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人教版六年级数学小升初专项复习
专题四二 阅读理解与探究
类型一 理解新定义型
1.如图①,射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=,则我们称射线OC是射线OA的伴随线。例如，如图②,∠AOB=60°,∠AOC=∠COD=∠BOD=20°,则,称射线OC是射线OA的伴随线，同时，由于，则称射线OD是射线OB的伴随线。
（1）如图③,若∠AOB=120°,射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM= °;
（2）如图④,∠AOB=180°,射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点0以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止。
①是否存在某个时刻t（秒）,使得∠COD的度数是20°,若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
②若射线OD在∠AOB内部，当t= 秒时，射线OC,OD,0A中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。（请直接写出答案）
2.指数与对数是数学中两个非常重要的概念（本题中所有参数均为正整数）,其中指数表示为,意思是b个a相乘（如2 =2×2×2）。而对数作为指数运算的逆运算形式如下：,其中a叫做底数，b叫做真数，这个符号代表的数字的意义是a的多少次方的值为b,如,,,。
（1）试计算的值。
（2）通过上面式子能否猜想一下的值。
（3）通过上面的问题总结一下规律给出的结果，并尝试证明。
3.经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”。
例如，如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD=DC=CB,则称△ABC是“钻石三角形”,直线CD是△ABC的“钻石分割线”。
（1）已知在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,则Rt△ABC_ “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）;
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”,∠A>∠B>∠C,直线BD是△ABC的“钻石分割线”,探求∠ABC与∠C之间的关系。
4.定义：如果四边形中有一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点。例如：如图①,在平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点。
（1）已知平行四边形ABCD如图②,在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE。（要求：画出必要的线段）
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与点B、D重合）,请分别解决下列问题。（分别表示△ABP、△CBP、△CDP、△ADP的面积）
a.如图③,当四边形ABCD只有一对等高点A、C且时，求与的数量关系。
b.如图④,当四边形ABCD没有等高点且,时，求。
5.邻边互不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为n阶准正方形。（例如，若第3次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为3阶准正方形。）如图①,长方形ABCD中，若AB=1,BC=2,则长方形ABCD为1阶准正方形。
（1）判断与推理：
①小明为了剪去一个正方形，进行如下操作：如图②,把长方形ABCD沿BE折叠，使点A与点F重合，则四边形ABFE一定是 形。
②如图③,邻边长分别为2和3的长方形是 阶准正方形。
（2）操作、探究与计算，若长方形ABCD的邻边长分别为2,a（a>2）,且是3阶准正方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值。
类型二 理解解题方法型
6.数学期望是描述概率事件的一种重要工具，比如一个标准的骰子六个面，每个面写1到6这六个数之一，扔一次骰子每个面出现的概率都是它的数学期望为
（1）一个运动员打靶，他命中10环的概率为0.1，9环的概率为0.2,8环的概率为0.4,7环的概率为0.3,问他打靶的期望为？
（2）在A中学和B中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛，A中学候选人为3男2女，B中学候选人为2男4女，问：A中学入选人数的期望是多少？
7.如图①中的△ABC是直角三角形，∠C=90°。现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画出两个，如图②所示：
数学解题小方法
例：已知试比较m和n的大小关系。
分析：如何比较两个数的大小关系呢？通常采用作差法，过程如下：因为，所以所以所以
（1）设图②中的矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为和,则 。（填“>”“=”或“<”）
（2）如图③中的△ABC是锐角三角形，且三边满足BC>AC>AB,按题目中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，并在图③中把符合要求的矩形画出来。
（3）在图③中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关系？并说明你的理由。
（4）结合“数学解题小方法”,猜想图③中所画的矩形的周长之间的大小关系，请加以证明。
类型三 问题探究型
8.问题探究与解决。
（1）问题提出：如图①,线段AB,CD夹在平行线a和b之间，且AB=CD。请你参考图①,在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行线a,b之间的两条线段相等。
（2）问题探究：如图③,在梯形ABCD中，连接AC,DB交于点0,试探究△ABO与△DCO的面积之间的关系，并说明理由。
（3）问题解决：如图④,已知△ABC的面积为36,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，AD=5,BD=10,且△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，求△ABE的面积。
9.如图①,在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠A=90°。
操作示例：我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作PE//AB,截掉△并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图②）。
思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上。可以得出四边形ABEF是一个平行四边形。
（1）类比图②的剪拼方法，请你分别将图③和图④的两种情形沿一条直线进行剪切，画出剪拼成一个平行四边形的示意图。
（2）如图③,在梯形ABCD中，AD//BC,E是CD的中点，EF⊥AB于点F,AB=5,EF=4,求梯形ABCD的面积。
联想拓展：小明探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形。
（3）如图⑤的多边形ABCDE中，AE//CD,若连接AC,则恰有AC//ED。请你像上面剪法一样沿一条直线进行剪切，将多边形ABCDE拼成一个平行四边形，请你在图⑤中画出剪拼的示意图，并作必要的文字说明。（不需证明）
10.【实践发现】（1）如图①,点P是直线L外一点，则线段PA、PB、PC中最短的线段是 。
【应用计算】（2）如图②,将三角形ABC沿直线L翻折得到三角形ADC,若∠B=180°，∠2=42°则∠1的度数是 。
