第三章 专题强化6
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 解析法的应用
1.如图所示，随着高层建筑的不断增加，大型的家具或者电器无法通过电梯搬运的时候，工人师傅常常使用定滑轮牵引物体向上运动。假设墙壁光滑，家具或者电器可视为规则的球体，在物体缓慢地从N点滑至M点的过程中( )
A．绳对物体的拉力逐渐减小
B．物体对墙的压力逐渐增大
C．墙对物体的支持力跟物体对墙的压力是一对平衡力
D．绳对物体的拉力先减小后增大
解析：对物体受力分析，如图所示，设绳子与竖直方向的夹角为θ，物体上升的过程中夹角θ逐渐增大，根据平衡条件可知，在竖直方向有FTcos θ＝G，可知θ增大，cos θ减小，FT增大；在水平方向有FTsin θ＝FN，联立得FN＝Gtan θ，可知θ增大，tan θ增大，FN增大，A、D错误，B正确；墙对物体的支持力跟物体对墙的压力是一对作用力和反作用力，C错误。故选B。
2.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F的作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中( )
A．F增大，FN增大 B．F减小，FN减小
C．F增大，FN减小 D．F减小，FN增大
解析：对小球的受力分析如图所示。F与FN方向垂直。小球缓慢地由A向B运动，可知小球处于平衡状态，所受合力为零。F与FN的合力与小球所受重力等大、反向。由几何知识得F＝mgsin θ，FN＝mgcos θ。在小球运动过程中，θ角增大，可得F增大，FN减小，选项C正确。故选C。
3.汽车45°极限爬坡时的照片如图所示，汽车缓慢逐步沿斜坡攀爬的过程中，坡的倾角逐渐增大至45°。下列关于汽车在这一爬坡过程的说法正确的是( )
A．坡的倾角越大，汽车对坡面的压力也越大
B．汽车受到沿坡面向下、大小不断减小的滑动摩擦力作用
C．汽车受到沿坡面向上、大小不断增大的静摩擦力作用
D．若汽车能顺利爬坡，则车胎与坡面间的最大静摩擦力至少为车重的大小
解析：由于汽车缓慢逐步沿斜坡攀爬，故汽车受力平衡，对坡面上的汽车受力分析，坡面上的汽车受到重力、坡面的支持力与摩擦力，设坡的倾角为θ，汽车所受重力大小为G，则支持力FN＝Gcos θ，坡的倾角增大，则汽车受到的支持力减小，根据牛顿第三定律可知，坡的倾角增大，则汽车对坡面的压力减小，故A错误；汽车受到的摩擦力Ff＝Gsin θ，方向沿斜面向上，当θ增大时，汽车受到的摩擦力增大，故B错误，C正确；要使汽车不打滑，则有Ffm≥Gsin θ，由于sin 45°＝，可知若汽车能顺利爬坡，则车胎与坡面间的最大静摩擦力至少为G，故D错误。故选C。
知识点二 图解法的应用
4.(多选)(2024·重庆八中期末)如图，用OA、OB两根轻绳将质量为m的花盆悬于两竖直墙之间，开始时OA与竖直墙壁夹角为60°，OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳的长度使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB(重力加速度为g)，则( )
A．FOA、FOB的合力将增大
B．FOA先减小后增大
C．FOB先减小后增大
D．FOB最小为mg
解析：根据平衡条件可知，FOA、FOB的合力始终与花盆的重力平衡，所以不变，故A错误；花盆在重力mg、FOA、FOB三力作用下处于动态平衡状态，作出一系列矢量三角形如图所示。由图可知FOA一直减小，FOB先减小后增大，且当FOB垂直于FOA时有最小值，为FOBmin＝mgsin 60°＝mg，故B错误，C、D正确。故选CD。
5．如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A点自由转动。用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在以O点为圆心、R为半径的圆弧形墙壁上的C点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB缓慢移动过程中(保持OA与地面夹角θ不变，且OA杆对O点的作用力的方向始终沿着AO方向)，OC绳所受拉力的大小变化情况是( )
A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
解析：据题意，当细绳OC的C点向B点缓慢移动过程中，系统处于平衡状态，对O点受力分析，受到竖直绳的拉力，该拉力T＝G，还受到杆的支持力FN和细绳OC的拉力TC，由力的三角形定则作矢量三角形，如图所示，可以看出代表细绳OC的拉力TC的对应边的长度先减小后增大，则拉力TC的大小也是先减小后增大，故选项C正确。
