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第二章 匀变速直线运动的研究
2. 匀变速直线运动的速度与时间的关系
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 (1)利用v－t图像分析匀变速直线运动的速度变化特点。
(2)理解匀变速直线运动的性质。 (1)匀变速直线运动的特点。
(2)v－t图像。
(3)速度与时间的关系式。
科学思维 (1)通过对公式v＝v0＋at的推导、矢量性的分析，理解公式的特点。
(2)通过应用，会用速度公式进行计算，能解决匀减速直线运动和刹车运动等生活中的实际问题。
探究点1 匀变速直线运动及v－t图像
●新知导学
情境：在上节课的实验中，小车在重物牵引下运动的v－t图像是一条倾斜的直线。
探究：它表示小车在做什么样的运动？
?[提示]
[提示]
v－t图像为倾斜的直线，表示物体的速度随时间均匀变化，即物体做的是加速度不变的变速直线运动。
●基础梳理
1．定义：沿着一条直线，且加速度_______的运动，叫作匀变速直线运动。
2．v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条_______的直线。
3．分类
(1)匀加速直线运动：速度随时间___________。
(2)匀减速直线运动：速度随时间___________。
不变
倾斜
均匀增大
均匀减小
[判断正误]
(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动。( )
(2)匀变速直线运动的加速度不变。( )
(3)加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动。( )
(4)速度逐渐增加的直线运动是匀加速直线运动。( )
×
√
×
×
●重难解读
1．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变。
(2)v－t图像是一条倾斜直线。
?[思考]
[思考]
某质点运动的v－t图像如图所示，4 s内质点做的是匀变速直线运动吗？
2．匀变速直线运动的v－t图像
如图所示，匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线。
(1)直线a反映了速度随着时间均匀增加，对应初速度不为0的匀加速直线运动。
(2)直线b反映了速度随着时间均匀减小，对应初速度不为0的匀减速直线运动。
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增大，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动，t1时刻前后运动方向发生改变。
(4)直线d反映了速度随着时间均匀减小，对应与正方向相反的方向上的匀减速直线运动。
例1：(2024·山东滨州高一校考期末)质点做直线运动的v－t图像如图所示，则( )
A．在前5 s内质点做匀变速直线运动
B．在0～2 s内质点做匀变速直线运动
C．3 s末质点的速度大小为5 m/s，方向与规定的正方向相反
D．2～4 s内质点的加速度方向与正方向相反
解析：v－t图像的斜率表示加速度，根据图像可知，质点在0～2 s内做匀加速直线运动，在2～4 s内做匀速直线运动，在4～5 s内做匀减速直线运动，在前5 s内，加速度发生了改变，因此在前5 s内质点做的不是匀变速直线运动，在0～2 s内加速度恒定，质点做匀变速直线运动，A错误，B正确；3 s末质点的速度大小为4 m/s，速度为正值，方向与规定的正方向相同，C错误；v－t图像的斜率表示加速度，根据图像可知，2～4 s内质点的加速度为0，质点做匀速直线运动，D错误。故选B。
?[规律方法]
[规律方法]应用v－t图像时的注意事项
(1)加速度是否变化看有无折点：在折点位置，图线的倾斜程度改变，表示此时刻物体的加速度改变。若v－t图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变。
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置前后，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变。
跟踪训练1：中国青年网消息，被称作“最能装”的8A型列车在北京正式亮相，如图所示，最大载客量达到3 456人。该列车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站，在如图所示的四个v－t图像中，正确描述了列车运动情况的是( )
解析：匀变速直线运动的v－t图像是倾斜直线，A项错误；列车先做匀减速直线运动，速度为零后停止一段时间，然后做匀加速直线运动，D项错误；由于列车前后运动方向一致，故B项正确，C项错误。故选B。
探究点2 速度与时间的关系
●新知导学
