22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
教学设计
邹城市石墙中学 郭雪玲
教学目标：
知识与技能：
1、使学生会用描点法画y=ax2+k的图像
2、使学生理解y=ax2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标
3、使学生理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的位置关系。
过程与方法：
让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。
情感态度与价值观：
师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦教学重点与难点
教学重点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：
正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：
一、复习二次函数y＝ax2的性质
（1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？（2）它的图象具有怎样的特征和性质？
y＝ax2
a>0
a<0
图像
开口方向
对称性
顶点
增减性
x<0
x>0
x<0
x>0
二、探究新知：
例题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2、y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表 再描点 最后连线
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
y＝x2＋1
y＝x2－1
…
…
思考问题一 1．：抛物线 y = x 2 、y = x 2 + 1、 y = x 2 - 1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 观察图象得：
开口方向
对称轴
顶点
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
2．自主探究抛物线y＝2x2，y＝2x2－1与y＝2x2＋1图像的性质和特征
函数
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性
y＝2x2
y＝2x2＋1
y＝2x2－1
3．自主探究抛物线y＝-2x2，y＝-2x2－1与y＝-2x2＋1图像的性质和特征
函数
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性
y＝-2x2
y＝-2x2＋1
y＝-2x2－1
4、归纳总结二次函数y＝ax2＋k图像特征和性质。
y＝ax2＋k
a>0
a<0
开口方向
对称性
顶点
增减性
x<0
x>0
x<0
x>0
课堂过关
1、抛物线y＝-4x2－1的开口方向______，对称轴是______，顶点是______，当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x______时，函数值y随x的增大而减小；
2、已知，抛物线y＝2x2－1上有两点（a, m）（b, n）,且a n B、m = n C、m < n D、不能确定
变式1：若a>b>0，其他条件不变，则m与n的大小关系为（ ）
变式2：若a思考问题二 1、 抛物线y = x 2 + 1、 y = x 2 - 1 与抛物线y = x 2 有什么关系？
1）．发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；
把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
2）．抛物线y＝x2 、y＝x2＋1与 y＝x2-1是通过平移得到的，从而它们的形状都是_________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状________（变/不变）
3）、归纳 抛物线y = x 2 + k 与抛物线y = x 2 有什么关系？
当 k＞0 时， 把抛物线 y = x 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = x 2 + k；
当 k＜0 时， 把抛物线 y = x 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = x 2 + k．
2、自主归纳 抛物线y = 2x 2 + 1、 y = 2x 2 - 1 与抛物线y = 2x 2 有什么关系？
1）、把抛物线y＝2x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝2x2＋1；
把抛物线y＝2x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝2x2－1．
2）、抛物线y＝2x2 、y＝2x2＋1与 y＝2x2－1是通过平移得到的，从而它们的形状都是__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状________．
3）、归纳 抛物线y = ax 2 + k 与抛物线y = ax 2 有什么关系？
当 k＞0 时， 把抛物线 y = ax 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k；
当 k＜0 时， 把抛物线 y = ax 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k．
三、应用新知
1、（课本p33练习）在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。
你能说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 有 什么关系？
解：先列表，再描点、最后连线
x
…
－6
－4
－2
0
2
4
6
…
…
…
…
…
2、将抛物线 y = 3x 2 —1向上平移4个单位长度后，所得到的抛物线是__________,
当x=_______时，该抛物线有______（填大或小）值，是________ 。
变式1：将抛物线 y = 3x 2 —1向上平移4个单位长度后，所得到的抛物线是__________，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线_____________。
变式2：将抛物线 y = 3x 2 —1向_____平移__________个单位长度后，所得到的抛物线是y = 3x 2 +6
四、小结
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 有什么关系？
五、作业：
在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像
六：板书
22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
列表 开口方向 平移
描点 顶点坐标 当 k＞0 时，向上平移k 个单位
连线 对称轴 当 k＜0 时，向下平移｜k｜个单位，
最值
（学生学案）
一、复习二次函数y＝ax2的性质
（1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？（2）它的图象具有怎样的特征和性质？
y＝ax2
a>0
a<0
开口方向
对称性
顶点
增减性
x<0
x>0
x<0
x>0
二、探究新知：
例题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2、y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表 再描点 最后连线
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
y＝x2＋1
y＝x2－1
…
…
思考问题一
1．：抛物线 y = x 2 、y = x 2 + 1、 y = x 2 - 1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 观察图象得：
开口方向
对称轴
顶点
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
2．自主探究抛物线y＝2x2，y＝2x2－1与y＝2x2＋1图像的性质和特征
函数
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性
y＝2x2
y＝2x2＋1
y＝2x2－1
3．自主探究抛物线y＝-2x2，y＝-2x2－1与y＝-2x2＋1图像的性质和特征
函数
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性
y＝-2x2
y＝-2x2＋1
y＝-2x2－1
4、归纳总结二次函数y＝ax2＋k图像特征和性质。
y＝ax2＋k
a>0
a<0
开口方向
对称性
顶点
增减性
x<0
x>0
x<0
x>0
课堂过关
1、抛物线y＝-4x2－1的开口方向______，对称轴是______，顶点是______，当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x______时，函数值y随x的增大而减小；
2、已知，抛物线y＝2x2－1上有两点（a, m）（b, n）,且a n B、m = n C、m < n D、不能确定
变式1：若a>b>0，其他条件不变，则m与n的大小关系为（ ）
变式2：若a思考问题二 1、 抛物线y = x 2 + 1、 y = x 2 - 1 与抛物线y = x 2 有什么关系？
1）．发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；
把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
2）．抛物线y＝x2 、y＝x2＋1与 y＝x2-1是通过平移得到的，从而它们的形状都是_________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状________（变/不变）
3）、归纳 抛物线y = x 2 + k 与抛物线y = x 2 有什么关系？
当 k＞0 时， 把抛物线 y = x 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = x 2 + k；
当 k＜0 时， 把抛物线 y = x 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = x 2 + k．
2、自主归纳 抛物线y = 2x 2 + 1、 y = 2x 2 - 1 与抛物线y = 2x 2 有什么关系？
1）、把抛物线y＝2x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝2x2＋1；
把抛物线y＝2x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝2x2－1．
2）、抛物线y＝2x2 、y＝2x2＋1与 y＝2x2－1是通过平移得到的，从而它们的形状都是__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状________．
3、自主归纳：抛物线y = -2x 2 + 1、 y = -2x 2 - 1 与抛物线y = -2x 2 有什么关系？
1）、把抛物线y＝-2x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝-2x2＋1；
把抛物线y＝-2x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝-2x2－1．
2）、抛物线y＝2x2 、y＝2x2＋1与 y＝2x2－1是通过平移得到的，从而它们的形状都是__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状________．
4、总结归纳 抛物线y = ax 2 + k 与抛物线y = ax 2 有什么关系？
当 k＞0 时， 把抛物线 y = ax 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k；
当 k＜0 时， 把抛物线 y = ax 2 向 平移 个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k．
三、应用新知
1、（课本p33练习）在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。
你能说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点吗？
它与抛物线 有 什么关系？
解：先列表，再描点、最后连线
x
…
－6
－4
－2
0
2
4
6
…
…
…
…
…
2、将抛物线 y = 3x 2 —1向上平移4个单位长度后，所得到的抛物线是__________,
当x=_______时，该抛物线有______（填大或小）值，是________ 。
变式1：将抛物线 y = 3x 2 —1向上平移4个单位长度后，所得到的抛物线是__________，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线_____________。
变式2：将抛物线 y = 3x 2 —1向___平移____个单位长度后，所得到的抛物线是y = 3x 2 +6