知识点三 相似三角形法的应用
6．(2024·山西运城高一期末)表面光滑的四分之一圆柱体紧靠墙角放置，其横截面如图所示。细绳一端连接小球，另一端绕过P处滑轮，小球在外力F拉动下从A点缓慢移动到B点。已知AP长度是BP长度的2倍，则小球在A处时的绳子拉力与小球在B处时绳子拉力的比为( )
A. B．
C．2 D．4
解析：由于小球是缓慢移动的，可以认为小球始终处于平衡状态，设在A、B两点时绳子的拉力分别为F1、F2。在A点处，小球受到重力、拉力、支持力的作用，三个力将构成一个闭合的矢量三角形，这个三角形与△APO相似，则有＝，同理，在B处有＝，由于AP＝2BP，所以F1＝2F2，故选C。
7．(2024·山东济南高一期末)在旅行途中，小勤想起了历城二中的标志性雕塑：妙笔生花。雕塑可以简化为如图所示的模型：一个半球形花冠和竖直的毛笔底座。若花冠中落入一连接有轻绳的质量为m的物体，轻绳搭在花冠边缘，小勤设想若用力拉动轻绳使物体沿花冠缓慢向上移动，在此过程中若忽略一切阻力，则( )
A．细绳的拉力先增大后减小
B．细绳的拉力一直增大
C．花冠对物体的支持力先增大后减小
D．花冠对物体的支持力一直增大
解析：对物体受力分析，如图所示力的三角形和几何三角形相似，则有＝，当物体缓慢向上移动时，R不变，l增大，mg不变，则FN减小，在力的三角形中，支持力FN、拉力F的合力与重力mg等大反向，mg保持不变，FN减小时，F增大。故选B。
综合提升练
8．如图所示，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点，系统仍然平衡，以下说法正确的是( )
A．夹角θ将变小 B．夹角θ将变大
C．物体B位置将变高 D．绳子张力将增大
解析：因为绳子张力始终与B物体重力平衡，所以绳子张力不变，因为重物A的重力不变，所以绳子与水平方向的夹角不变，因为绳子一端从P点缓慢移到Q点，所以重物A会下落，物体B位置会升高。故选C。
9．(多选)(2024·河北石家庄高一阶段练习)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态，衣服及衣架钩总质量为m，重力加速度为g，如果绳长为l，两杆间距为d，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力大小为
B．增大两杆间距，绳的拉力不变
C．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，绳子的拉力不变
D．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，两绳拉力的合力不变
解析：对衣架钩进行受力分析，假设绳子拉力与竖直方向之间夹角为θ，根据平衡条件可得mg＝2Tcos θ ①，假设两段绳子长度分别为l1、l2，满足l1sin θ＋l2sin θ＝lsin θ＝d，解得sin θ＝，可得cos θ＝ ②，②式代入①式可得T＝，由上式可得，增大两杆间距，绳子拉力增大，故A、B错误；绳子的b 端缓慢上移到 b′的过程中，由T＝，可得绳子拉力不变，故C正确；绳子的b 端缓慢上移到 b′的过程中，根据平衡条件可得，两绳拉力的合力始终与重力等大反向，两绳拉力的合力不变，故D正确。故选CD。
10.(多选)如图所示，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则( )
A．P向下滑动
B．P静止不动
C．P所受的合外力增大
D．P与斜面间的静摩擦力增大
解析：P在斜面上处于静止状态，设P的质量为M，斜面的倾角为θ，斜面与P之间的动摩擦因数为μ0，则有μ0Mgcos θ≥Mgsin θ，μ≥tan θ，当加上一个质量为m的物体Q后，有μ0(M＋m)gcos θ≥(M＋m)gsin θ，因此P仍处于静止状态，选项A错误，B正确；由于P处于静止状态，合外力为零，故选项C错误；由物体的平衡条件知，P与斜面间的静摩擦力由Mgsin θ变为(M＋m)gsin θ，故选项D正确。故选BD。
11.如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平。将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点)，下列说法正确的是( )
A．弹簧长度不变
B．弹簧长度变短
C．小球对半球的压力变大
D．小球对半球的压力变小
解析：以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G、细绳的拉力FT和半球形物体的支持力FN，作出FN、FT的合力F，如图
