第二章 专题强化5
课后知能作业
基础巩固练
1.假设航展中有甲、乙两飞机在平直跑道上同向行驶，0～t2时间内的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．乙飞机在0～t2时间内的平均速度等于
B．甲飞机在0～t2时间内的平均速度比乙的大
C．两飞机在t1时刻一定相遇
D．两飞机在0～t2时间内不可能相遇
解析：因为乙飞机做变减速运动，故平均速度小于，故A项错误；由于v－t图像的图线与时间轴所围的面积表示物体的位移大小，则在0～t2时间内，甲飞机的位移大于乙飞机的位移，由＝可知，甲飞机的平均速度大于乙飞机的平均速度，故B项正确；由于不知道甲、乙两飞机初始位置，所以无法判断两飞机在t1时刻或0～t2时间内能不能相遇，故C、D两项错误。故选B。
2．一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是( )
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B．在t＝3 s时发生追尾事故
C．在t＝5 s时发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m
解析：根据速度—时间图线与坐标轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移xb＝vbt＝10×3 m＝30 m，小汽车的位移xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m，则xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；若紧急刹车时两车相距40 m，由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误。故选B。
3．甲车静止在一平直公路上，乙车以大小为6 m/s的速度做匀速直线运动从甲车旁经过，甲车立即做初速度为零的匀加速直线运动，经过4 s恰好追上乙车，不考虑车辆尺寸，则( )
A．追上乙车时，甲车的速度大小为6 m/s
B．追上乙车时，甲车的速度大小为24 m/s
C．甲车匀加速直线运动的加速度大小为1 m/s2
D．甲车匀加速直线运动的加速度大小为3 m/s2
解析：甲、乙两车位移相等，有at2＝v乙t，解得甲车匀加速直线运动的加速度大小为a＝3 m/s2，选项C错误，D正确；追上乙车时，由v甲＝at，甲车的速度大小为12 m/s，选项A、B错误。故选D。
4．自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是( )
解析：v－t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。故选D。
5．在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，有一人在车后与车相距25 m处，同时开始以6 m/s的速度匀速追车，人与车前进的方向相同，则人能否追上车？若追得上，求追上时小车的速度；若追不上，求人与车的最小距离。
答案：不能 7 m
解析：当小车与人的速度相等时，小车与人相距最近，
即v车＝v人＝6 m/s
又v车＝at，则t＝＝6 s
在6 s内小车行驶的距离x车＝at2＝18 m
人运动的距离x人＝v人t＝36 m
由于x车＋25 m>x人，所以人不能追上车
人与车的最小距离Δs＝x车＋s0－x人＝7 m。
综合提升练
6．(2024·山东临沂高一期末)A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到( )
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．1 600 m
解析：由于B车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，则a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，设经历时间t0 B车减速至与A车速度相等，则有vA＝vB－at0，为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到xmin＝t0－vAt0，解得xmin＝800 m，故选B。
7．(多选)(2024·茂名高一检测)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移x(m)随时间t(s)变化的规律：汽车为x＝10t－t2，自行车为x＝6t，则下列说法正确的是( )
A．汽车做匀减速直线运动，且汽车经20 s停止
B．在t＝8 s时两车速度相等，自行车第一次追上了汽车
C．在t＝0至t＝16 s时间内，两车间距离先增大后减小
D．当自行车追上汽车时，它们距路标96 m
解析：汽车的位移时间关系为x＝10t－t2＝v0t＋at2，知v0＝10 m/s，a＝－0.5 m/s2，汽车做匀减速直线运动，停止时间t0＝＝20 s，故A正确；两车速度相等时有10－0.5t＝6，解得t＝8 s，在此之前，汽车速度始终大于自行车，此时相距最远，故B错误；相遇时，根据10t－t2＝6t，解得t＝16 s，此时距离路标的距离x＝6t＝6×16 m＝96 m，故D正确；8 s后，汽车速度小于自行车，两车间距减小，故在t＝0至t＝16 s时间内，两车间距离先增大后减小，故C正确。故选ACD。
8．(2024·厦门高一检测)一辆汽车以某一速度在平直路面上匀速行驶，司机忽然发现正前方一辆自行车正以4 m/s同向行驶，汽车司机反应0.5 s后为避免相撞立即匀减速刹车，恰好未与自行车相撞，已知汽车刹车过程中一直匀减速至停止运动，从减速开始，第1 s的位移是32 m，第5 s的位移是1 m，两车均可视为质点。求：
(1)汽车匀速行驶的速度大小；
(2)汽车司机发现自行车时两车间的距离。
答案：(1)36 m/s (2)80 m
解析：(1)设汽车5 s末没有减速至0，则
第1 s内，有x1＝v0t－at2
第5 s内，有x5＝(v0－4at)t－at2
整理得x1－x5＝4at2
其中t＝1 s，x1＝32 m，x5＝1 m
解得a＝7.75 m/s2
v0＝35.875 m/s
汽车第5 s末的速度为v5＝v0－5at
解得v5＝－2.875 m/s，不合理
所以汽车在4～5 s间减速至0。
设第4 s末的速度为v4，
有2a′x5＝v
x1＝(v4＋4a′t)t－a′t2
解得v4＝4 m/s，a′＝8 m/s2
故汽车匀速行驶的速度大小v0′＝v4＋4a′t
解得v0′＝36 m/s。
(2)汽车恰好未与自行车相撞，速度相等，有v0′－a′t′＝v
解得t′＝4 s
汽车司机发现自行车时两车间的距离为
x0＝v0′t0＋v0′t′－a′t′2－v(t0＋t′)
其中t0＝0.5 s
解得x0＝80 m。
9．(2024·南京高一检测)A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s。当B车运动至A车前方L＝7 m处时，B车刹车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：