情境：设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫作初速度)，加速度为a。
探究：请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度。
?[提示]
●基础梳理
1．速度与时间的关系式：v＝____________，一般称为速度公式。
2．理解：加速度a在数值上等于单位时间内速度的变化量，所以at就是t时间内速度的_________，再加上_________时物体的速度，就得到t时刻物体的速度。
[判断正误]
(1)速度公式v＝v0＋at中，初速度v0一定等于0。( )
(2)在匀变速直线运动的整个过程中，速度的变化量为at。( )
(3)速度公式v＝v0＋at只适用于匀加速直线运动。( )
v0＋at
变化量
零时刻
×
√
×
●重难解读
1．速度公式
2．公式的适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
?[拓展]
[拓展]公式应用技巧：公式中有四个物理量，知道其中任意三个就可以求出第四个。
(1)已知v0、a、t，利用v＝v0＋at求t时刻的速度。
(4)已知v、a、t，利用v0＝v－at求初速度。
3．公式的矢量性
(1)公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向。
(2)若加速度方向与正方向相同，则加速度取正值；若加速度方向与正方向相反，则加速度取负值。
(3)若计算出v为正值，则表示末速度方向与正方向相同；若v为负值，则表示末速度方向与正方向相反。
4．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
(2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。
类型一：单一过程问题
例2：火车沿平直轨道匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后变成54 km/h，再经过多长时间火车的速度能达到64.8 km/h
解析：解法一：v1＝10.8 km/h＝3 m/s，v2＝54 km/h＝15 m/s，v3＝64.8 km/h＝18 m/s
解法二：运动过程中加速度a不变。
答案：15 s
?[规律方法]
[规律方法]应用速度公式v＝v0＋at解题的思路
(1)选取研究对象和过程。
(2)画出运动草图，标上已知量。
(3)选定正方向，判断各量的正、负，利用v＝v0＋at由已知条件求解，最后指明所求量的方向。
类型二：多运动过程问题
例3：汽车一般有五个前进挡位，对应不同的速度范围，设在每一挡汽车均做匀变速直线运动，换挡时间不计。某次行车时，一挡起步，起步后马上挂入二挡，加速度为2 m/s2；3 s后挂入三挡，再经过4 s速度达到13 m/s；随即挂入四挡，加速度为1.5 m/s2；速度达到16 m/s时挂上五挡，加速度为1 m/s2。求：
(1)汽车在三挡时的加速度大小；
(2)汽车在四挡时行驶的时间；
(3)汽车挂上五挡后再过5 s的速度大小。
解析：(1)汽车的运动过程如图所示。
在二挡时(A→B)，a1＝2 m/s2，t1＝3 s，这一过程的末速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s
在三挡时(B→C)，v2＝13 m/s，t2＝4 s
即汽车在三挡时的加速度大小为1.75 m/s2。
(2)在四挡时(C→D)，a3＝1.5 m/s2，v3＝16 m/s
即汽车在四挡时行驶的时间为2 s。
(3)在五挡时(D→E)，a4＝1 m/s2，t4＝5 s
速度v4＝v3＋a4t4＝(16＋1×5) m/s＝21 m/s
故汽车挂上五挡后再过5 s的速度大小为21 m/s。
答案：(1)1.75 m/s2 (2)2 s (3)21 m/s
?[规律方法]
[规律方法]求解多过程运动的方法
对于多过程运动，我们可以将其分解为几段单过程运动，注意相邻两个过程的联系点，特别要注意转折点的速度，该点的速度是前段运动的末速度，也是后段运动的初速度，然后在每段运动中运用公式解答，从而达到化繁为简的目的。
跟踪训练2：(2024·辽宁葫芦岛高一期末)一名杂技演员在钢管的顶端进行表演，当他结束表演后，沿着竖直钢管从顶端由静止先匀加速再匀减速下滑，滑到地面时他的速度恰好为零。如果他加速时的加速度大小是减速时加速度大小的1.5倍，下滑的总时间为5 s，那么该杂技演员加速过程所用的时间为( )
设杂技演员加速时间为t1，加速度为a1；减速时间为t2，加速度大小为a2，加速过程v＝a1t1，减速过程0＝v－a2t2，由题意a1＝1.5a2，t1＋t2＝5 s，因此可求t1
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
