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第三章 相互作用——力
5. 共点力的平衡
●目标重点展示
素养目标 学习重点
物理观念 知道什么是平衡状态，掌握共点力平衡的条件。 (1)平衡状态和平衡条件。
(2)合成法和分解法的应用。
科学思维 (1)会利用合成法或分解法分析三力平衡问题。
(2)会利用正交分解法解决多力平衡问题。
探究点1 共点力平衡的条件
●新知导学
情境：如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上。
探究：它受哪些力作用？这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
?[提示]
[提示]
受重力和悬崖对它的作用力。重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
●基础梳理
1．平衡状态：物体受到几个力作用时，保持__________或_______________的状态。
2．在共点力作用下物体平衡的条件是___________。
[判断正误]
(1)物体的速度很大，则F合很大。( )
(2)某时刻物体的速度为零时，物体一定处于平衡状态。( )
(3)沿光滑斜面下滑的物体处于平衡状态。( )
?[思考]
静止
匀速直线运动
合力为0
×
×
×
[思考]
在下列图中谁能表示物体处于平衡状态？
提示：题图C表示物体处于平衡状态，因为题图C表示物体做匀速直线运动。
●重难解读
1．平衡状态的两种情况
(1)静止：v＝0、a＝0同时具备的情形。
(2)匀速直线运动：速度的大小、方向皆不变化。
?[拓展]
[拓展]“静止”和“v＝0”的区别与联系
2．共点力的平衡条件
(1)F合＝0，物体所受的合力为零。
3．由平衡条件得出的三个结论
例1：如图所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受的合力大小为( )
解析：由共点力的平衡条件可知，F1、F2、F3的合力应与F4等大反向，当F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力的大小仍为F4，但方向与F4成120°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F4，故C项正确。故选C。
跟踪训练1：如图，孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛孔明(即诸葛亮)所发明。现有一质量为m的孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速直线上升，则此时孔明灯所受空气的作用力大小和方向是( )
A．0
B．mg，竖直向上
C．mg，东北偏上方向
D．2mg，东北偏上方向
解析：孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速直线运动，加速度为零，合力为零；只受重力和空气的作用力，根据平衡条件得到空气的作用力的大小为mg，方向竖直向上。故选B。
探究点2 静态平衡的分析方法
●重难解读
处理静态平衡问题的方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
效果
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分
解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件，即Fx合＝0，Fy合＝0
方法 内容
矢量三
角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理等数学知识求解未知力
类型一：三力平衡问题
例2：沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点(如图)，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。
思维引导：足球处于三力平衡状态，可以应用分解法、合成法或正交分解法等方法求解。
解析：取足球作为研究对象，它共受到三个力的作用。重力G＝mg，方向竖直向下；墙壁的支持力F1，方向水平向右；悬绳的拉力F2，方向沿绳的方向。
这三个力一定是共点力，重力的作用点在球心O点，支持力F1水平向右。G和F1的作用线必交于球心O点，则F2的作用线必过O点。既然是三力平衡，可以根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可以据力三角形求解，也可用正交分解法求解。
解法一：用合成法
解法二：用分解法
取足球为研究对象，其受重力G、墙壁支持力F1、悬绳的拉力F2，如图所示。将重力G分解为F1′和F2′，由共点力平衡条件可知，F1与F1′的合力必为零，F2与F2′的合力也必为零，所以F1＝F1′＝mgtan α
解法三：用相似三角形求解
解法四：用正交分解法求解
取足球作为研究对象，受三个力作用，重力G、墙壁的支持力F1、悬绳拉力F2，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将F2分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零。即
?[规律方法]
[规律方法]解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)对所选研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(3)确定解题方法列方程
①用合成法的步骤
a．确定要合成的两个力；
b．根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
注意：根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向)；
c．根据三角函数或勾股定理解三角形。
②用正交分解法的步骤
a．建立直角坐标系，让尽量多的力与坐标轴重合；
b．正交分解不在坐标轴上的各力；
c．沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
跟踪训练2：(2024·广东江门高一阶段练习)现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。某同学低头看手机时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F和颈椎支持力FN，如图所示，若肌肉拉力与竖直方向成60°，此时肌肉对头的拉力F约为头所受重力的1倍，由此估算颈椎受到的压力大小约为( )
