第二章 专题强化1
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 平均速度公式的应用
1．电动自行车以其时尚、方便、快捷深受广大中学生的喜爱，但由电动自行车引发的交通事故也在逐年增多，学习交通安全常识，自觉遵守交通法规是确保学生交通安全的重要举措之一。按规定电动自行车在城区限速20 km/h。某同学为了判断自己正常行驶时是否超速，在一次正常行驶途中经过某一位置时立刻切断电源，让电动自行车沿直线自由滑行。测得电动自行车滑行的最大距离为15 m，滑行的时间为5 s，则该同学正常行驶的车速约为( )
A．3 km/h B．3 m/s
C．6 km/h D．6 m/s
解析：根据x＝t得，v＝＝ m/s＝6 m/s＝21.6 km/h，D正确。
2．物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为( )
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．无法求解
解析：设最大速度为vm，匀加速直线运动过程中有＝(0＋vm)＝，x1＝t1；匀减速直线运动过程中有＝(vm＋0)＝，x2＝t2，所以整个运动过程x＝x1＋x2＝(t1＋t2)＝t，解得vm＝30 m/s，B正确。
3．(2023·浙江高一期中)一列火车开始启动，车上的小明想测量一下火车的加速度(火车看成匀加速直线运动)，如图所示，他看到旁边的排列整齐的电线杆，当他经过第1根电线杆时开始计时，过第4根杆时，用时6 s，过第6根杆时停止计时，共用时8 s，电线杆之间的间距相同，都是50 m，则列车的加速度为( )
A．6.25 m/s2 B． m/s2
C． m/s2 D．12 m/s2
解析：第1根到第4根杆间的位移为x1＝50×3 m＝150 m，用时6 s，第3秒末的速度为v3＝1＝＝25 m/s，第1根到第6根杆间的位移为x2＝50×5 m＝250 m，用时8 s，第4秒末的速度为v4＝2＝＝31.25 m/s，a＝＝6.25 m/s2，故选A。
知识点二 位移中点的速度
4．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移x时的速度是v，那么经过位移为2x时的速度是( )
A．v B．v
C．2v D．4v
解析：已知v0＝0，由v＝可知，终点位置的瞬时速度v′＝v，B正确。
5．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时刻的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
解析：全程的平均速度v＝＝，选项A正确；时刻物体的速度等于全程的平均速度，选项B错误；若末速度为v，则＝，v＝，中间位置的速度v＝＝＝，选项C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，选项D正确。故选B。
知识点三 Δx＝aT2的应用
6．物体做匀变速直线运动，第7 s内通过的位移大小是4 m，第10 s内通过的位移大小是10 m，以第7 s内通过的位移方向为正方向，则物体的加速度可能是( )
A．－2 m/s2 B．2 m/s2
C． m/s2 D．14 m/s2
解析：情形一：若物体第10 s内通过的位移方向与第7 s内通过的位移方向相同，有Δx＝x10－x7＝3aT2，代入数据解得a＝2 m/s2。
情形二：若物体第10 s内通过的位移方向与第7 s内通过的位移方向相反，有Δx′＝x10′－x7′＝3a′T2，代入数据解得a′＝－ m/s2，故选B。
7. (多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则( )
A．猎豹的加速度为5 m/s2
B．猎豹的加速度为10 m/s2
C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
解析：由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A正确，B错误；猎豹的最大速度v＝108 km/h＝30 m/s，由v＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。故选AD。
8．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带的一部分如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出。则在打B点时，小车的速度为_0.26__m/s，并可求得小车的加速度大小为_0.4__m/s2。
解析：由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可知加速度a＝＝×10－3m/s2＝0.4 m/s2。
综合提升练
