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第三章 相互作用——力
4. 力的合成和分解
第2课时 力的合成和分解
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 (1)知道力的合成与力的分解的关系。
(2)力的分解是力的合成的逆运算。
(3)能区别矢量和标量。 (1)合力与分力的关系。
(2)利用平行四边形定则求合力。
(3)正交分解法。
科学思维 (1)进一步理解力的合成和分解遵循的规律——平行四边形定则，能应用平行四边形定则求合力或分力。
(2)能根据力产生的效果进行分解，利用几何知识求未知力。
(3)掌握利用正交分解求合力的方法。
探究点1 力的合成
●基础梳理
1．两个力的合成几点说明
(1)遵循法则——_________________。
(2)方法：以表示这两个力的有向线段为_______作平行四边形，这两个邻边之间的_________表示合力的大小和方向。
(3)两个以上的力的合成方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与___________的合力，直到把___________都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
平行四边形定则
邻边
对角线
第三个力
所有的力
2．矢量和标量
(1)矢量：既有大小，又有方向，相加时遵从_________________或_____________的物理量。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从___________的物理量。
3．三角形定则：把两个矢量___________，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向。三角形定则和平行四边形定则的实质是_______的。
?[图解]
平行四边形定则
三角形定则
算术法则
首尾相接
相同
[图解]由平行四边形定则到三角形定则
合力与分力的关系遵循平行四边形定则，根据平行四边形的性质，对应边平行且相等，将其中一个分力平移到平行四边形的对应边上，则分力与合力构成一个矢量三角形，如图。
在合力与分力构成的三角形中，两分力首尾
相接，合力从第一个力的始端指向第二个力的末端。
[判断正误]
(1)力、位移、速度的合成均遵从平行四边形定则。( )
(2)平行四边形定则只能确定合力的大小，不能确定合力的方向。( )
(3)合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力。( )
(4)合力的大小随分力夹角的增大而增大。( )
√
×
√
×
●重难解读
1．合力与分力的关系
(1)合力的大小与两分力夹角的关系
两分力大小一定时，随着两分力夹角的增大，合力减小。
(2)合力的大小范围
当两分力F1、F2大小一定时：
①最大值：两力同向时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②最小值：两力方向相反时，合力最小，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向。
③合力范围：两分力的夹角θ(0°≤θ≤180°)不确定时，合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
(3)合力与分力的大小关系
①合力可能比分力都大。②合力可能比分力都小。③合力可能等于分力。
?[拓展]
[拓展]三个共点力的合力的最大值与最小值
若三个共点力F1、F2、F3的合力为F，设F1≤F2≤F3，显然，当三个力方向相同时，合力F最大，最大值Fmax＝F1＋F2＋F3。
若三个力中任何一个力在另外两个力的合力的变化范围内，则合力F的最小值为零，即Fmin＝0；若三个力中任何一个力不在另外两个力的合力的变化范围内，则当F1与F2方向相同且与F3方向相反时，合力F最小，最小值Fmin＝|F3－(F1＋F2)|。
2．合力的求解方法
(1)作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
如图所示，用作图法求F1、F2的合力F。
?[拓展]
[拓展]多边形定则
如果是多个力合成，由三角形定则推广可得到多边形定则。以点O为起点，将多个力顺次首尾相接作力的图示，然后由起点O指向最后一个力的有箭头一端的有向线段即为要求的合力，如图甲、乙所示为三个力F1、F2、F3的合成图，F为其合力。
(2)计算法
②两分力不共线时
可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
以下为求合力的几种特殊情况：
类型一：合力大小与分力大小的关系
例1：关于合力与其两个分力的关系，正确的是( )
A．合力与分力同时作用在物体上
B．合力的大小随两分力夹角的增大而增大
C．合力的大小一定大于任意一个分力
D．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力
解析：合力与分力是等效替代关系，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误；根据平行四边形定则可知：两个共点力的合力的大小不一定大于小的分力，如下图甲，也不一定小于大的分力，如下图乙；合力的大小也不随夹角的增大而增大如下图丙；并且也不一定大于任意一个分力。故D正确，B、C错误。故选D。
