣2x+1﹣y2＝　（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）　 ．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）（b﹣c）（a﹣b）；
（2）①（m﹣n）（m﹣5）；②（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；
（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出a＝b＝c，则可得出答案．
【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2
＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）
＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）
＝（b﹣c）（a﹣b），
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）；
（2）①m2+5n﹣mn﹣5m
＝m2﹣mn+5n﹣5m
＝m（m﹣n）+5（n﹣m）
＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n）
＝（m﹣n）（m﹣5）；
②x2﹣2x+1﹣y2
＝（x2﹣2x+1）﹣y2
＝（x﹣1）2﹣y2
＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），
∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ba+b2+c2﹣2bc+b2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
22．（2025 龙凤区校级三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：



，
当a1时，原式．
23．（2025 镇江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE＝CE，BC＝2AB，BC＝6，求四边形AECF的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，求出BE＝DF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE是等边三角形，求出高AH的长，再求出面积即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BEBC，DFAD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：作AH⊥BC于H，
∵BC＝2AB＝6，E为BC中点，F为AD的中点，
∴AB＝BE＝CE＝AF＝DF＝3，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴AE＝AB＝BE＝CE＝3，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴AH＝AB×sin60°＝3，
∴四边形AECF的面积是CE×AH＝3．
24．（2025 成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元；（2）该游客最多购买11个A种挂件．
【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得7，求出x后即可判断得解；
（2）依据题意，设该游客最多购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元，
则每个B种挂件的价格为x元，
∴7．
∴x＝25．
经检验：x＝25是原方程的根．
答：每个A种挂件的价格为25元．
（2）由题意，设该游客最多购买m个A种挂件，
则购买（m+5）个B种挂件，
又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，
∴25m+20（m+5）≤600．
∴m11．
又∵m为整数，
∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件．
25．（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
【分析】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证；
（2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
【解答】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题．
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