9．(2024·浙江宁波市高一期末)如图所示，为了研究物体做加速运动的规律，伽利略制造了一个长2 m的平缓斜面，其与水平面的夹角θ只有1.7°，并在斜面上刻了一条槽，使重的青铜球可以滚动。他在斜面上安放了一些很小的凸条(图中用“△”表示，凸条很小，可认为不影响小球的运动)，这样当球经过每个凸条时就会有轻微的咔哒声。通过调整凸条的位置，使咔哒声之间的时间间隔相等。调整好后，小球从紧靠1号凸条右侧处由静止释放，则可测得4、5号凸条之间的平均速度与2、3号凸条之间平均速度的比值最接近( )
A．5∶3 B．7∶3
C．3∶5 D．3∶7
解析：由题，咔哒声之间的时间间隔相等，设时间间隔为t，小球的运动为初速度为零的匀变速直线运动，设加速度为a，则2、3号凸条之间平均速度等于2、3之间中点时刻的瞬时速度，即23＝v2.5＝1.5at。4、5号凸条之间平均速度等于4、5之间中点时刻的瞬时速度，即45＝v4.5＝3.5at。所以4、5号凸条之间的平均速度与2、3号凸条之间平均速度的比值最接近＝＝，故B正确，A、C、D错误。故选B。
10．(多选)(2024·陕西渭南高一统考期末)物体做匀加速直线运动，已知第1 s内的平均速度是6 m/s，第2 s内的平均速度是8 m/s，则下面结论正确的是( )
A．该物体零时刻的速度是0
B．第1 s末的速度是6 m/s
C．前2 s内的平均速度是7 m/s
D．物体的加速度是2 m/s2
解析：物体做匀加速直线运动，第1 s内、第2 s内的平均速度分别等于t1＝0.5 s时刻、t2＝1.5 s时刻的速度，则2＝1＋a(t2－t1)，解得a＝2 m/s2，故D正确；物体做匀加速直线运动，则第1 s内的平均速度等于t1＝0.5 s时刻的瞬时速度，所以v0 ＋ at1＝6 m/s，解得v0＝5 m/s，故A错误；根据v1＝v0＋at，解得第1 s末的速度为v1＝7 m/s，故B错误；前2 s内的平均速度等于第1 s末的速度，即＝v1＝7 m/s，故C正确。故选CD。
11．(2023·江苏南通高一南通一中校考期末)小球被竖直向上抛出，如图示为小球向上做匀减速直线运动时的频闪照片，频闪仪每隔0.05 s闪光一次，测出ac长为23 cm，af长为34 cm，下列说法正确的是( )
A．bc长为13 cm
B．df长为3 cm
C．小球的加速度大小为12 m/s2
D．小球通过d点的速度大小为2.2 m/s
解析：由题意知xac＝23 cm＝0.23 m，xaf＝34 cm＝0.34 m，T＝0.05 s，根据匀变速直线运动的规律可知，连续相等时间间隔内的位移之差为常量，即xac－xcf＝a(2T)2，解得a＝＝×10－2 m/s2＝12 m/s2，故C正确；由xab＋xbc＝0.23 m，xab－xbc＝aT2，联立解得xbc＝0.1 m＝10 cm；由xaf－xac＝xcf＝xcd＋cdf，xcd－xdf＝aT2，解得xdf＝0.04 m＝4 cm，故A、B错误；由题意知xcf＝11 cm＝0.11 m，匀变速运动中，某段时间内的平均速度等于这一段时间中间时刻的瞬时速度，则d点的速度为vd＝＝ m/s＝1.1 m/s，故D错误。故选C。
12．相同的小球从斜面上某位置每隔0.1 s释放一个小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：
(1)小球的加速度；
(2)拍摄时B球的速度vB；
(3)A球上面滚动的小球还有几个？
答案：(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)2个
解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为t＝0.1 s，可以等效为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为：
a＝＝ cm/s2＝500 cm/s2＝5 m/s2。
(2)由题意知B点是AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段的平均速度，即：
vB＝AC＝＝ cm/s＝1.75 m/s。
(3)设A点小球的速度为vA，因为vB＝vA＋at，vA＝vB－at＝1.75 m/s－5×0.1 m/s＝1.25 m/s，所以A球的运动时间为：tA＝＝ s＝0.25 s，因为每隔0.1 s释放一个小球，故A球的上方正在滚动的小球还有2个。
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第二章 匀变速直线运动的研究
专题强化1 匀变速直线运动的两个推论及应用
●目标重点展示
提升点1 平均速度公式
2．基本内容：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间内初、末速度矢量和的一半。
?[思考]
例1：一滑雪运动员从120 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是2.0 m/s，末速度是10.0 m/s。求：
答案：(1)20 s (2)6 m/s
