北师大版数学九年级下册 3.1 圆 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册 3.1 圆 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 367.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-16 15:15:15 | ||
图片预览
文档简介
《圆》教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 姓名
课题 第三章 第一节 圆
教学目标
1、经历圆有关定义的系统形成过程，理解圆的集合性定义、弧、弦的概念；了解等圆、等弧的概念；掌握点和圆的位置关系，以及如何确定点与圆的位置关系，并能应用点和圆的位置关系解决相关问题。 2、经历圆的概念形成过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，会判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合思想、分类讨论思想去解决问题。 3、进一步体会数学知识来源于现实生活，激发学生学习数学的兴趣；养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；让学生感受数学的文化与美。
教学重难点
教学重点： 1、经历圆的有关定义的系统形成过程. 2、探索点与圆的三种位置关系. 教学难点： 1、用集合的观点描述圆的定义. 2、正确理解点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径之间的数量关系这两者的数形转化.
教学过程
一、新课引入 视频展示生活中和圆相关的图片. （引导语）同学们，我们来观察一下这样一组图片，大家想到了什么？这些美丽的图片，都给我们一种圆的形象，圆在生活中无处不在，在中国传统文化中圆也寓意着圆满和团圆。这节课就让我们一起走进圆的世界. 设计意图：让学生会用数学的眼光观察世界。从生活中圆的形象引入，从实物中抽象出圆的数学模型，引导学生感受数学的美，体会数学来源于生活，激发学生的好奇心和求知欲，营造有文化的数学课堂氛围. 二、探索新知 巧设情境，生成概念 问题情境：投壶是中国古代做的一种投掷游戏.把箭向壶里投，投中壶口或两边的贯耳为胜. 设问 1：有 7 个同学正在做投壶游戏，他们呈“一”字形排开，请问这样的队形对每个学生来说，公平吗？ 设问 2：什么队形对每个学生是公平的？ 设问 3：有的同学说可以让这 7 个同学站成一个圆形就公平了.对吗？ 设问 4：画圆的常规工具是圆规，但问题情境中所需的圆较大，无法用圆规来画，要怎么才能把所需的圆画出来呢？ 总结： 设计意图：会用数学的思维思考现实世界.以中国古代投壶游戏创设情境，合理提出问题，让学生在解决问题的过程中，搜索旧知，发散思维，同时让学生了解中国传统文化，激发学生的民族自信心和爱国情感.通过问题情境和设问的探索，带领学生复习七年级学到的关于圆的描述性定义.为后续探索圆的集合性定义打下基础. 大家思考一下下面几个问题： 问题 1：在一个平面内，以定点 O 为圆心能画多少个圆？ （学生动手操作发现这样的圆可以画无数多个.） 发现：这样一组圆心相同，半径不同的圆称为同心圆. 问题 2：以定长 1cm 为半径，能画多少个圆？ （学生动手操作发现这样的圆可以画无数多个.） 发现：这样一组圆心不同，半径相同的圆称为等圆. 问题 3：以定点 O 为圆心，定长 1cm 为半径，能画多少个圆？ 总结：确定圆的条件：圆心（决定圆的位置） 半径（决定圆的大小） 问题 4：刚才投壶游戏的设计中，除了这些同学外，还可以站更多的人吗？站在哪里呢？ 问题 5：在公平游戏的前提下，壶不动，平面上有多少个点可供投壶游戏？ 问题 6：符合条件的点有什么共同特征？ 总结：圆的集合性定义：平面上到定点O 的距离等于定长r 的所有点组成的图形叫做圆．记作⊙O. 设计意图：以问题串的形式将学习任务进行分解，经历圆“再发现”的过程.既起到了抽丝剥茧的作用，又能引导学生层层深入，经历概念的生成过程，加深学生对概念的理解. 自主学习，深化概念 请同学阅读课本 P65 页下方和圆相关的概念，边齐声朗读变勾画相关概念后，师生再次共读深化概念. （1）弦的概念：连接圆上任意两点的线段（如图 1 中的 AB）叫做弦.把经过圆心的弦（如图1 中的 AC）叫做直径．记作直径 AC. 注意：弦和直径都是线段 直径是最长的弦. B A C 图 1 图 2 探究：为什么直径是最长的弦？ 如图 2，任作⊙O 一条非直径的弦 AB 和任一条直径 CD，请证明：CD＞AB. 思路：根据三角形的两边之和大于第三边以及直径的长等于两个半径的长，就可以通过连接半径的方法对线段进行转化. 