重庆市第八中学2025届高三下学期5月适应性月考（七） 数学试卷（含答案）

重庆市第八中学2025届高三下学期5月适应性月考（七）数学试卷
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．设，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．用代表红球、代表蓝球、代表黑球、由加法原理及乘法原理、从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如:“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球、而“”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从4个无区别的红球、5个无区别的蓝球、6个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．将正整数的最佳分解定义为两个正整数，使得最小.记，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（ ）
A．若，则为递减数列
B．若，则为递减数列
C．若，则为递增数列
D．若，则为递增数列
10．已知圆和点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为抛物线
C．当时，点的轨迹为椭圆
D．当时，点的轨迹为双曲线
11．已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．的最小值为
三、填空题
12．点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为 ．
13．设正整数数列满足，则 ．
14．已知满足，且，则的值域为
四、解答题
15．某社区100名居民参加国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按分组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并估计该社区参加国庆活动的居民的年龄中位数；
（2）现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望.
16．在如图所示的几何体中，平面是的中点，．
（1）求证:平面；
（2）求二面角的正弦值．
17．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为．
（1）求的取值范围；
（2）点关于原点对称，若，求的面积．
18．已知函数，为的导函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若函数在处取极小值，求的值.
19．点是直线外一点，点在直线上(点与点任一点不重合).若点在线段上，记;若点在线段外，记.记.记的内角的对边分别为为中点，为射线上的点，为的平分线.
（1）若，求；
（2）射线上的点满足，
(i)求的最小值;
(ii)若，记，求证:数列的前项和.
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．D
5．D
6．B
7．A
8．C
9．ABD
10．ACD
11．ACD
12．/
13．3
14．
15．（1）由频率分布直方图可知，
，解得，
设该社区参加国庆活动的居民的年龄中位数为，
则，解得．
（2）年龄在内的人数为，
年龄在内的人数为，
根据分层抽样，可知年龄在内的抽取6人，年龄在内的抽取2人，
所有可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为：
X 0 1 2
P
则数学期望．
16．（1）证明：取的中点G，连接，
因为F是的中点，所以，
因为，所以．
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，
在中，，，有，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为，所以平面．
（2）由题可知直线两两垂直，则以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
所以，设是平面的一个法向量，
则，
令，得，，
所以是平面的一个法向量，，
平面的一个法向量为，设二面角的大小为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为．
17．（1）设，依题意得：，即，
化简得，，
所以点M的轨迹C的方程为，
设直线l的方程为．由方程组，
可得．
要使得有三个交点，则，
方程的判别式为，
设直线l与x轴的交点为，则由，取得．
当，
解得或，
故当时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．
（2）设，由（1）知，
所以，
由直线l的方程可知，故，
所以，，
则，整理得，解得，
从而，故，
则，，即直线为，，
点到直线的距离为，
所以．
18．（1）当时，，可得，
令，可得，
当，可得；当，可得，
所以在单调增，在单调减，
可得，所以在单调减，
又因为，故的解集为．
（2）由函数，可得，
令，可得，
①当，即时，恒成立，
当时，；当时，；
所以在单调增，在单调减；
②当时，等价于，
当时，；
当时，；
当时，，
所以在单调增，在单调减；
在单调增，在单调减．
（3）由（1）知：当时，0不是的极值点，所以；
由（2）知：当时，在单调减，所以，
故在单调减，与在处取极小值矛盾，所以．
记，则在单调增；
①当时，，，
则存在使，所以对恒成立，则，
所以在单调减，则，
所以在单调减，与在处取极小值矛盾；
②当时，，则存在使，
所以对恒成立，则，所以在单调减，
则，所以在单调增，与在处取极小值矛盾；
③当时，，当时，；当时，，
即在单调递减，在单调递增，
所以，则在单调增，
又因为，当时，；当时，，
所以在单调减，在单调增，在处取极小值．
综上知，.
19．（1）由题，，故，由余弦定理可知，，其中，
即，
则有，
因为，，所以，
而由知，，即，
所以，故，负值舍去，
故；
（2）（ⅰ）设，，
，又，
所以，
为的平分线，故在线段上，
故，
所以，在线段BC的延长线上，
其中，
所以，
即，，
，，又，故，
所以，
因为，
故，
设，则有，
，
当且仅当，即取等号，此时；
（ⅱ）因为，故，
由（ⅰ）可知在线段BC的延长线上，
其中，
，
由（1）知，，
故，
所以．
又，故，
由正弦定理，知：，则有，
所以
，
故．
于是
，
所以
．