第四章 专题强化8
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 动力学图像问题
1．如图所示，一物体沿光滑斜面由静止开始从顶端下滑到底端，若用h、x、v、a分别表示物体下降的高度、位移、速度和加速度，t表示所用的时间，重力加速度为g，则下列图像中正确的是( )
解析：物体受重力和斜面的支持力，设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律知加速度为a＝gsin θ不变，物体做初速度为零的匀加速直线运动。位移x＝at2＝gt2sin θ，则h＝xsin θ＝gt2sin2θ，由此可见x、h都与时间的平方成正比，故A、B错误；速度v＝at＝gsin θ·t，与时间成正比，故C正确；加速度a＝gsin θ不变，故D错误。故选C。
2．若货物随升降机运动的v－t图像如图所示(竖直向上为正)，则货物受到升降机的支持力F与时间t关系的图像可能是图中的( )
解析：v－t图线的斜率表示加速度，则加速度图像如图所示。由牛顿第二定律可知F－mg＝ma，所以支持力F＝ma＋mg，重力保持不变，所以F－t图像相当于a－t图像向上平移，故B正确。
3．如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体先静止后又做变加速运动，其加速度随外力F变化的图像如图乙所示，根据图乙中所标出的数据可计算出(g取10 m/s2)( )
A．物体的质量为1 kg
B．物体的质量为2 kg
C．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
解析：由题图乙可知F1＝7 N时，a1＝0.5 m/s2，F2＝14 N时，a2＝4 m/s2，物体在水平方向上受外力F和摩擦力，由牛顿第二定律得F1－μmg＝ma1，F2－μmg＝ma2，解得m＝2 kg，μ＝0.3，故选项B正确。
4．(多选)如图乙所示，坐标系中的曲线反映的是图甲中滑块在斜面上自由下滑时，加速度a与斜面倾角θ之间的关系图像，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则( )
A．a1的大小为10 m/s2
B．a1的大小为8 m/s2
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.75
D．θ1＝53°
解析：当θ＝时，滑块做自由落体运动，则有a1＝g＝10 m/s2，A正确，B错误；当θ＝0°时，加速度大小为7.5 m/s2，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，解得μ＝＝0.75，C正确；当加速度为零时，有mgsin θ1＝μmgcos θ1，联立解得θ1＝37°，D错误。故选AC。
5．如图甲所示，在光滑的水平面上，物体A在水平方向的外力F作用下做直线运动，其v－t图像如图乙所示，规定向右为正方向。下列判断正确的是( )
A．在第3 s末，物体处于出发点右方
B．在1～2 s内，物体正向左运动，且速度大小在减小
C．在1～3 s内，物体的加速度方向先向右后向左
D．在0～1 s内，外力F不断增大
解析：根据v－t图像与坐标轴所围图形的面积表示位移，t轴上方位移为正，下方位移为负，则前3 s内物体的位移为正，则第3 s末物体处于出发点右方，故A正确；在1～2 s内，速度为正值，说明物体向右运动，速度大小不断减小，故B错误；在1～3 s内，图像的斜率不变，则加速度不变，故C错误；在0～1 s内，图像切线的斜率不断减小，则加速度不断减小，由牛顿第二定律可知外力F不断减小，故D错误。故选A。
知识点二 等时圆模型
6．(2024·河南郑州高一期末)如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为t1、t2、t3；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为t4、t5、t6，则( )
A．t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6 B．t1C．t1>t2>t3，t4>t5>t6 D．t2>t3>t1，t6>t5>t4
解析：如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可知加速度为a＝gsin θ，位移为x＝2Rsin θ，由匀变速直线运动规律有x＝at2，联立解得下滑时间t＝2，相当于沿竖直直径自由下落的时间，有t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6，故选A。
7.如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，圆周半径为R，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点。现有两个小滑环A、B分别从a、c处由静止释放，滑环A经时间t1从a点到达b点，滑环B经时间t2从c点到达d点；另有一小球C从c点静止释放做自由落体运动，经时间t3到达b点，不计一切阻力与摩擦，且A、B、C都可视为质点，则t1、t2、t3的大小关系为( )
A．t1＝t2＝t3
B．t1>t2>t3
C．t2>t1>t3
D．A、B、C的质量未知，因此无法比较
解析：对于环A，设ab与水平方向的夹角为θ，圆的半径为R，由牛顿第二定律可知，下滑加速度为a1＝＝gsin θ，又根据动力学公式2Rsin θ＝a1t，解得t1＝，对于环B，设cd与水平方向的夹角为α，由牛顿第二定律可知，下滑加速度为a2＝＝gsin α，又根据动力学公式2Rsin α＝a2t，解得t2＝，对自由落体的球C而言，有t3＝＝，三者时间相等，故选A.