跟踪训练1：已知F1不变、F2大小不变，F为它们的合力，θ为合力和分力F1之间的夹角θ。如图为F－θ图，则这两个分力的大小分别是( )
A．F1＝1 N F2＝4 N
B．F1＝2 N F2＝3 N
C．F1＝3 N F2＝2 N
D．F1＝4 N F2＝4 N
解析：根据题意，由图可知，当θ＝180°时，F与F1反向，且两个力合力大小为1 N，即F2－F1＝1 N，当θ＝0°时，F与F1同向，且两个力合力大小为5 N，即F2＋F1＝5 N，解得F1＝2 N，F2＝3 N。故选B。
类型二：合力的求解方法
例2：港珠澳大桥是一座跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，全长为49.968千米，主体工程“海中桥隧”长35.578千米，其中海底隧道长约6.75千米，桥梁长约29千米。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中一对钢索与竖直方向的夹角是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
解析：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边作出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小：
解法一：作图法
如图甲所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度，作出平行四边形和对角线OC。
量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
解法二：计算法
答案：5.2×104 N 方向竖直向下
?[规律方法]
[规律方法]作图法与计算法的比较
(1)作图法简单、直观，但不够精确；计算法结果精确。应用作图法时，各力必须选定同一标度，并且合力、分力比例适当，分清虚线和实线。
(2)计算法一般只用于特殊情况下求合力，作图法适用于所有情况。
跟踪训练2：两个大小相等的共点力，当它们夹角为120°时，合力大小为F，当它们的夹角为90°时，合力大小为( )
类型三：多个力的合成
例3：如图所示，5个力同时作用于一点，5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力的大小为( )
A．30 N
B．40 N
C．50 N
D．60 N
思维引导：利用正六边形的几何特性，先将F1与F4合成，再将F2与F5合成，最后求5个力的合力。
解析：如图所示，F1与F3箭头相连后形成以F1和F4为邻边的平行四边形，F3为所夹的对角线(即F1与F4的合力为F3)，同理可知，F2与F5的合力也为F3，故5个力的合力等于3倍的F3，又F3的大小等于2倍的F1的大小，则5个力的合力等于6F1＝60 N，D正确。故选D。
?[规律方法]
[规律方法]多个力的合成技巧
(1)优先将共线的分力合成。
(2)优先将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等且夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。
(4)充分挖掘其中的几何关系，利用对称性等巧妙的方法来求解。
探究点2 力的分解
●基础梳理
1．力的分解法则
力的分解是力的合成的_________，遵循平行四边形定则。把一个已知的力作为平行四边形的_________，与力共点的平行四边形两邻边就是两个_______。
2．如果没有限制，同一个力F可以分解为_________大小、方向不同的分力。
?[拓展]
逆运算
对角线
分力
无数对
[拓展]力的分解在生活中的应用
例如，拉链的三角形拉头、剪式千斤顶、菜刀背宽刃薄、大桥一般会利用引桥减小倾角θ从而减小沿斜面向下的分力等，都利用了力的分解。
[判断正误]
(1)力的分解是力的合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则。( )
(2)同一个力F可分解为无数对分力，每对分力都有实际意义。( )
(3)力F的大小为100 N，它的一个分力F1的大小为60 N，则另一个分力可能小于40 N。( )
√
×
×
●重难解读
1．无条件限制的力的分解
一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无数个(如图甲、乙所示)。
由图乙知，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大，两分力越大。
2．力分解常见的有以下三种情况
条件 分解示意图 解的情况
已知两个力的方向 唯一解
已知一个分
力的大小和方向 唯一解
条件 分解示意图 解的情况
已知合力的大小和方向以及它的一个分力(F2)的大小和另一个分力(F1)的方向 F2F2＝Fsin θ 唯一解
Fsin θF2>F 唯一解
例4：把一个竖直向下的力F＝180 N分解为两个分力，若一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，则两个分力的大小分别是多少？
素养能力提升
拓展整合·启智培优
提升点1——力的效果分解法
●重难解读
力的效果分解法的一般思路
答案：见解析
?[规律方法]
[规律方法]
按力的作用效果分解时，准确确定两个分力的方向是关键，作出平行四边形后常用三角函数、相似三角形等数学知识求解。
跟踪训练4：在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图甲用斧子把木桩劈开，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是( )