解析：加速时的加速度大小是减速时加速度大小的1.5倍，即a1＝1.5a2，又从顶端由静止先匀加速再匀减速下滑，滑到地面时他的速度恰好为零，可得出a1t1＝a2t2，同时满足t1＋t2＝5 s，联立三式，解得t1＝2 s，故选B。
素养能力提升
拓展整合·启智培优
两类匀减速直线运动
1．往返类运动问题
恒定外力作用下物体的匀减速直线运动：当速度减小到零时，加速度仍存在，故物体反向运动。
2．汽车刹车类问题
当汽车速度减小到零时，汽车将停止运动。因此遇到“刹车”二字时应格外注意。
类型一：往返类运动
例4：如图所示，小球以5 m/s的初速度自由冲上光滑的斜面(设斜面足够长)，2 s末速度大小变为1 m/s，求这段时间内小球的加速度。
解析：以初速度v0的方向为正方向
负号表示加速度方向与初速度方向相反，即沿斜面向下
所以加速度可能为－2 m/s2也可能为－3 m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反，即沿斜面向下。
答案：大小为2 m/s2，方向沿斜面向下，或大小为3 m/s2，方向沿斜面向下
类型二：汽车刹车类问题
例5：在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小。
(1)t1＝3 s时的速度v1＝v0＋at＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s。
(2)由于t0＝5 s答案：(1)12 m/s (2)0
?[规律方法]
[规律方法]刹车问题的分析思路
汽车刹车速度减为0后将停止运动，解决这类问题的方法是：首先计算出速度变为0所需要的时间t0，然后比较t与t0的大小关系。
1．当t2．当t>t0时，末速度为0。第二章 2
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 匀变速直线运动及v－t图像
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．匀加速直线运动的加速度是不断增大的
B．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的
C．任意相等时间内，加速度的变化量相等且不为零
D．任意时刻速度的变化率相同
解析：匀变速直线运动的加速度是不变的，即任意时刻速度的变化率相同，在任意相等时间内，速度的变化量相等且不为零，故A、C错误，D正确；做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向之间没有必然联系，可能相同也可能相反，故B错误。故选D。
2. (多选)(2024·宁夏银川高一期末)如图是某一质点做直线运动的v－t图像，由图可知，这个质点的运动情况是( )
A．前2 s静止
B．2～6 s做的是匀加速运动，加速度是 m/s2
C．6～8 s做匀减速运动，加速度为－4 m/s2
D．质点8 s末离出发点最远
解析：前2 s内质点的速度一直为4 m/s，所以质点做匀速直线运动，故A错误；2～6 s内质点的速度均匀增大，所以质点做匀加速直线运动，加速度为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故B错误；6～8 s内质点的速度均匀减小，所以质点做匀减速直线运动，加速度为a′＝ m/s2＝－4 m/s2，故C正确；0～8 s内质点的速度始终为正值，说明质点一直沿正方向运动，8 s末速度减为零，质点达到距离出发点最远处，故D正确。故选CD。
3．(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图像如图所示，下列判断正确的是( )
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在第1 s末和第4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
解析：由v－t图像知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a乙＝2 m/s2,2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a乙′＝－1 m/s2，A错误，C正确；t＝1 s和t＝4 s时二者速度相同，B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误。故选BC。
知识点二 速度与时间的关系
4．(2024·浙江绍兴高一统考期末)嫦娥三号登月探测器靠近月球后，先悬停在月面上方一定高度，之后关闭发动机，以1.6 m/s2加速度下落，经过2.25 s到达月球表面，此时探测器的速度为( )
A．4.05 m/s B．3.6 m/s
C．1.8 m/s D．0.9 m/s
解析：根据速度时间关系可得v＝at＝1.6×2.25 m/s＝3.6 m/s，故选B。
5．(多选)(2023·福建南平高一阶段练习)一物体做匀变速直线运动，其速度与时间关系是：v＝(4－2t)m/s，则( )
