辽宁省点石联考2025届高三下学期5月联合考试数学试题（含解析）

辽宁省点石联考2025届高三下学期5月联合考试数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．-1 B． C． D．2i
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
4．已知锐角θ满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数和，其中，的最大值为3，若与的图象在区间上恰有一个交点，则k的值可以为（ ）
A．1 B． C． D．
7．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱上下两底面之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线轴
C．若，则 D．若，则
11．设函数，，以下说法正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．若，图象的对称轴为直线
C．若，有且仅有一个零点
D．若，则与的图象有且仅有两个交点
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则
13．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ．
14．在一个玩数米粒的游戏中，甲 乙 丙 丁四人每人各有一个罐子，每轮游戏都从米缸中分若干次数米粒放入自己的罐子中．第一轮：甲数了1粒，接着乙数了2 3粒，接着丙数了4 5 6粒，接着丁数了7 8 9 10粒；第二轮甲接着数了11 12 13 14 15粒，依次循环，直到某人某次数了1000粒，游戏结束．在第二轮游戏完成时，丁的罐子里一共有 粒米粒；游戏结束时，是进行到第 轮游戏．
四、解答题
15．设锐角的内角的对边分别是，．
（1）求C；
（2）若，，求的值．
16．如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得．
（1）证明：；
（2）设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值．
17．一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）．
零配件1 零配件2 成品 不合格品
次品率 购买单价 检测成本 次品率 购买单价 检测成本 两种零配件均合格时的次品率 装配成本 检测成本 市场售价 退货运费
4元 2元 18元 3元 6元 3元 56元 6元
为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃．
（1）如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率；
（2）如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益；
（3）如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益．
18．已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F．
（1）求的标准方程；
（2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求；
（3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点．
19．若两个集合M，N满足：，，且，，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义，．
（1）若，，，证明：；
（2）证明：存在，使得无论t取何值，与均互为对偶集；
（3）若，求b的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由可得，
则．
故选D
2．【答案】D
【详解】因为，故.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10．
故选C
4．【答案】D
【详解】由题意可得，解得或（舍去）．
方法一：故．
方法二：此时，故．
故选D.
5．【答案】C
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选C
6．【答案】B
【详解】由的最大值为3，得，即．
因为与的图象在区间上恰有一个交点，
所以在区间上恰有一个根．
令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
所以当，单调递减，当，单调递增，
当时，，
令，则，
要使与图象只有一个交点，
则的最小值点与最大值点重合，
即，
所以，．
所以符合题意．
故选B
7．【答案】B
【详解】由题意可得，当时，，
两式相减得，而，解得，
因此数列是等比数列，，
数列是递增的正项数列，，，
因此，
所以当取得最小值时，．
故选B
8．【答案】B
【详解】设正三棱柱的底面边长为a，侧面高度为h，则其表面积，
整理得，故正三棱柱的体积，将V看作关于a的函数，
则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，该正三棱柱的体积取得最大值，
此时三棱柱上下两底面之间的距离为．
故选B
9．【答案】AD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故，故B错误；
对于C，，由于，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选AD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误．
对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确．
对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确．
对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确．
故选BCD
11．【答案】ABD
【详解】对A，令，即，
因为，
所以为奇函数，即函数对称中心为，
而的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，
因此可知图象的对称中心为，故A正确；
对B，当时，，
因为，，
即．可知的图象以直线为对称轴，故B正确；
对C，当时，，，，，
所以存在，，使，则有两个零点，故C不正确；
对D，当时，令，令，解得或，故D正确．
故选ABD
12．【答案】
【详解】因为曲线为双曲线，所以，
将双曲线方程化为标准形式为，所以，，
所以双曲线的渐近线方程为，
又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得.
13．【答案】
【详解】因为为正实数，所以，
因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立，
此时，又因为，所以在上有解，
所以由基本不等式可知时等号成立，
所以，故实数的取值范围是．
14．【答案】294 12
【详解】将自然数按照以下规律排成数阵：
第一行：1
第二行：2,3
第三行：4,5,6
第四行：7,8,9,10
第五行：12,13,14,15,16
……
设数列：.
则数阵第行的最后一个数为：.
由，且.
所以是第45行的第10个数.
在第二轮游戏完成时，丁的罐子里的米粒数为：.
因为，所以游戏完成时，是进行到第12轮.
15．【答案】（1）
（2）22
【详解】（1）由及正弦定理，得．
而，所以，．
又为锐角三角形，所以，所以．
（2）由正弦定理，
得，．
因为，所以．
由余弦定理得，
即，
所以．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，故，，
又，平面，故平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
而平面，所以．
（2）根据（1）中位置关系，以为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知，可知，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，，
所以为平面的一个法向量；
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，，
所以为平面的一个法向量．
因此，，
所以平面与平面夹角的正弦值即为．
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设事件成品为合格品，则成品为不合格品，
可得，
所以．
（2）设预期收益为X，分2种情况：
①成品是合格的，
收益为，概率为；
②成品是不合格的，
收益为，概率为；
于是预期收益X的数学期望为（元）．
（3）设预期收益为Y，分5种情况：
①所有检测都是合格的，
收益为，概率为；
②零配件1，2都是合格的，但是成品不合格，
收益为，概率为；
③零配件1不合格，零配件2合格，扔掉零配件1，没有成品，
收益为，概率为；
④零配件2不合格，零配件1合格，扔掉零配件2，没有成品，
收益为，概率为；
⑤零配件1，2都不合格，全部扔掉，没有成品，
收益为，概率为；
于是预期收益Y的数学期望为
（元）．
18．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）设焦距为2c，
则，，且，
解得，，
因此的标准方程为．
（2）在，中分别由正弦定理，
得，，
又由，及，
得，
故．
又直线，的斜率分别为，，
则两直线的方程分别为，
则到这两条直线的距离相等，
即，平方得，
化简得，又，
则．
（3）证明：设直线，，，
与椭圆方程联立得，
消去y，得，
即，，
则，，
因此
，
化简得，由，解得．
因此直线过定点．
19．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）由题意知，，
则，
因此在上单调递减．
，
，
又，故．
（2）观察发现，，
取，下证与互为对偶集，
，，则，
即，
由定义知．
同理可知，，．
故当时，与互为对偶集．
（3）构造函数，
则，即的充分必要条件为，
若，又，由于的图象在上连续不断，
故，使得，
则与矛盾，
因此，代入解得．
若，则，不符合题意，舍去．
若，此时在上恒成立，
此时在上单调递增，则在上单调递增，
又，所以在上恒成立，符合题意．
综上，b的取值范围为．