8．(2024·山东日照月考)如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直。各杆上分别套有一可视为质点的小球a、b、d，a、b、d三小球的质量之比为1∶2∶3。现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( )
A．1∶1∶1 B．5∶4∶3
C．5∶8∶9 D．1∶2∶3
解析：因ABCD为矩形，故A、B、C、D四点必在以对角线AC为直径的圆周上，由等时圆模型可知，由A、B、D三点释放的小球a、b、d必定同时到达圆周的最低点C，故选项A正确。
综合提升练
9.(多选)(2024·湖北高一校联考阶段练习)2023年11月11日，中国蹦床运动员朱雪莹、范欣怡、胡译乘荣获世界蹦床锦标赛女子网上团体冠军，为国家争得荣誉。如图是她们比赛时的画面。如果把网面近似看成遵循胡克定律的垫子，且不计空气阻力，则运动员从最高点运动到最低点过程中(以向下为正方向)，速度—时间、加速度—位移的图像正确的是( )
解析：人在下落的过程中，接触蹦床之前，人处于自由落体状态，加速度为g；接触之后，弹力F＝k·Δx，随下落距离逐渐增加，根据牛顿第二定律mg－k·Δx＝ma，可知，网面的形变量Δx和a线性变化关系，故a和x也是线性变化关系，当弹力F小于重力时，做加速度减小的加速运动；当弹力F等于重力时，加速度为零，速度最大；当弹力F大于重力时，做加速度增大的减速运动，所以加速度先不变，后减小再增大，且加速度a和x是线性变化关系，故C正确，D错误；人的加速度先不变，后减小后再反向增加，可知速度时间图像的斜率绝对值先不变，后减小再增加，故A正确，B错误。故选AC。
10．(2023·山东青岛高一期末)如图甲所示，水平地面上的一个物体，受到方向不变的水平推力F的作用，推力F与时间t的关系如图乙所示，物体的速度v与时间t的关系如图丙所示，以下说法正确的是( )
A．0～2 s，物体受到的摩擦力大于推力
B．2～4 s，物体的加速度大小为7 m/s2
C．0～6 s，物体受到的摩擦力大小为3 N
D．物体的质量为0.5 kg
解析：由图丙可知，0～2 s内物体没有推动，物体处于静止状态，推力大小等于摩擦力，A错误；由v－t图像可知，2～4 s物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝2 m/s2，B错误；根据上述可知0～2 s内，静摩擦力大小为Ff1＝F1＝1 N；由v－t图像可知4～6 s内物体匀速运动，滑动摩擦力大小等于推力，根据F－t可知滑动摩擦力大小为Ff2＝F3＝2 N,2～4 s物体做匀加速直线运动，物体受到滑动摩擦力，则大小为Ff2＝F3＝2 N，C错误；2～4 s物体做匀加速直线运动F2－Ff2＝ma，解得m＝0.5 kg，D正确。故选D。
11．如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动。过A点时给物体一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v－t图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)10 s内物体的位移；
(3)物体再次回到A点时的速度大小。
答案：(1)3 N 0.05 (2)2 m，方向水平向左 (3)4 m/s
解析：(1)设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v－t图像得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2，
由牛顿第二定律有F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2
联立解得F＝3 N，μ＝0.05。
(2)物体减速阶段即0到4 s内发生的位移大小x1＝v0t1－a1t＝16 m，方向水平向右；
物体从4 s到10 s反向做加速运动，发生的位移大小为x2＝a2t＝18 m，方向水平向左；
所以10 s内物体的位移大小x＝|x1－x2|＝2 m，
方向水平向左。
(3)由运动学公式v2＝2a2x1
代入数据解得v＝4 m/s。
12．如图甲所示，质量m＝1 kg的物体置于倾角θ＝37°的固定斜面上(斜面足够长)，对物体施加平行于斜面向上的恒力F，作用时间t1＝1 s时撤去拉力，物体运动的部分v－t图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数和拉力F的大小；
(2)t＝6 s时物体的速度；
(3)物体沿斜面上升的最大高度。
答案：(1)0.5 30 N (2)6 m/s 方向沿斜面向下 (3)18 m
解析：(1)设拉力F作用时物体的加速度为a1，对物体进行受力分析，由牛顿第二定律可知F－mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma1
撤去拉力F后，物体的加速度大小为a2，由牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma2
根据v－t图像的斜率表示加速度可知
a1＝20 m/s2，a2＝10 m/s2
联立解得μ＝0.5，F＝30 N。
(2)t2＝3 s时物体速度减为零，之后物体下滑，设其加速度大小为a3，根据牛顿第二定律有mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma3
解得a3＝2 m/s2
由速度与时间公式得到v＝a3(t－t2)＝6 m/s
即t＝6 s时物体的速度为6 m/s，方向沿斜面向下。