证明过程：如图 3 所示，连接 OA，OB 在△OAB 中，根据三角形两边之和大于第三边可得： OA+OB＞AB ∵OA=OB=OC=OD 图 3 图 4 ∴OA+OB=OD+OC=CD ∴CD＞AB （2）弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（如图 4）. 以 A、B 为端点的弧有两条：其中把大于半圆的弧称为优弧，记作 ACB；把小于半圆的弧称为劣弧，记作 AB； （3）等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.（如右图） 问题 7：长度相同的两条弧是等弧吗？ 如图，已知：AB 的长度是 6cm，CD 的长度也是 6cm，它们是等弧吗？ 设计意图：圆的相关概念较为繁杂，让学生先自主学习，建立对概念的初步感知后，再进入师生共学的环节，学生的注意力能更好地跟随老师的讲解进度，对概念的突破起到很好的助力. 再创情境 生成知识 问题情境：请大家一起回顾《西游记》 “三打白骨精” 中的经典片段（如图 7）.孙悟空外出化缘，为了保护师傅和师弟们他画了一个避魔圈，看过西游记无数遍的你，肯定知道站哪里比较安全. 图 7 图 8 图 9 问题 8：如果我们把避魔圈抽象成一个圆，地面抽象成一个平面，那么这个圆会把平面分成几部分呢？ 学生独立思考后可得出：一个圆将平面分成三部分，分别是圆内、圆上以及圆外三个部分. 问题 9：把唐僧师徒三人分别看成三个点，这三个点和圆的位置关系如何？ 问题 10：在平面内任意画一个点，这个点与圆有几种位置关系？ 通过问题 10 的探究，学生可以得出点和圆有三种位置关系，分别是点在圆上，点在圆内，以及点在圆外. 问题 11：点到圆心的距离为 d，探究点与圆的位置关系以及 d 与 r 之间的数量关系有什么联系？ 如图 9，分别把三个点和圆心进行连线.可以发现： 当点在圆上时 d=r； 当点在圆内时 d＜r； 当点在圆外时 d＞r. 反过来，已知 d 与 r 的数量关系也可推得点与圆的位置关系. 当 d=r 时 点在圆上； 当 d＜r 时 点在圆内； 当 d＞r 时 点在圆外. 总结：点和圆的位置关系可以等价于 d 和 r 的数量关系，这里很好地体现了形与数之间的对应和转化关系. 设计意图：会用数学的语言表达现实世界.从数学的角度解读学生熟悉的西游记，给学生一种新鲜感，也实现了教与学的互动，更是从不同角度再次让学生感受到四大名著的底蕴，会用数据的分析结果解释现象，形成合理的判断；从学生熟悉的情境出发，抽象出问题模型，设置问题串，将学习任务细化，层层深入，符合学生的认知水平，既体现学生的主体作用也发挥了教师的主导作用.注重图形语言、文字语言以及符号语言的渗透，让学生学习中进一步体会三种语言的转化，明确点和圆的位置关系是数与形之间的转化，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力. 三、典例精析 例 1：判断下列说法是否正确. （1）直径是弦； ( ) （2）长度相等的两条弧是等弧； ( ) （3）圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分. ( ) 例 2：矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 A、B、C、D 是否在同一个圆上？ 例 3：已知⊙O 的面积为 25π，判断点 P 与⊙O 的位置关系. 若 PO=8，则点 P 在⊙O ; （2）若 PO=4，则点 P 在⊙O ; （3）若 PO= ，则点 P 在⊙O 上. 设计意图：通过三道例题的精练讲解，帮助学生进一步熟悉掌握所学知识，培养学生的核心素养.其中例 1 的设置，既巩固了本节课所学的几个重要概念，又帮助学生进一步辨析了几个易错的点，让学生对概念有了更为全面的认识，培养学生的抽象能力、几何直观.例 2 的设置，让学生进一步理解和感受圆的集合性定义，掌握证明多点共圆的一般方法，并能应用该方法解决实际问题，培养学生的推理观念、模型观念、应用意识.例 3 的设置，帮助学生进一步巩固确定点和圆的位置关系可以转化为判断点到圆心的距离与半径的数量关系，并能将其应用于解决实际问题，培养学生的抽象能力、数据观念、模型观念、应用意识. 四、感悟收获 设计意图：通过思维导图的形式，让学生构建属于自己的知识树，实现教学知识的系统性和连贯性. 五、布置作业 1、基础性作业：课本 P68 页习题：1、3 2、拓展性作业： 如图，矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，以点 A 为圆心画圆，使得点 B 在⊙A 内，点 C 在⊙A外，求⊙A 的半径 r 的取值范围.