(1)从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；
(2)在A车追上B车之前，二者之间的最大距离。
答案：(1)8 s (2)16 m
解析：(1)假设A车追上B车时，B车还没停止运动，设t′时间内A车追上B车，根据题意，A车追上B车，需要通过位移xA＝xB＋L
A车的位移是xA＝vAt′
B车的位移是xB＝vBt′＋at′2
联立解得t′＝7 s
但B车停下来所用时间
tB＝＝ s＝5 s
比较t′和tB可知，A车是在B车停止运动后才追上B车的，因此7 s不是A车追上B车的时间，设A车追上B车的时间为t，即xA′＝vAt
B车实际运动时间应为tB，
即xB′＝vBtB＋at，
A车追上B车，需要通过位移xA′＝xB′＋L，
联立解得t＝8 s。
(2)在A车追上B车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此时两车运动时间为t0
vA＝vB＋at0
此时二者之间有最大距离
Δxmax＝xB′＋L－xA′
其中xA′＝vAt0
xB′＝vBt0＋at
代入数据解得Δxmax＝16 m。
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第二章 匀变速直线运动的研究
专题强化5 追及相遇问题
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 知道什么是追及和相遇问题。 两物体最大距离、最小距离、运动时间和临界速度、临界加速度的计算。
科学思维 (1)理解追及问题的一个临界条件。
(2)建立运动情境，画好示意图，会分析追及相遇问题。
●重难解读
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度；如果出发时前者速度较大，而后者做匀加速运动，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最远。
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近。
2．追及、相遇问题中的“一个临界条件”和“两个关系”
一个临界条件 速度相等：它是两物体是否相遇、距离最大、距离最小的临界点，也是解题的关键切入点
两个关系 (1)时间关系：两个物体是同时运动还是先后开始运动。
(2)位移关系：两个物体是同地出发还是有初始距离。
通过画示意图找出两物体之间的位移关系是解题的突破口
3．解答追及、相遇问题的常用方法
(1)物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图像法：将两者的v－t图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇。若Δ<0，说明追不上或不能相碰。
4．解题思路
类型一：初速度小者追初速度大者
例1：一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试问：
(1)汽车从路口开动后，在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)汽车什么时间追上自行车？此时汽车的速度是多少？
思维引导：本题属于追及相遇问题，可用多种方法求解。物理分析法解题快，函数法解题步骤清晰，易于表达，而图像法不但能找到极值点，还能找到相遇点，能得出当两物体相距最远时的时间t、速度v，同时能得出当两物体相遇时用的时间和速度。同学们可尝试用不同的方法求解。
解析：(1)解法一(函数法)：当运行时间为t时，
当判别式Δ≥0时方程有实数解，即Δx≤6 m，当且仅当等式成立时有极值。
解法四(图像法)：画出v－t图像，如图所示。图线与时间轴围成的面积就是位移。
经分析得两车的速度相等时，两车间的距离最大，则
解得t＝2 s，Δx＝6 m。
解法二(图像法)：由前面的v－t图像可看出当t′＝2t＝4 s时，两车位移相等，此时汽车的速度v汽＝2v＝12 m/s。
答案：(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
?[规律方法]
[规律方法]初速度小者追初速度大者规律总结
注意：匀速(或匀加速)追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论
实物图
(设经t0时间两物体速度相等)
t＝t0以前(v2t＝t0时(v1＝v2) 相距最远
t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小
追及情况 只能追上一次
跟踪训练1：如图所示，A、B两物体相距x＝7 m时，物体A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
类型二：初速度大者追初速度小者
例2：货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m。
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车？若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。
速度相等是两车能否相撞的临界条件，求出B车加速到20 m/s的时间t1，再求出t1时间内A、B两车的位移xA、xB，从图可以看出，如果xA>xB＋x0，两车相撞；如果xA(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免相撞。(这段公路很窄，无法靠边让道) ?
B车加速度最小不相撞的时候，应是A、B两车速度相等且A、B两车处于同一位置的时候，位移关系应为xA′＝x0＋xB′
?[规律方法]
[规律方法]初速度大者追初速度小者规律总结
实物图
(设经时间t0两物体速度相等)
t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时)
t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx若Δx>x0，相遇两次
类型三：根据v－t图像判断能否相遇
例3：(多选)如图所示是A、B两物体同时由同一地点向同一方向做直线运动的v－t图像，从图像上可知，0～40 s内( )
A．A做匀速运动，B做匀加速运动
B．20 s末A、B相遇
C．20 s末A、B相距最远
D．40 s末A、B相遇
类型四：自由落体运动与竖直上抛运动的相遇问题
例4：球A从高h＝2 m的位置自由下落，同时球A正下方的球B从地面以v0＝5 m/s的速度向上抛出。(g取10 m/s2，不计空气阻力)
(1)求两球相遇时B球的速度大小；
(2)若B球以v0′＝4 m/s的速度抛出，两球会不会在空中相遇？请说明理由。
解析：(1)设两球相遇所需时间为t
由vB＝v0－gt得vB＝1 m/s。
(2)假设两球会在空中相遇，设相遇时间为t′
由于t′答案：(1)1 m/s (2)会 理由见解析
