【期末提升讲义】专题二：因数和倍数--2024-2025学年五年级下册数学讲练测人教版

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（寒假预习讲义）第二单元倍数和因数
（智慧小锦囊+核心考点+真题专练）
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系：奇数+、- 偶数=奇数
奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1；
A的最大因数是：A；
A的最小倍数是：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
一、填空题
1．20名学生分成甲乙两个队参加义务劳动。如果甲队的人数是奇数，那么乙队的人数是( )数。（填奇、偶）
2．在1、2、5、15、37、66中，奇数有( )，质数有( )，偶数有( )，合数有( )。
3．晚上玲玲开着灯写作业，调皮的妹妹连续按了15次开关，这时灯是( )着的。
4．从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是( )。
5．把一枚硬币放在桌子上，翻动1次硬币字朝上；翻动2次字朝下……翻动12次后字朝( )，翻动29次后字朝( )。
6．12和18的最小公倍数是( )。a和b是不为0的自然数，如果，那么a和b的最大公因数是( )。
7．482至少减去( )才是5的倍数，至少加上( )才是3的倍数。
8．一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。
9．一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。
10．把50写成两个质数相加的形式，共有( )种不同的写法，分别是( )。
11．近代数学三大难题之一的“哥德巴赫猜想”，是德国中学教师哥德巴赫在1742年首先提出的。一般提法是：每个不小于6的偶数都可表示为两个质数的和。如8＝3＋5，照这样想，10＝( )＋( )，18＝( )＋( )。
12．小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。
13．从0，5，7，8四个数中任意抽出3个，按要求组成不同的三位数。最大的偶数是( )；既是3的倍数，又是5的倍数是( )。
14．三个小于100且互不相同的质数能构成一个等差数列，并且它们的数字和都相同，那么这三个质数的和是( )。
二、选择题
15．一个正方形的边长是质数，它的面积一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．质数和合数都有可能
16．1~15中所有质数的和是（ ）。
A．18 B．41 C．28
17．要使三位数“14□”是3的倍数，“□”里最大能填 （ ） 。
A．4 B．7 C．8 D．9
18．下列各数中，不是54的因数的是（ ）。
A．6 B．18 C．24 D．54
19．如果a÷5＝9，那么a最大的因数是（ ）。
A．1 B．5 C．9 D．45
20．一个质数与一个合数的和是11，它们的积不可能是 （ ）。
A．10 B．24 C．28 D．18
三、判断题
21．因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。( )
22．如果，，那么和的最大公因数是14。( )
23．个位上是3，6，9的数，一定是3的倍数。( )
24．因为5.7÷3＝1.9，所以5.7是3的倍数。( )
25．一个数的倍数一定比它的因数大。( )
四、解答题
26．一个四位数，其千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的自然数，十位上的数字既不是质数，也不是合数，个位上的数字是最小的合数，这个数是多少？
27．一个两位数，其个位上的数字既是偶数，又是质数，十位上的数字既不是质数，又不是合数，则这个两位数是多少？
28．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？
29．王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对，你能解释这是为什么吗？
30．在1234后面补一个两位数，使得这个六位数能同时被8和9整除，则补充后的六位数最小是多少？
31．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。
《第二单元因数和倍数（单元测试）--2024-2025学年五年级下册数学常考易错题人教版》参考答案
1．奇
【分析】根据运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，由于20是偶数，甲队的人数是奇数，只有再加个奇数才是偶数，所以乙队的人数是奇数，据此即可填空。
【详解】由分析可知：
20名学生分成甲乙两个队参加义务劳动。如果甲队的人数是奇数，那么乙队的人数是奇数。
2． 1、5、15、37 2、5、37 2、66 15、66
【分析】奇数：不能被2整数的整数。偶数：能被2整除的整数。
质数：一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数的数。合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数的数。
注意：1既不是质数也不是合数。
100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
【详解】结合奇数、偶数、质数、合数的定义可知：在1、2、5、15、37、66中，奇数有（1、5、15、37），质数有（2、5、37），偶数有（2、66），合数有（15、66）。
3．关
【分析】由题意可知，第0次时，灯是开着的；第1次时，灯是关着的；第2次时，灯是开着的；第3次时，灯是关着的；第4次时，灯是开着的……以此类推，按偶数次开关，灯是开着的；按奇数次开关，灯是关着的，据此解答。
【详解】分析可知，15是奇数，调皮的妹妹连续按了15次开关，这时灯是关着的。
4．570/750
【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。
【详解】由分析可知：
3＋5＝8，8不是3的倍数；