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 姓名
课题 第三章 第一节 圆
教学目标
1、经历圆有关定义的系统形成过程，理解圆的集合性定义、弧、弦的概念；了解等圆、等弧的概念；掌握点和圆的位置关系，以及如何确定点与圆的位置关系，并能应用点和圆的位置关系解决相关问题。 2、经历圆的概念形成过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，会判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合思想、分类讨论思想去解决问题。 3、进一步体会数学知识来源于现实生活，激发学生学习数学的兴趣；养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；让学生感受数学的文化与美。
教学重难点
教学重点： 1、经历圆的有关定义的系统形成过程. 2、探索点与圆的三种位置关系. 教学难点： 1、用集合的观点描述圆的定义. 2、正确理解点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径之间的数量关系这两者的数形转化.
教学过程
一、新课引入 视频展示生活中和圆相关的图片. （引导语）同学们，我们来观察一下这样一组图片，大家想到了什么？这些美丽的图片，都给我们一种圆的形象，圆在生活中无处不在，在中国传统文化中圆也寓意着圆满和团圆。这节课就让我们一起走进圆的世界. 设计意图：让学生会用数学的眼光观察世界。从生活中圆的形象引入，从实物中抽象出圆的数学模型，引导学生感受数学的美，体会数学来源于生活，激发学生的好奇心和求知欲，营造有文化的数学课堂氛围. 二、探索新知 巧设情境，生成概念 问题情境：投壶是中国古代做的一种投掷游戏.把箭向壶里投，投中壶口或两边的贯耳为胜. 设问 1：有 7 个同学正在做投壶游戏，他们呈“一”字形排开，请问这样的队形对每个学生来说，公平吗？ 设问 2：什么队形对每个学生是公平的？ 设问 3：有的同学说可以让这 7 个同学站成一个圆形就公平了.对吗？ 设问 4：画圆的常规工具是圆规，但问题情境中所需的圆较大，无法用圆规来画，要怎么才能把所需的圆画出来呢？ 总结： 设计意图：会用数学的思维思考现实世界.以中国古代投壶游戏创设情境，合理提出问题，让学生在解决问题的过程中，搜索旧知，发散思维，同时让学生了解中国传统文化，激发学生的民族自信心和爱国情感.通过问题情境和设问的探索，带领学生复习七年级学到的关于圆的描述性定义.为后续探索圆的集合性定义打下基础. 大家思考一下下面几个问题： 问题 1：在一个平面内，以定点 O 为圆心能画多少个圆？ （学生动手操作发现这样的圆可以画无数多个.） 发现：这样一组圆心相同，半径不同的圆称为同心圆. 问题 2：以定长 1cm 为半径，能画多少个圆？ （学生动手操作发现这样的圆可以画无数多个.） 发现：这样一组圆心不同，半径相同的圆称为等圆. 问题 3：以定点 O 为圆心，定长 1cm 为半径，能画多少个圆？ 总结：确定圆的条件：圆心（决定圆的位置） 半径（决定圆的大小） 问题 4：刚才投壶游戏的设计中，除了这些同学外，还可以站更多的人吗？站在哪里呢？ 问题 5：在公平游戏的前提下，壶不动，平面上有多少个点可供投壶游戏？ 问题 6：符合条件的点有什么共同特征？ 总结：圆的集合性定义：平面上到定点O 的距离等于定长r 的所有点组成的图形叫做圆．记作⊙O. 设计意图：以问题串的形式将学习任务进行分解，经历圆“再发现”的过程.既起到了抽丝剥茧的作用，又能引导学生层层深入，经历概念的生成过程，加深学生对概念的理解. 自主学习，深化概念 请同学阅读课本 P65 页下方和圆相关的概念，边齐声朗读变勾画相关概念后，师生再次共读深化概念. （1）弦的概念：连接圆上任意两点的线段（如图 1 中的 AB）叫做弦.把经过圆心的弦（如图1 中的 AC）叫做直径．记作直径 AC. 注意：弦和直径都是线段 直径是最长的弦. B A C 图 1 图 2 探究：为什么直径是最长的弦？ 如图 2，任作⊙O 一条非直径的弦 AB 和任一条直径 CD，请证明：CD＞AB. 思路：根据三角形的两边之和大于第三边以及直径的长等于两个半径的长，就可以通过连接半径的方法对线段进行转化. 证明过程：如图 3 所示，连接 OA，OB 在△OAB 中，根据三角形两边之和大于第三边可得： OA+OB＞AB ∵OA=OB=OC=OD 图 3 图 4 ∴OA+OB=OD+OC=CD ∴CD＞AB （2）弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（如图 4）. 