A．物体的初速度是2 m/s
B．物体的初速度是4 m/s
C．物体的加速度是－2 m/s2
D．物体的加速度是2 m/s2
解析：根据v＝v0＋at可知，初速度是4 m/s，加速度是－2 m/s2。故选BC。
6. 如图所示，纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。某辆电动汽车在一次刹车测试中，初速度为18 m/s，经过3 s汽车刚好停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动，则这段时间内电动汽车加速度的大小为( )
A．3 m/s2 B．6 m/s2
C．15 m/s2 D．18 m/s2
解析：根据匀变速直线运动的速度公式，有v＝v0＋at，所以电动汽车的加速度a＝＝ m/s2＝－6 m/s2，则加速度大小为6 m/s2，选项B正确。
7. 如图为某物体做匀加速直线运动的速度—时间图像。若匀加速直线运动的速度与时间关系式为v＝at＋v0(其中a为图线的斜率，v0表示零时刻速度大小即初速度)，则( )
A．a＝2 m/s2
B．初速度v0＝0
C．速度与时间成正比关系
D．第3 s时速度大小为6 m/s
解析：A、B错：由图像可得，物体的初速度为v0＝2 m/s，加速度为a＝＝＝ m/s2。C错：因为v－t图像是一条不过原点的倾斜直线，则物体的速度与时间成一次函数为线性关系，并不是成正比关系。D对：由图像得第3 s时速度为6 m/s。故选D。
8．航空母舰上的舰载机着舰后，以75 m/s的初速度在水平甲板上滑行，舰载机的滑行过程可看作匀减速直线运动，加速度大小为25 m/s2，求舰载机：
(1)滑行2 s末速度的大小；
(2)滑行4 s末速度的大小。
答案：(1)25 m/s (2)0
解析：(1)设舰载机减速到零的时间为t0，则
t0＝＝＝3 s，t＝2 s所以滑行2 s末的速度为
v2＝v0－at2＝75 m/s－25 m/s2×2 s＝25 m/s。
(2)t＝4 s>t0，故4 s末速度为零。
综合提升练
9．(2024·浙江金华高一阶段练习)给滑块一初速度v0使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为，当滑块速度大小减小为时，所用时间是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
解析：当滑块速度大小减小为时，若此时速度与初速度方向相同，可得时间为t1＝＝，若此时滑块返回后速度与初速度方向相反，可得时间为t2＝＝，故选B。
10．(2024·太原高一检测)一家从事创新设计的公司打造了一台飞行汽车，既可以在公路上行驶，也可以在天空飞行。已知该飞行汽车在跑道上的加速度大小为2 m/s2，速度达到40 m/s后离开跑道。离开跑道后的加速度为5 m/s2，最大速度为200 m/s。飞行汽车从静止加速到最大速度所用的时间为( )
A．40 s B．52 s
C．88 s D．100 s
解析：由v＝v0＋at知，飞行汽车在跑道上运动的时间t1＝＝ s＝20 s。起飞后达到最大速度需要t2＝＝ s＝32 s，故t＝t1＋t2＝52 s。故选B。
11．某一做匀加速直线运动的物体的初速度为v0＝5 m/s，加速度为a＝2 m/s2。关于该物体，下列结论正确的是( )
A．第3 s初的速度是11 m/s
B．第5 s初的速度比第4 s末的速度大4 m/s
C．第2 s内速度变化量为2 m/s
D．前2 s内速度增加量为2 m/s
解析：
选项 分析 正误
A 第3 s初的速度即第2 s末的速度，v2＝v0＋at＝(5＋2×2)m/s＝9 m/s。 ×
B 第5 s初与第4 s末是同一时刻，则第5 s初的速度与第4 s末的速度相等。 ×
C 由Δv＝at得第2 s内速度变化量Δv＝2×1 m/s＝2 m/s。 √
D 前2 s内速度增加量Δv′＝at′＝2×2 m/s＝4 m/s。 ×
12.(2024·河北石家庄高一阶段练习)图甲是一个彩虹滑道，其结构简图如图乙所示。该滑道由倾斜轨道AB和水平轨道BC组成，其中AB与BC轨道在B点处平滑连接。人坐在像轮胎一样的圆形橡皮艇上从A点以加速度a1由静止匀加速滑下，20 s后的速度大小为20 m/s,40 s后到达B点；之后又以加速度a2沿水平轨道BC做减速运动，经20 s后恰好停止运动。求：
(1)a1和a2的大小；
(2)橡皮艇到达B点后再过6 s的速度大小。
答案：(1)1 m/s2 2 m/s2 (2)28 m/s
解析：(1)根据公式a＝，可得a1＝ m/s2＝1 m/s2，可得40 s后到达B点时的速度大小为vB＝40×1 m/s＝40 m/s，所以有a2＝ m/s2＝－2 m/s2，即加速度a2的大小为2 m/s2。
(2)根据匀变速运动公式可得橡皮艇到达B点后再过6 s的速度大小为v＝vB＋a2t＝(40－2×6)m/s＝28 m/s。
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