3＋7＝10，10不是3的倍数；
5＋7＝12，12是3的倍数；
即这个三位数可以是570或者是750。
5． 下 上
【分析】翻动1次硬币字朝上；翻动2次字朝下；翻动3次硬币字朝上；翻动4次字朝下……，由此可知，翻动奇数次后字朝上，翻动偶数次后字朝下。
不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。据此解答。
【详解】通过分析可得：12是偶数，29是奇数，则翻动12次后字朝下，翻动29次后字朝上。
6． 36 b
【分析】12的倍数有12、24、36等；18的倍数有18、36等，所以12和18的最小公倍数是36；
根据题意可知，a是b的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】12的倍数：12、24、36……
18的倍数有18、36……
12和18的最小公倍数是36；a和b的最大公因数是b。
7． 2 1
【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。
【详解】根据5的倍数的特征，距离482最近且比482小的5的倍数是480。
482－480＝2
距离14最近且比14大的3的倍数是15。
15－14＝1
482至少减去2才是5的倍数，至少加上1才是3的倍数。
8．15
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。
【详解】16－1＝15
所以这个数的最小倍数是15。
9． 15 1、3、5、15
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。一个数的最小倍数也是本身。一个数的最大因数是15，说明这个数就是15，再通过等积式求出它的因数即可。
【详解】15＝1×15＝3×5
一个数的最大因数是15，它的最小倍数是15，它的因数有1、3、5、15。
10． 4 3＋47、7＋43、13＋37、19＋31
【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
小于50的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；从中找出哪两个质数相加的和等于50，数出有几种不同的写法即可。
【详解】50＝3＋47＝7＋43＝13＋37＝19＋31
把50写成两个质数相加的形式，共有（4）种不同的写法，分别是（3＋47、7＋43、13＋37、19＋31）。
11． 7 3 11 7
【分析】是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数）；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；结合题目数字的大小找出比它小的质数，再计算填空。
【详解】比10小的质数有：2；3；5；7。
所以10＝3＋7
比18小的质数有：2；3；5；7；11；13；17。
可得18＝11＋17＝13＋5
12． 14 42
【分析】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。
【详解】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。
42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。
其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。
因此，小红14岁，妈妈42岁。
13． 870 870
【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此要使这个三位数最大，最大的数字8填入到它的百位上，它的个位上就只能是0了，它的十位上填入7即可；
既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数。据此这四个数中有7＋5＋0＝12、8＋7＋0＝15，12和15都是3的倍数，那么用7、5、0组成的三位数，只要个位上的数字是0或5，这个数既是3的倍数，又是5的倍数；据此写出这个数。
【详解】从0，5，7，8四个数中任意抽出3个，按要求组成不同的三位数。最大的偶数是870；既是3的倍数，又是5的倍数是870。（第二空答案不唯一）
14．69
【分析】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数；
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，先找出小于 100 的质数，再根据等差数列和数字和相同的条件来确定这三个质数。
【详解】小于 100 的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；
数字和相同的质数组合可能有：5、23、41；
因为23－5－18，41－23＝18，公差相同所以 5、23、41 构成等差数列。
5＋23＋41
＝28＋41
＝69
所以这三个质数的和是69。
【点睛】对等差数列的初步认识，找出100以内的3个质数和是69且差相同的数是解决本题关键。
15．B
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；根据正方形的面积＝边长×边长，质数×质数＝合数。
【详解】一个正方形的边长是质数，那么正方形的面积＝质数×质数＝合数，所以它的面积一定是合数。
故答案为：B
16．B
【分析】质数是因数只有1和它本身两个因数的数，1既不是质数也不是合数。先找出1到15的所有的质数，再将这些数相加即可。
【详解】15以内所有质数是：2、3、5、7、11、13
2＋3＋5＋7＋11＋13＝41
故答案为：B
17．B
【分析】3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数，据此把各选项给出的数字代入求出是3的倍数的数，并找出最大的数字即可。
【详解】A．因为1＋4＋4＝9，9÷3＝3，所以□里可以填4；
B．因为1＋4＋7＝12，12÷3＝4，所以□里可以填7；
C．因为1＋4＋8＝13，13÷3＝4……1，所以□里不可以填8；
D．因为1＋4＋9＝14，14÷3＝4……2，所以□里不可以填9。
要使三位数“14□”是3的倍数，“□”里最大能填7。