类型二：多力作用下的静态平衡问题
例3：(2024·陕西咸阳月考)如图所示，倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，一质量m＝1 kg的小滑块在斜面上恰好能匀速下滑(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求滑块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(2)若给小滑块施加一平行于斜面向上的推力F1，小滑块能沿斜面匀速向上滑动，求推力F1的大小；
(3)将推力方向改为水平向右，要使小滑块仍沿斜面匀速上滑，求该情形中力F2的大小。
解析：(1)根据平衡条件得mgsin θ＝μmgcos θ，解得μ＝0.75。
(2)根据平衡条件得mgsin θ＋μmgcos θ＝F1，代入数据解得F1＝12 N。
(3)推力方向改为水平向右，要使小滑块仍沿斜面匀速上滑，对小滑块受力分析如图所示，垂直斜面方向FN＝mgcos θ＋F2sin θ，平行斜面方向mgsin θ＋Ff＝F2cos θ，又Ff＝μFN，联立解得F2≈34.3 N。
答案：(1)0.75 (2)12 N (3)34.3 N
跟踪训练3：如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
素养能力提升
拓展整合·启智培优
提升点1——“活结”和“死结”模型
(1)“活结”是由绳子跨过光滑滑轮、绳子跨过光滑钉子(挂钩)的组合模型。绳子跨过光滑的滑轮，看起来是两根绳子，实际上仍为同一根绳子，张力大小处处相等，如图甲所示，图乙为图甲的拓展模型。
(2)如果是绳子系在另一根绳子上或系在某点时为“死结”，此时几段绳子不是同一根绳子，每段的张力大小不一定相等，如图丙所示。
解析：对O点进行受力分析，如图所示。因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大反向，β＝∠2，故B正确。
提升点2——“动杆”与“定杆”模型
1．“动杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
2．“定杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即“定杆”弹力的方向不沿杆的方向。
例5：(多选)(2024·山西运城高一期末)甲图中， 水平轻杆AB一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为37°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入竖直墙内，另一端装有小滑轮，现用水平轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为37°。两图中重物都静止，则下列说法中正确的是( )第三章 5
课后知能作业
基础巩固练
知识点一 对平衡状态的理解
1．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
解析：物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。故选CD。
2.如图所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向( )
A．竖直向下 B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
解析：物体M受四个力作用(如图所示)，支持力FN和重力G的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力Ff和推力F的合力与支持力FN和重力G的合力必定等大反向，故Ff与F的合力沿竖直方向且向下，A正确。故选A。
知识点二 三力平衡问题
3．一物体受F1、F2、F3三个共点力的作用，下面4组力的组合中，可以使物体处于平衡状态的是( )
A．F1＝9 N，F2＝1 N，F3＝5 N
B．F1＝8 N，F2＝3 N，F3＝15 N
C．F1＝4 N，F2＝2 N，F3＝10 N
D．F1＝6 N，F2＝10 N，F3＝10 N
解析：9 N和1 N的最小合力为8 N，与5 N不可能合力为零，故A项错误；8 N和3 N的最大合力为11 N，故不可能与15 N合力为零，故B项错误；4 N和2 N的最大合力为6 N，不可能与10 N合力为零，故C项错误；6 N和10 N的合力范围是4～16 N，可能等于10 N，则三个力的合力可以为零，即能使物体处于平衡状态。故D项正确。
4．(多选)(2024·吉林高一统考阶段练习)灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，悬挂灯笼的两种方式分别如图甲、乙所示。图甲中灯笼竖直悬挂在轻绳OA和OB的结点O处，轻绳OA与水平杆的夹角为60°，轻绳OB恰好水平，此时OA、OB的拉力大小分别为F1、F2；仅将图甲中轻绳OB更换为与轻绳OA等长的轻绳OB′，且轻绳OB′也固定在水平杆上，如图乙所示，此时OA、OB′的拉力大小分别为F3、F4。下列说法正确的是( )
A．F1＝F3 B．F1∶F2＝2∶1
C．F1∶F4＝2∶1 D．F2∶F4＝2∶1
解析：设灯笼所受重力为G，对题图甲中结点O受力分析，有F1sin 60°＝G，F1cos 60°＝F2，解得F1＝G，F2＝G，则有F1∶F2＝2∶1，故B正确；对题图乙中结点O受力分析，有F3cos 60°＝F4cos 60°，F3sin 60°＋F4sin 60°＝G，解得F3＝F4＝G，则有F1∶F4＝2∶1，F2∶F4＝1∶1，故A、D错误，C正确。故选BC。
5．重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢上的石块就会自动滑下。以下说法正确的是( )
A．在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变
B．自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小
C．自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小
