6.4.3第1课时 余弦定理 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第1课时　余弦定理
余弦定理
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于__________________减去这两边与它们的__________________的两倍
公式 表达 a2＝________________，b2＝_______________，
c2＝__________________
推论
cos A＝__________，cos B＝________，cos C＝__________
其他两边平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C　
　
　
　
解三角形
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
√
×
√
√
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A．　 　B． C．　 　D．
答案：D
解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
微点拨
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
共 学 案
【学习目标】　
(1)了解向量法证明余弦定理的推导过程．
(2)掌握余弦定理及其推论，并能用其解决一些简单的三角形度量问题．
(3)能应用余弦定理判断三角形的形状．
【问题探究】　(1)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：(1)如图，设＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b　①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算．
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B.
(2)a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例．
题型 1 已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.
(2)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，∠B＝45°，求BC.
解析：(1)由已知c＝＝＝.
(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
得5＝2＋BC2－2·BC cos 45°，
解得BC＝3(负值舍去)．
笔记：
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．
训练1　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos C＝，则b的取值是(　　)
A． B．
C． D．3
答案：D　
解析：由题意c2＝a2＋b2－2ab cos C，即5＝4＋b2－4b×，解得b＝3(b＝－舍去)，故选D.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝9，a＝2c，B＝，则△ABC的周长为________．
9＋9
解析：(2)已知b＝9，a＝2c，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以92＝4c2＋c2－2·2c·c·cos ，即c2＝27，c＝3，则a＝6，三角形周长为a＋b＋c＝9＋9.
题型 2 已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求△ABC的最小角．
解析：因为a所以由余弦定理得：
cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
一题多变1　本例条件不变，求△ABC最大角的余弦值．
解析：由例2知最大角为B.
所以由余弦定理得：
cos B＝＝＝.
一题多变2　本例条件改为“a∶b∶c＝∶(3＋)∶2”，求A，B，C.

解析：∵a∶b∶c＝∶(3＋)∶2，
可设a＝x，b＝(3＋)x，c＝2x(x>0)
由余弦定理得：cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos C＝＝＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－＝.
笔记：
已知三边求解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
训练2　若△ABC三边长a，b，c满足等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________．
－
解析：因为3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cos C＝＝－.
题型 3 利用余弦定理判断三角形的形状
例3　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
解析：由a cos B＋a cos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思路：
(2)判断三角形的形状时，常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
训练3　若在△ABC中，2a·cos B＝c，则三角形的形状一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：由2a·cos B＝c以及余弦定理得2a·＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.
随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝，则C＝(　　)
A．120°　　B．90° C．60°　　 D．45°
答案：A
解析：由余弦定理可得cos C＝＝＝－，由于0°2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝2，那么b的大小是(　　)
A．　　　B．4 C．　　　D．3
答案：D
解析：因为A＝60°，a＝，c＝2，所以有a2＝b2＋c2－2bc cos A 7＝b2＋4－2b b＝3，或b＝－1舍去，故选D.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a cos B＝b cos A，则△ABC为(　　)
A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案：D
解析：由a cos B＝b cos A结合余弦定理可得a·＝b·，化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选D.
4．在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a2＋b2－ab＝c2，则C＝________．
解析：∵a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，
∵0课堂小结
1. 余弦定理的推导．
2．利用余弦定理解三角形中的两类问题．
3．利用余弦定理判断三角形的形状．