提升点2——力的正交分解法
●重难解读
1．概念：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
2．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取理论上是任意的，但为使问题简单化，实际中建立坐标系时应使尽量多的力落在坐标轴上。
3．应用：一般用于计算物体受三个或三个以上力的合力。
4．步骤
(1)建立坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋…
例6：如图所示，三个力作用于同一点O，大小分别为F1＝10 N，F2＝20 N，F3＝30 N，且F1与F3间的夹角为120°，F2与F3间的夹角为150°，求三个力的合力。
解析：由题意，因为F1与F3间的夹角为120°，F2与F3间的夹角为150°，所以F1与F2间的夹角为360°－120°－150°＝90°。
以O为原点，F1所在直线为x轴，F2所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示，
则F3与x轴负半轴的夹角为150°－90°＝60°，
F3与y轴负半轴的夹角为120°－90°＝30°。
将F3分解到两个坐标轴上，则有
F3x＝－F3sin 30°，F3y＝－F3cos 30°。
答案：7.8 N，方向偏左与F2成140.1°角
?[规律方法]
[规律方法]正交分解法的应用
正交分解法不仅可以应用于力的分解，也可应用于其他任何矢量的分解，我们选取的坐标轴可以是任意的，不过选择合适的坐标轴可以使问题简化，通常坐标轴的选择有两个基本原则：(1)使尽量多的矢量处在坐标轴上；(2)尽量使未知量处在坐标轴上。正交分解时还需要注意沿坐标轴方向的矢量或矢量的分量要带箭头，并且要注意方向。第三章 4 第2课时
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 力的合成
1．(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则( )
A．合力一定小于每个分力
B．合力可能同时垂直于两个分力
C．合力的方向可能与一个分力的方向相反
D．两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
解析：不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个邻边，故B错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C正确；两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。故选CD。
2．(多选)一物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列力的合力可能为零的是( )
A．4 N、8 N、9 N B．7 N、4 N、2 N
C．1 N、5 N、10 N D．1 N、8 N、8 N
解析：4 N在8 N和9 N的合力范围(1 N≤F≤17 N)之内，所以4 N、8 N、9 N的合力可能为零，故A正确；7 N不在4 N和2 N的合力范围(2 N≤F≤6 N)之内，所以7 N、4 N、2 N的合力不可能为零，故B错误；1 N不在5 N和10 N的合力范围(5 N≤F≤15 N)之内，所以1 N、5 N、10 N的合力不可能为零，故C错误；1 N在8 N和8 N的合力范围(0≤F≤16 N)之内，所以1 N、8 N、8 N的合力可能为零，故D正确。故选AD。
3．在雅加达亚运会上，中国选手张心妍在女子个人反曲弓决赛中勇夺冠军，使得中国队打破了韩国队的常年垄断，成为自1978年射箭成为亚运会正式比赛项目以来，第一位夺得女子个人赛金牌的中国选手。如图甲所示是张心妍射箭的情景。那么射箭时，若刚释放箭的瞬间弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示。已知cos 53°＝0.6，则弓弦的夹角应为( )
A．53° B．127°
C．143° D．106°
解析：由题图乙知F1cos ＋F2cos ＝F，F1＝F2＝100 N，F＝120 N，解得α＝106°，D正确。故选D。
知识点二 力的分解
4．关于力的分解，下列说法正确的是( )
A．一个2 N的力可以分解为8 N和8 N的两个分力
B．一个3 N的力可以分解为8 N和4 N的两个分力
C．一个7 N的力可以分解为5 N和1 N的两个分力
D．一个8 N的力可以分解为4 N和3 N的两个分力
解析：8 N与8 N的两个分力的合力范围是0≤F≤16 N，合力可能为2 N，A正确；8 N与4 N的两个分力的合力范围是4 N≤F≤12 N，合力不可能为3 N，B错误；5 N与1 N的合力范围是4 N≤F≤6 N，合力不可能为7 N，C错误；3 N与4 N的两个分力的合力范围是1 N≤F≤7 N，合力不可能为8 N，D错误。故选A。
5.如图所示，力F作用于物体的O点。现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为( )
A．F1＝Fsin α B．F1＝Ftan α
C．F1＝F D．F1＝Fcos α
解析：利用矢量图形法。根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图，如图所示。在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上移动，由图可知，当F1与OO′方向即F合垂直时，F1有最小值，其最小值为F1＝Fsin α，故A项正确。
