苏教版高中数学必修第二册-11.1 余弦定理-同步练习【含答案】

苏教版高中数学必修第二册-11.1 余弦定理
同步练习
[A　基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1　　 B．2
C．3 D．
2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
3．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)
A．10　 B．9
C．8　 D．5
4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
5．轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为135°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、20 n mile/h，则当天下午1时两船之间的距离为(　　)
A．10 n mile
B．10 n mile
C．100 n mile
D．10 n mile
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则A等于________．
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bc cos A＋ac cos B＋ab cos C的值是________．
9．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
10．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求c.
[B　能力提升]
11．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b B．aC．a＝b D．不能确定
13．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是________．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2(c cos B－a).
(1)求C；
(2)若a＝4，点E在边AB上，且＋＝2，||＝2，求△ABC的周长．
参考答案
1．解析：选A．由余弦定理知()2＝a2＋b2－2ab cos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1(负值舍去)，故选A．
2．解析：选C．b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
3．解析：选D．由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±.因为A是锐角，所以cos A＝.又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以49＝b2＋36－2×b×6×.解得b＝5或b＝－.又因为b＞0，所以b＝5.
4．解析：选C．由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，则最大角为角A，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.
5．解析：选B．设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知CA＝50，CB＝40，∠ACB＝135°，则AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos ∠ACB＝502＋(40)2－2×50×40×(－)＝9 700，故AB＝10 n mile.故选B．
6．解析：在△ABC中，cos A＝＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.
答案：
7．解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
答案：
8．解析：bc cos A＋ac cos B＋ab cos C＝＋＋＝.
因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bc cos A＋ac cos B＋ab cos C＝×(32＋42＋62)＝.
答案：
9．解：(1)因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，又A∈(0°，180°)，所以A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A.
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
10．解：(1)△ABC同时满足①③④.理由如下：
若△ABC同时满足①②.
因为cos B＝－<－，且B∈(0，π)，所以B>π.所以A＋B>π，矛盾．
所以△ABC只能同时满足③④.
因为a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.
故△ABC满足①③④.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以72＝32＋c2－2×3×c×.
解得c＝8或c＝－5(舍).
所以c＝8.
[B　能力提升]
11．解析：选AD．由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b12．解析：选A．在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab，所以a2－b2＝ab>0，所以a2>b2，所以a>b.
13．解析：只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
故解得2＜a＜.
答案：(2，)
14．解：(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，即有sin A sin B－sin A cos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.又0(2)因为a＋c＝1，cos B＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝3＋.
又0[C　拓展探究]
15．解：(1)因为b＝2(c cos B－a)＝2(c·－a).整理可得a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝＝＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为a＝4，点E在边AB上，
且＋＝2，||＝2，
所以E为AB的中点，可得(＋)2＝42，
所以b2＋42＋2·＝4×22，可得b2＋2b×4×(－)＝0，解得b＝4，
所以c＝＝＝4，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋4.