(3)由题图乙知，物体上滑过程中最大速度v1＝20 m/s，物体沿斜面上滑的最大位移x＝＋＝30 m
物体沿斜面上升的最大高度h＝xsin 37°＝18 m。
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第四章 运动和力的关系
专题强化8 动力学图像问题和等时圆模型
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 了解等时圆模型的特点和使用条件。 动力学图像与力和运动知识的综合应用。
科学思维 (1)理解动力学图像的物理意义，会利用图像信息对动力学问题进行分析。
(2)学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。
提升点1 动力学图像问题
●重难解读
几种常见的动力学图像
图像 题型
v－t图像 已知物体的运动图像，求解物体的受力情况 运动图像关联受力图像，对物体的受力情况、运动情况进行综合考察
a－t图像
F－t图像 已知物体的受力图像，求解物体的运动情况
F－a(或a－F)图像
F－x图像
类型一：由运动学图像分析物体的受力情况
例1：(多选)如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图线如图(b)所示。若重力加速度g及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( )
由此图线可以求出物块上升时的加速度大小a1。上升过程mgsin θ＋μmg cos θ＝ma1
由此图线可以求出物块下滑时的加速度大小a2下滑过程mgsin θ－ μmg cos θ＝ma2，由以上可求出斜面倾角和动摩擦因数，无法求出物块的质量
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
由图(b)可知，物块沿斜面向上位移x，上升最大高度H＝xsin θ
?[规律方法]
[规律方法]求解图像问题的基本方法
一看清：看清坐标轴所表示的物理量及单位。
二看明：分析图像，结合物理学知识，写出相应图像的函数关系式。
三升华：研究图像与函数的对应关系，确定斜率、面积所代表的实际物理意义，分析题中所求。
跟踪训练：(2024·广东广州高一期末)如图甲所示，小物块从光滑斜面上自由滑下，小物块的位移x和时间的平方t2的关系如图乙所示，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小物块的加速度大小恒为2.5 m/s2
B．斜面倾角为30°
C．小物块2 s末的速度是5 m/s
D．小物块第2 s内的平均速度大小为5 m/s
类型二：由F－t图像分析物体的运动情况
例2：在光滑水平面上，有一个物体同时受到两个水平力F1与F2的作用，在第1 s内物体保持静止状态。若力F1与F2随时间的变化关系如图所示，则该物体( )
A．在第2 s内做加速运动，加速度大小逐渐
减小，速度逐渐增大
B．在第3 s内做加速运动，加速度大小逐渐
增大，速度逐渐增大
C．在第4 s内做加速运动，加速度大小逐渐增大，速度逐渐增大
D．在第5 s末速度为零，运动方向与F1方向相同
解析：第1 s内物体保持静止状态，可知开始时F1、F2等大反向，合外力为零。第2 s和第3 s内物体所受合力不断变大，根据牛顿第二定律知加速度不断变大，物体做加速运动，速度增大，故A错误，B正确；在第4 s内，合力逐渐减小，故加速度不断减小，合力与速度同向，物体仍做加速运动，速度增大，故C错误；在第5 s末，合力为零，故加速度为零，速度最大，此时运动方向与F1方向相同，故D错误。故选B。
?[规律方法]
[规律方法]
力是产生加速度的原因，根据牛顿第二定律的瞬时性可知，加速度a与合外力F有瞬时对应关系，而速度和加速度间没有瞬时对应关系。
类型三：由a－F图像分析物体的受力或运动情况
例3：(多选)如图甲所示，某人正通过定滑轮将质量为m的货物提升到高处，滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a与绳子的拉力F之间的函数关系如图乙所示。g表示当地的重力加速度大小，由图可以判断( )
A．图像与纵轴的交点M的纵坐标为g
B．图像与横轴的交点N的横坐标为mg
C．图像的斜率等于货物的质量m
类型四：由F－x图像分析物体的受力或运动情况
例4：(多选)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(重力加速度g取10 m/s2)，下列结论正确的是( )
A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态
B．弹簧的劲度系数为750 N/m
C．物体的质量为2 kg
D．物体的加速度大小为5 m/s2
提升点2 等时圆模型
●重难解读
常见的几种等时圆模型
1．物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图甲所示。
2．物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图乙所示，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间(证明略)。
3．两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示，都等于沿直径从A到B自由落体运动的时间。(证明略)
例5：(多选)如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是( )
A．t1＝t2 B．t2C．t1