故答案为：B
18．C
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此判断。
【详解】A．54÷6＝9，商是整数，没有余数，所以9是54的因数；
B．54÷18＝3，商是整数，没有余数，所以18是54的因数；
C．54÷24＝2……6，商是整数2，有余数，所以24不是54的因数；
D．54÷54＝1，商是整数，没有余数，所以54是54的因数。
所以不是54的因数的是24。
故答案为：C
19．D
【分析】根据被除数＝商×除数，用5×9＝45求出a的值；再根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此解答。
【详解】a＝5×9＝45
如果a÷5＝9，那么a最大的因数是45。
故答案为：D
20．A
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定和是11的质数与合数的所有情况，再分别求积即可。
【详解】11＝2＋9＝3＋8＝5＋6＝7＋4
2×9＝18；3×8＝24；5×6＝30；7×4＝28
一个质数与一个合数的和是11，它们的积可能是18、24、30、28，不可能是10。
故答案为：A
21．×
【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。
【详解】5.7和1.9都是小数，不在因数和倍数的研究范围，所以原题说法错误。
故答案为：×
22．√
【分析】和，公有的质因数有2和7，那么和的最大公因数是这些质因数的乘积。
【详解】A和B公有的质因数有2和7，2×7＝14，故和的最大公因数是14。原题说法正确。
故答案为：√
23．×
【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【详解】通过分析可得：个位上是3，6，9的数，不一定是3的倍数。如23、26、49都不是3的倍数。
故答案为：×
24．×
【分析】倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。而在小数除法中，不能说小数是另一个数的倍数。
【详解】5.7是小数，倍数的概念是在整数范围内讨论的。当两个整数相除没有余数时，我们才能说被除数是除数的倍数。在这个例子中，5.7不是整数，所以不能说5.7是3的倍数，该说法错误。
故答案为：×
25．×
【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。
【详解】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。例如，6的最小倍数是6，最大因数也是6，此时倍数和因数相等。因此，倍数不一定比因数大，原说法错误。
故答案为：×
26．2014
【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；自然数：在数物体的个数时，用来表示物体个数的1，2，3，4，…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示。合数：一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此分析解答。
【详解】千位上的数字是最小的质数，最小的质数是2，千位上的数是2；
百位上的数字是最小的自然数，最小的自然数是0，百位上的数是0；
十位上的数字既不是质数，也不是合数，1既不是质数，也不是合数，十位上的数是1；
个位上的数字是最小合数，最小的合数是4，个位上的数字是4。
这个数是2014。
答：这个数是2014。
27．12
【分析】一个两位数个位数字既是偶数又是质数，说明个位数字是2；十位数字既不是质数又不是合数，说明十位数字是1，进一步写出此数，据此解答。
【详解】由分析可得：一个两位数，其个位上的数字既是偶数，又是质数，十位上的数字既不是质数，又不是合数，则这个两位数是12。
28．36人
【分析】根据题意，五（1）班的人数同时是3、4、6的倍数，用列举法找出3、4、6的倍数，并且保证人数在30～40之间，据此解答。
【详解】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39…
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40…
6的倍数：6、12、18、24、30、36、42…
所以36同时是3、4、6的倍数，且在30～40之间。
答：五（1）班有36人。
29．见详解
【分析】单价×数量＝总价，足球单价×个数＝应付钱数，买了3个足球，应付钱数应该是3的倍数，据此分析。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】1＋3＋4＝8
答：应付钱数不对，因为足球单价×3＝应付钱数，应付钱数应该是3的倍数，而134不是3的倍数。
30．123480
【分析】一个数能被8整除，那么它的最后两位数也能被8整除；一个数能被9整除，那么它的各位数之和也能被9整除；所以补充的两位数应该是8的倍数，且各位上的数的和是9的倍数。据此解答。
【详解】想要这个数可以被9整除，则各位上的数的和是9的倍数，1＋2＋3＋4＝10，至少再加上8就是9 的倍数，则后位可能是 08、80、17、71、26 、62 、35 、53、44，想要这个数可以被8整除，则后两位可以被8 整除，以上数字中可以被8整除的数只有08和80，要补一个两位数。则十位不能为0、补充的两位数最小是80。
答：补充后的六位数最小是123480。
31．见详解
【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。
【详解】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9；
因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10；
120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。
【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。
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