以 A、B 为端点的弧有两条：其中把大于半圆的弧称为优弧，记作 ACB；把小于半圆的弧称为劣弧，记作 AB； （3）等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.（如右图） 问题 7：长度相同的两条弧是等弧吗？ 如图，已知：AB 的长度是 6cm，CD 的长度也是 6cm，它们是等弧吗？ 设计意图：圆的相关概念较为繁杂，让学生先自主学习，建立对概念的初步感知后，再进入师生共学的环节，学生的注意力能更好地跟随老师的讲解进度，对概念的突破起到很好的助力. 再创情境 生成知识 问题情境：请大家一起回顾《西游记》 “三打白骨精” 中的经典片段（如图 7）.孙悟空外出化缘，为了保护师傅和师弟们他画了一个避魔圈，看过西游记无数遍的你，肯定知道站哪里比较安全. 图 7 图 8 图 9 问题 8：如果我们把避魔圈抽象成一个圆，地面抽象成一个平面，那么这个圆会把平面分成几部分呢？ 学生独立思考后可得出：一个圆将平面分成三部分，分别是圆内、圆上以及圆外三个部分. 问题 9：把唐僧师徒三人分别看成三个点，这三个点和圆的位置关系如何？ 问题 10：在平面内任意画一个点，这个点与圆有几种位置关系？ 通过问题 10 的探究，学生可以得出点和圆有三种位置关系，分别是点在圆上，点在圆内，以及点在圆外. 问题 11：点到圆心的距离为 d，探究点与圆的位置关系以及 d 与 r 之间的数量关系有什么联系？ 如图 9，分别把三个点和圆心进行连线.可以发现： 当点在圆上时 d=r； 当点在圆内时 d＜r； 当点在圆外时 d＞r. 反过来，已知 d 与 r 的数量关系也可推得点与圆的位置关系. 当 d=r 时 点在圆上； 当 d＜r 时 点在圆内； 当 d＞r 时 点在圆外. 总结：点和圆的位置关系可以等价于 d 和 r 的数量关系，这里很好地体现了形与数之间的对应和转化关系. 设计意图：会用数学的语言表达现实世界.从数学的角度解读学生熟悉的西游记，给学生一种新鲜感，也实现了教与学的互动，更是从不同角度再次让学生感受到四大名著的底蕴，会用数据的分析结果解释现象，形成合理的判断；从学生熟悉的情境出发，抽象出问题模型，设置问题串，将学习任务细化，层层深入，符合学生的认知水平，既体现学生的主体作用也发挥了教师的主导作用.注重图形语言、文字语言以及符号语言的渗透，让学生学习中进一步体会三种语言的转化，明确点和圆的位置关系是数与形之间的转化，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力. 三、典例精析 例 1：判断下列说法是否正确. （1）直径是弦； ( ) （2）长度相等的两条弧是等弧； ( ) （3）圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分. ( ) 例 2：矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 A、B、C、D 是否在同一个圆上？ 例 3：已知⊙O 的面积为 25π，判断点 P 与⊙O 的位置关系. 若 PO=8，则点 P 在⊙O ; （2）若 PO=4，则点 P 在⊙O ; （3）若 PO= ，则点 P 在⊙O 上. 设计意图：通过三道例题的精练讲解，帮助学生进一步熟悉掌握所学知识，培养学生的核心素养.其中例 1 的设置，既巩固了本节课所学的几个重要概念，又帮助学生进一步辨析了几个易错的点，让学生对概念有了更为全面的认识，培养学生的抽象能力、几何直观.例 2 的设置，让学生进一步理解和感受圆的集合性定义，掌握证明多点共圆的一般方法，并能应用该方法解决实际问题，培养学生的推理观念、模型观念、应用意识.例 3 的设置，帮助学生进一步巩固确定点和圆的位置关系可以转化为判断点到圆心的距离与半径的数量关系，并能将其应用于解决实际问题，培养学生的抽象能力、数据观念、模型观念、应用意识. 四、感悟收获 设计意图：通过思维导图的形式，让学生构建属于自己的知识树，实现教学知识的系统性和连贯性. 五、布置作业 1、基础性作业：课本 P68 页习题：1、3 2、拓展性作业： 如图，矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，以点 A 为圆心画圆，使得点 B 在⊙A 内，点 C 在⊙A外，求⊙A 的半径 r 的取值范围.