跟踪训练1：做匀加速直线运动的质点，在第一个3 s内的平均速度为5 m/s，在第一个5 s内的平均速度为8 m/s，则质点的加速度大小为( )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．4 m/s2
提升点2 位移中点的瞬时速度公式
2．基本内容：在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
?[拓展]
例2：(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有( )
D．在匀变速直线运动中一定有v3>v4＝v5
跟踪训练2：(2024·湖南邵阳市高一期末)做匀加速运动的列车出站时，车头经过站台某点O时速度是1 m/s，车尾经过O点时的速度是7 m/s，则这列列车的中点经过O点时的速度为( )
A．5 m/s B．5.5 m/s
C．4 m/s D．3.5 m/s
提升点3 位移差公式Δx＝aT 2
2．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个常量，即Δx＝aT2。
》特别提醒
此推论经常用来判断物体是否做匀变速直线运动和求解物体的加速度。
3．拓展：不连续的相等时间内的位移差公式xm－xn＝(m－n)aT2，xm为第m段位移，xn为第n段位移。推导过程可用归纳总结的方法得出，如x2－x1＝aT2①，x3－x2＝aT2②，x4－x3＝aT2③，①＋②得x3－x1＝2aT2，①＋②＋③得x4－x1＝3aT2，②＋③得x4－x2＝2aT2，最后总结出公式为xm－xn＝(m－n)aT2。
4．逐差法求加速度
如图所示，纸带上相邻两计数点间的距离分别为x1、x2、…、x6，两计数点间的时间间隔为T，由xm－xn＝(m－n)aT2
?[拓展]
?[拓展]
[拓展]
若题目中给出四组数据即x1、x2、x3、x4，
类型一：Δx＝aT2的应用
例3：(2023·北京东城高一期末)一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s、第2 s、第3 s前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，可进一步推断汽车的加速度大小为( )
A．2 m/s2 B．5 m/s2
C．7 m/s2 D．9 m/s2
解析：据匀变速直线运动相邻的相等的时间内的位移之差相等可以判断汽车做匀变速直线运动，则根据逐差法有x2－x1＝at2，代入数据可解的a＝－2 m/s2，即加速度大小为2 m/s2。故选A。
跟踪训练3：(2023·湖南师大附中高一上月考)一个质点正在做匀加速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行频闪照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片得到的数据，发现质点在第一次、第二次闪光的时间间隔内移动了2 m，在第四次、第五次闪光的时间间隔内移动了8 m，由此可知( )
A．质点运动的初速度为0
B．质点运动的加速度大小为2 m/s2
C．第一次闪光时质点的速度大小为1.2 m/s
D．从第二次闪光到第三次闪光这段时间内质点的位移大小为5 m
类型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
例4：在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，打点计时器所用电源的频率为50 Hz，如图为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点中间都有四个点未画出。按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个计数点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图。
(1)分析小车做什么运动；若小车做匀变速直线运动，则当打计数点3时，求小车的速度大小；
(2)求小车的加速度。(结果均保留2位有效数字)
由题图可得相邻计数点的位移分别为x1＝8.78 cm，x2＝7.30 cm，x3＝5.79 cm，x4＝4.29 cm，x5＝2.78 cm。
所以相邻计数点间的位移之差为Δx1＝x2－x1＝－1.48 cm，Δx2＝x3－x2＝－1.51 cm，Δx3＝x4－x3＝－1.50 cm，Δx4＝x5－x4＝－1.51 cm。在误差允许范围内，可近似认为Δx1＝Δx2＝Δx3＝Δx4<0，即连续相等时间内的位移差相等且为负，所以小车做匀减速直线运动。
答案：(1)匀减速直线运动 0.50 m/s (2)1.5 m/s2 方向与初速度方向相反
?[规律方法]
[规律方法]
研究纸带时，可以根据纸带上相邻的相等时间间隔内的位移之差的关系判断物体是否做匀变速直线运动。对于各点速度，可以按中间时刻速度等于该段时间内的平均速度求解。加速度可用逐差法或图像法求解，这样有利于减小误差。解题时还要注意所取计数点间的时间间隔为多少。
