苏教版高中数学必修第二册-11.2 正弦定理-同步练习【含答案】

苏教版高中数学必修第二册-11.2 正弦定理-同步练习
[A　基础达标]
1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形(　　)
A．有两个解 B．有一个解
C．无解　 D．有无穷多解
2．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　)
A．6 B．2
C．2 D．
3．在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
4．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是　(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．(多选)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．若cos A>0，则△ABC是锐角三角形
C．cos (B＋C)＝cos A
D．若sin A＝sin B，则A＝B
6．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
8．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．
9．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
10．(2021·南京六校联合检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b sin 2A＝a sin B．
(1)求角A的大小 ；
(2)若sin B＝，求c.
[B　能力提升]
11．(多选)对于△ABC，下列说法中正确的是(　　)
A．若sin AB．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形
C．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
D．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
12．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A·cos C＝a sin B sin C－b；②b sin B cos C＋c sin 2B＝a cos B；③＋a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD>AB，AD＝2，AB＝6，若________，求△ACD的面积．
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选B．由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．
2．解析：选C．利用正弦定理的推论，得＝＝＝2.
3．解析：选C．由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为04．解析：选D．将a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2A tanB＝sin2B tanA，则＝.
因为sin A sin B≠0，所以＝，
所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
5．解析：选AD．对A：sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，故正确；
对B：若cos A>0，则A为锐角，但B或C可能是钝角，故错误；
对C：cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，故错误；
对D：sin A＝sin B，则a＝b，故A＝B，故正确．故答案为AD．
6．解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为.
答案：
7．解析：因为cos A＝，所以sin A＝.因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin A cos A＝，又＝，所以b＝2.
答案：2
8．解析：由正弦定理可知＝，代入可得＝，解得sin C＝，
所以C＝60°或C＝120°，当C＝60°时，A＝90°，由三角形面积公式可得S＝bc sin A＝×1××1＝.当C＝120°时，A＝30°，由三角形面积公式可得S＝bc sin A＝×1××＝，所以△ABC的面积为或.
故答案为或.
答案：或
9．解：因为c＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝，得a＝＝＝10.
由＝，得b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5＋5.
10．解：(1)由b sin 2A＝a sin B及正弦定理可知
2sin B sin A cos A＝sin A sin B．
因为sin A sin B≠0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为sin A＝sin ＝，
所以sin B所以cos B＝＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以sinC＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.
由正弦定理得c＝＝3××＝.
[B　能力提升]
11．解析：选AD．若sin A若A＝120°，B＝30°，则sin A＝cos B，△ABC不是直角三角形，所以B错；
若a cos A＝b cos B，则sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或A＋B＝90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
因为tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)·＋tan C
＝－tan C＋tan C＝tan A·tan Btan C>0.所以△ABC是锐角三角形．D正确．故答案选AD．
12．解析：选B．不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理，得(3－)sin A＝(3＋)cos A．所以tan A＝2＋，又因为A∈(0°，120°)，所以A＝75°，故选B．
13．解析：由A＝60°，B＝45°及正弦定理＝可知＝＝，则b＝a，代入a＋b＝12得a＝36－12.
答案：36－12
14．解：若选择①，则sin B cos A cos C＝sin A sin B sin C－sin B，
因为sin B≠0.所以cos A cos C－sin A sin C＝－，即cos ＝－.
因为B＝π－，所以cos ＝－cos B＝－，即cos B＝.
因为0若选择②，则sin 2B cos C＋sin C sin 2B＝sin A·cos B，
即sin 2B cos C＋sin C sin B cos B＝sin A cos B，
故sin B sin ＝sin A cos B．
因为sin ＝sin A≠0.所以sin B＝cos B，所以tan B＝.
因为0若选择③，则sin B cos A＋sin A cos B＝2sin C cos B，
即sin ＝2sin C cos B，
因为sin ＝sin C≠0.所以cos B＝.
因为0在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，
即28＝36＋BD2－2×6×BD×，解得BD＝4或BD＝2.
因为BC＝2BD>AB＝6，所以BD＝4.
因为BC＝2BD，所以S△ACD＝S△ABD＝AB·BD sin B＝×6×4×＝6.
[C　拓展探究]
15．解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
代入＝，
得＝，
所以b2－a2＝ab.①
因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C，
所以sinA sin B＝sin2C.
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，
所以A＋C＝，
所以C＝－A.
所以sinC＝sin ＝cos A.
根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin .
因为ac所以0＜A＜，
所以＜A＋＜.
所以＜sin <1，
所以1＜sin <，
即的取值范围是(1， ).