由平衡条件得知F＝G，由△NFP∽△PDO得＝＝，将F＝G代入，得FN＝G，FT＝G，将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中，DO、PO不变，PD变小，可见FT变小，FN不变，可知弹簧的弹力变小，弹簧变短。由牛顿第三定律知小球对半球的压力不变，故B正确，A、C、D错误。故选B。
12.(多选)如图所示，斜面体P放在水平面上，斜面的倾角为θ，物体Q放在斜面上，Q受到一个水平向右的作用力F，P和Q都保持静止，这时Q受到的静摩擦力大小为f1，P受到水平面的静摩擦力的大小为f2，现增大F，若P、Q仍静止，则( )
A．f1一定变大 B．f1不一定变大
C．f2一定变大 D．f2不一定变大
解析：对物体Q受力分析，Q受推力F、重力、支持力，也可能受摩擦力，当mgsin θ>Fcos θ时，摩擦力沿着斜面向上，大小为f1＝mgsin θ－Fcos θ，F增大时，f1变小；当mgsin θ＝Fcos θ时，摩擦力为零，F再继续增大时，f1变大，方向沿斜面向下；当mgsin θ21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
第三章 相互作用——力
专题强化6 动态平衡问题
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 知道什么是动态平衡问题。 (1)动态平衡问题。
(2)动态平衡问题的解题方法。
科学思维 会用“解析法”“图解法”“相似三角形法”解答动态平衡问题。
提升点1 动态平衡问题
●重难解读
1．动态平衡
平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类题型。
2．基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
3．常用方法：解析法、图解法和相似三角形法
方法一：解析法
例1：(多选)甲、乙两建筑工人用简易机械装置将工件从地面提升并运送到楼顶。如图所示，设当工件提升到一定高度后，两工人保持位置不动，甲通过缓慢释放手中的绳子，使乙能够用一始终水平的轻绳将工件缓慢向左拉动，最后将工件运送至乙所在位置，完成工件的运送。绳的重力及滑轮的摩擦不计，滑轮大小忽略不计，则在工件向左移动的过程中( )
A．甲手中绳子上的拉力大小不变
B．乙手中绳子上的拉力不断增大
C．楼顶对甲的支持力不变
D．楼顶对甲的摩擦力大于对乙的摩擦力
解析：开始时甲拉的绳子上的拉力大小等于物体重力，后来重力和乙对绳子的拉力的合力大小等于甲的拉力，如图所示，由于三角形斜边大于任意直角边，所以甲对绳子的拉力增大，乙对绳子的拉力增大，A错误，B正确；对甲受力分析可知FN＝G甲－Tsin α，随T的增加，则地面对甲的支持力减小，C错误；由图可知，甲受的摩擦力等于绳子拉力的水平分量，即f甲＝Tcos α，乙受的摩擦力等于绳子拉力的水平分量，即f乙＝Tcos β，因α<β，可知f甲>f乙，即楼顶对甲的摩擦力大于对乙的摩擦力，D正确。故选BD。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，求出未知量与已知量的关系表达式。
(2)根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。
跟踪训练1：如图所示，一小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，小鸟从A运动到B的过程中( )
A．树枝对小鸟的弹力先减小后增大
B．树枝对小鸟的摩擦力先增大后减小
C．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大
D．树枝对小鸟的作用力先减小后增大
解析：对小鸟受力分析如图所示，小鸟所受的弹力FN＝mgcos θ，从A到B的过程中，θ先减小后增大，则弹力先增大后减小，故A项错误；小鸟所受的摩擦力Ff＝mgsin θ，从A到B的过程中，θ先减小后增大，则摩擦力先减小后增大，故C项正确，B项错误；树枝对小鸟的作用力始终与小鸟的重力等大且反向，所以树枝对小鸟的作用力大小不变，故D项错误。故选C。
方法二：图解法
问题特点：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
例2：(2024·山东济宁高一期末)如图所示，一个倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间放一重力为G的光滑球，在挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中( )