D．石块开始下滑时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
解析：石块下滑后，整体的重心位置降低，A错误；动摩擦因数由接触面的材料和粗糙程度决定，与倾角无关，B错误；石块受力如图所示，FN＝mgcos θ，倾角变大时正压力减小，C正确；石块开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力，D错误。故选C。
知识点三 多力平衡问题
6.吊兰是常养的植物盆栽之一，如图所示是悬挂的吊兰盆栽；四条等长的轻绳与竖直方向夹角均为30°，花盆总质量为2 kg，取g＝10 m/s2，则每根轻绳的弹力大小为( )
A．5 N B． N
C．10 N D．20 N
解析：根据对称性可知，每根绳的拉力大小相等，设每根绳的拉力大小为F。在竖直方向由平衡条件得：4Fcos 30°＝G，解得：F＝ N，故A、C、D错误，B正确。故选B。
7．(多选)(2024·山东泰安高一期末)如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下，沿天花板做匀速直线运动，物体与天花板间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力大小为( )
A．Fcos θ B．Ftan θ
C．μ(Fsin θ－mg) D．μ(mg－Fsin θ)
解析：对物体受力分析，如图所示，由力的平衡条件可得，在水平方向有Fcos θ－Ff＝0，所以Ff＝Fcos θ，在竖直方向有Fsin θ－mg－FN＝0，则有物体受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝μ(Fsin θ－mg)，故选AC。
8.质量为20 kg的小孩坐在2 kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的100 N的拉力拉雪橇，他们一起沿水平地面向前做匀速直线运动。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)雪橇对地面的压力大小；
(2)雪橇与水平地面间的动摩擦因数；
(3)若拉力变为水平方向，要使他们一起向前做匀速直线运动时拉力的大小。
答案：(1)160 N (2)0.5 (3)110 N
解析：(1)对小孩和雪橇整体受力分析，
竖直方向有Fsin θ＋FN＝(M＋m)g
解得FN＝160 N，由牛顿第三定律可知雪橇对地面的压力大小为160 N。
(2)对小孩和雪橇整体受力分析，
水平方向有Fcos θ－Ff＝0
又Ff＝μFN
解得μ＝0.5。
(3)若拉力变为水平方向，则有F′＝Ff′
Ff′＝μFN′
FN′＝(M＋m)g
解得F′＝110 N。
知识点四 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
9.小杰同学将洗干净的外套和衬衣挂在晾衣绳上，如图所示，晾衣绳穿过中间立柱上的固定套环，分别系在左、右立柱的顶端，忽略绳与套环、衣架挂钩之间的摩擦，忽略晾衣绳的质量，用T1、T2、T3和T4分别表示各段绳的拉力大小，下列说法正确的是( )
A．T1>T2 B．T2>T3
C．T3解析：由于晾衣绳是穿过中间立柱上的固定套环并未打结，同一条绳上各点拉力大小相等，满足T1＝T2＝T3＝T4，D正确。故选D。
10.(2024·安徽阜阳高一联考)如图所示，用手、铅笔支起绳子，绳子与铅笔的结合部挂一重为G的物体，手指可以感受到绳子的拉力，手掌可感受到铅笔的压力。开始时手掌竖直，绳子处于水平，且与铅笔间的夹角为30°，现将手掌缓慢右转30°，直至铅笔水平，忽略铅笔重力，则此时铅笔对手掌的作用力大小为( )
A. B．G
C．G D．G
解析：将手掌缓慢右转30°，直至铅笔水平，此时对绳和铅笔接触点进行受力分析，如图所示，根据平衡条件有F1＝G，解得F2＝＝＝G，由牛顿第三定律可知，则此时铅笔对手掌的作用力大小为G。故选D。
综合提升练
11．(2024·黑龙江大庆阶段考)如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)( )
A．mg B．mg
C．2mg D．mg
解析：对B点处的小球受力分析，如图所示，则有FTsin 60°＝FNsin 60°，FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg，解得TT＝FN＝mg，A正确。故选A。
12．(2024·河南郑州高一期末)如图所示，倾角为θ＝30°的斜面体固定在水平地面上，质量为m＝0.2 kg的物体在平行于斜面体底边、大小为F＝ N的水平力作用下静止于斜面上。重力加速度大小取g＝10 m/s2。该物体受到的摩擦力大小为( )
A．2 N B．4 N
C．6 N D．8 N
解析：根据题意，对物体受力分析可知，物体受重力、支持力、水平力F以及摩擦力的作用而处于平衡状态，将重力分解为垂直于斜面和沿斜面的两个分力，根据平衡条件可知，在沿斜面方向上，重力的分力mgsin θ与水平力F以及摩擦力的合力为零，则摩擦力大小等于F与mgsin θ的合力，由几何关系可知，该物体受到的摩擦力大小为Ff＝＝2 N。故选A。
13.同学们都有过擦黑板的经历，如图所示，黑板擦(可视为质点)的质量m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板。(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)若作用力F方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务？
(3)比较两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
答案：(1)0.5 (2)2 N (3)见解析
解析：(1)当黑板擦缓慢向上滑动时，受力分析如图甲所示，根据共点力的平衡条件可知
水平方向FN＝Fsin 53°
竖直方向Fcos 53°＝Ff＋mg，又Ff＝μFN，联立解得μ＝0.5。
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
根据共点力的平衡条件，水平方向FN′＝F′sin 53°
竖直方向F′cos 53°＋Ff′＝mg
又Ff′＝μFN′，解得F′＝2 N。
(3)缓慢向上移动时擦得更干净，因为缓慢向上移动时摩擦力比缓慢向下移动时摩擦力更大，所以擦得更干净。
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