知识点三 力的效果分解法和正交分解法
6.(多选)(2023·河南开封高一阶段练习)如图所示，一个物体在平面直角坐标系xOy的坐标原点，只受到F1和F2的作用，F1＝10 N，F2＝20 N，则物体的合力( )
A．方向沿＋y B．方向沿－y
C．大小等于20 N D．大小等于10 N
解析：根据题意，把F2分解到x轴和y轴，如图所示，则物体在x轴上的合力为Fx＝F1－F2x＝F1－F2cos 45°＝0，物体在y轴上的合力为Fy＝F2y＝F2sin45°＝10 N，则物体受到合力为F合＝Fy＝10 N，方向沿－y方向。故选BD。
7.如图，一辆汽车正在爬坡，某同学将汽车的重力G分解为沿斜面向下的分力F1和垂直斜面向下的分力F2，则( )
A．G只能分解成F1、F2
B．F2就是斜面受到的压力
C．汽车同时受到G、F1、F2的作用
D．F1、F2共同作用的效果与G的作用效果相同
解析：重力G可以分解为无数对分力，故A错误；斜面受到的压力是由于汽车形变对斜面产生的弹力，F2是重力沿斜面向下的分力，不是同一种性质的力，故B错误；将重力G分解为F1、F2，真实受到的力只有G，故C错误；F1、F2共同作用的效果与G的作用效果是相同的，故D正确。故选D。
8．如图所示，其中按力的作用效果分解重力时错误的是( )
解析：题图A中物块的重力产生两个作用效果，一是使物块有沿斜面下滑的趋势，二是使物块压紧斜面，故可将重力分解为沿斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力，分解正确；题图B中物块的重力产生向下拉两绳的作用效果，故可将重力分解为沿两条绳子方向的两个分力，分解正确；题图C中球的重力产生两个作用效果，一是使球压紧竖直挡板，二是使球压紧倾斜挡板，故应将重力分解为分别垂直于竖直挡板和倾斜挡板的两个分力，分解错误；题图D中球的重力产生两个作用效果，一是使球压紧竖直墙壁，二是使球拉悬绳，故可将重力分解为沿绳向下的分力和垂直于竖直墙壁的分力，分解正确。故选C。
9.(多选)(2024·陕西榆林高一校考阶段练习)家里的书桌离墙太近，某同学想将书桌向外移动一点，但她力气太小，推不动。于是，她找来两块相同的木块，搭成一个人字形架，然后往中央一站，书桌真的移动了。下列说法中正确的是( )
A．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很大
B．这是因为在人字形架的夹角很大的情况下，该同学的重力沿木块方向的分力很小
C．人字形架的夹角越大，越容易推动书桌
D．人字形架的夹角越大，越难推动书桌
解析：重力的大小和方向始终不变，分解到两木板方向时，设人字形架的夹角为θ，由平衡条件2Fcos ＝G，可得该同学的重力沿木块方向的分力为F＝，可知，人字形架的夹角越大，该同学的重力沿两木板方向的作用力越大，越容易推动书桌。故选AC。
综合提升练
10．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为F，它们的夹角变为60°时，合力的大小为( )
A.F B．F
C．2F D．F
解析：当两力的夹角为90°时，两分力与合力的大小满足F＋F＝2F＝F2，当两力的夹角变为60°时，合力F′＝2F1cos 30°＝F1＝F，A符合题意。故选A。
11．(2024·江苏南京六校高一联考)某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，对物体所受的合外力说法正确的是( )
解析：题图A中，先将F1与F3合成为F13，然后再将F13与F2合成，由几何关系可得，合力等于5 N。同理可得，题图B中合力等于5 N，题图C中合力等于6 N，题图D中合力等于零，综上可知，D正确。故选D。
12.如图所示，在水平地面上放一质量为3 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.4，在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知，F1＝6 N，F2＝8 N，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 N/kg，则：
(1)木块受到的摩擦力为多大？
(2)若将F1逆时针转90°，此时木块受到的合力大小为多少？
答案：(1)10 N (2)2 N
解析：(1)木块与地面的最大静摩擦力为Fm＝μmg＝12 N
木块受到的F1与F2的合力为F＝＝10 N木块处于静止状态，受到的静摩擦力为Ff＝F＝10 N。
(2)若将F1逆时针转90°，则F1与F2同向，两个力的合力为F′＝F1＋F2＝14 N>Fm
木块在地面上滑动，木块受到的合力大小为F合＝F′－μmg＝2 N。
13.两人在两岸用绳拉小船在河流中行驶。如图所示，已知甲的拉力是200 N，拉力方向与航向夹角为60°，乙的拉力大小为200 N，且两绳在同一水平面内。若要使小船能在河流正中间沿直线行驶，乙用力的方向如何？小船受到两拉力的合力为多大？
答案：乙用力的方向与航向夹角为30° 400 N
解析：小船能在河流正中间沿直线行驶，则垂直河流方向的合力应为0，则F甲sin 60°＝F乙sin θ，代入数据解得θ＝30°，所以乙用力的方向与航向夹角为30°。而合力F＝F甲cos 60°＋F乙cos 30°＝400 N。
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