A．球对挡板的压力先减小后增大
B．球对挡板的压力一直增大
C．球对斜面的压力先减小后增大
D．球对斜面的压力一直增大
解析：对光滑球受力分析如图所示，挡板转动时，挡板对球的弹力F1与斜面对球的弹力F2的合力大小方向不变，其中F2的方向保持不变，作辅助图如图，在挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中，F1的方向如图中a、b、c的规律变化，由平行四边形定则可知，F1的大小变化规律为先减小后增大，与此对应，F2的大小为一直减小，由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力一直减小。故选A。
?[规律方法]
[规律方法]
物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
(1)先画出大小、方向都不变的恒力；
(2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些；
(3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。
注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。
跟踪训练2：(多选)半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终
由于MN缓慢地向右移动，Q缓慢向下滚动，Q处于动态平衡状态。Q受三个力，重力一定，MN对Q的弹力方向一定，P对Q的弹力方向发生变化，因此，此题可以用图解法解题
保持静止，在此过程中( )
A．MN对Q的弹力逐渐增大→
Q受力分析如图，MN移动前的平行四边形如图OAQB，MN移动后的平行四边形如图OA′ QB′，由图可知MN对Q的弹力逐渐增大
B．地面对P的摩擦力逐渐增大→
把P、Q看成一个整体，地面对P的摩擦力等于MN对Q的弹力
C．P、Q间的弹力先减小后增大→
由图可知P、Q间的弹力也逐渐增大
D．Q所受的合力逐渐增大
解析：对小圆柱体Q受力分析如图所示，P对Q的弹力为F，MN对Q的弹力为FN，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的夹角逐渐增大，而小圆柱体所受重力大小不变，所以F和FN的合力大小不变，故选项D错误；由图可知，F和FN都在不断增大，故选项C错误，A正确；对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小就等于FN，所以地面对P的摩擦力也逐渐增大，故选项B正确。故选AB。
方法三：相似三角形法
问题特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。
例3：如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力( )
A．逐渐减小
B．逐渐增大
C．大小不变
D．先减小后增大
?[规律方法]
[规律方法]利用相似三角形法解决动态平衡问题
(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形；
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形；
(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式；
(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。
提升点2 动态平衡问题的经典模型——晾衣架模型
问题特点：如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
(1)因为挂钩是光滑的，是“活结”，所以TOa＝TOb。
(2)α＝β。
证明：以结点O为研究对象，因为衣服处于静止状态，所以TOa、TOb在水平方向的合力为0，即TOasin α＝TObsin β，又因为TOa＝TOb，所以α＝β。
例4：(多选)如图所示，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物，挂在长度为L的轻绳上，开始时绳子固定在框架上等高的A、B两点，与水平方向的夹角为θ，绳子的拉力为F。现保持绳长不变，将绳子右端从B点沿竖直方向缓慢移至C点，再从C点沿水平方向向左缓慢移至D点。关于绳子拉力的变化。下列说法正确的是( )
A．从B移至C的过程中，拉力F变小
B．从B移至C的过程中，拉力F不变
C．从C移至D的过程中，拉力F不变
D．从C移至D的过程中，拉力F变小