【尝试探究】（3）如图③,在三角形ABC中，∠BAC=45°,BC=8,三角形ABC的面积是12,点D是BC上任意一点，将三角形ABD沿AB翻折得到三角形ABE,将三角形ACD沿AC翻折得到三角形ACF。若连接EF,试计算三角形AEF面积的最小值。
类型四探 究迁移型
11.阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到（a+2b）（a+b）=a +3ab+2b 。请解答下列问题：
（1）小明同学打算用x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片B,z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片C拼出一个面积为（3a+5b）（4a+7b）的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片C。
（2）写出图②中所表示的数学等式 。
（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知,求的值。
12.如图①,已知线段,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点。
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE= cm。
（2）若AC=4cm,求DE的长。
（3）试利用“字母表示数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm）,DE的长不变。
（4）【知识迁移】如图②,已知,过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,试说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关。
13.（1）问题发现：如图①,已知△ABC,点D为BC上的中点，连接AD,则 。（填“>”,“<”或“=”）
（2）问题探究：如图②,已知四边形ABCD,E、F分别为AD、BC的中点，连接BE、DF,四边形EBFD与四边形ABCD的面积之比是多少？
（3）实践应用：如图③,已知有一块六边形花圃ABCDEF,其中G、H、M、N分别为上的点，且BG=2AG,BH=2CH,ME=2MD,NE=2NF,连接GF、BN、HE、CM,将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为90m 、240m 、75m ,观赏区的面积为多少？
14.综合与实践
提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是20cm、9cm、3cm,现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放方式不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
探究结论：
（1）根据上图，分别求出“图①”、“图②”、“图③”的表面积、、,并指出表面积最小的是图几。
解决问题：
（2）现在有4个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高都分别是20cm、9cm、3cm,若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有 种不同的摆放方式，搭成的大长方体的表面积最小为 。
（3）现在有4个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高都分别是a、b、3b（a>6b）,若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 cm （用含a、b的代数式表示）。
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人教版六年级数学小升初专项复习 3.经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，
专题四二 阅读理解与探究 称这个三角形为“钻石三角形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”。
例如，如图，在△ABC 中，点 D在 AB 边上，若 AD=DC=CB,则称△ABC 是“钻石三
类型一 理解新定义型
角形”,直线 CD 是△ABC 的“钻石分割线”。
1
1.如图①,射线 OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA= ∠ ,则我们称射线 OC 是射线
2 （1）已知在 Rt△ABC 中，∠A=90°,∠B=60°,则 Rt△ABC_ “钻石三
角形”（填“是”或者“不是”）;
OA 的伴随线。例如，如图②,∠AOB=60°,∠AOC=∠COD=∠BOD=20°,则∠AOC = （2）已知，△ABC 是“钻石三角形”,∠A>∠B>∠C,直线 BD 是△ABC 的“钻石分
考 点 割线”,探求∠ABC 与∠C之间的关系。
1
∠BOC 1,称射线 OC 是射线 OA 的伴随线，同时，由于∠BOD = ∠AOD，则称射线 OD
2 2
是射线 OB 的伴随线。
考 场
考 号 （1）如图③,若∠AOB=120°,射线 OM 是射线 OA 的伴随线，则∠AOM= °;
4.定义：如果四边形中有一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点
（2）如图④,∠AOB=180°,射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O以每秒 3°的速度逆时
叫做这个四边形的一对等高点。例如：如图①,在平行四边形 ABCD 中，可证点 A、C
针旋转，射线 OD 与射线 OB 重合，并绕点 0以每秒 5°的速度顺时针旋转，当射
到 BD 的距离相等，所以点 A、C是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可知点 B、D
线 OD 与射线 OA 重合时，运动停止。
也是平行四边形 ABCD 的一对等高点。
①是否存在某个时刻 t（秒）,使得∠COD 的度数是 20°,若存在，求出 t的值；
（1）已知平行四边形ABCD如图②,在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE。
姓 名 若不存在，请说明理由。
（要求：画出必要的线段）
②若射线 OD 在∠AOB 内部，当 t= 秒时，射线 OC,OD,0A 中恰好有一条射
（2）已知 P是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点（不与点 B、D重合）,请分别解决
线是其余两条射线的伴随线。（请直接写出答案）
下列问题。（ 1、 2、 3、 4分别表示△ABP、△CBP、△CDP、△ADP 的面积）
座位号 a.如图③,当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、C且 1 3 = 6时，求 2与 4的数
量关系。
b.如图④,当四边形 ABCD 没有等高点且 = 4, = 2时，求 × 。
2.指数与对数是数学中两个非常重要的概念（本题中所有参数均为正整数）,其中指数 1 3 2 4
表示为 ,意思是 b个 a相乘（如 2 =2×2×2）。而对数作为指数运算的逆运算形式
如下：log ,其中 a叫做底数，b叫做真数，这个符号代表的数字的意义是 a的多少
次方的值为 b,如log2 8 = 3,23 = 8,log3 27 = 3,33 = 27。
（1）试计算log5 25 + log5 125的值。
（2）通过上面式子能否猜想一下log6 18 + log6 2的值。
（3）通过上面的问题总结一下规律给出log + log 的结果，并尝试证明。
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5.邻边互不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作； （2）在 A中学和 B 中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛，A 中学候选人
在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…… 为 3男 2女，B中学候选人为 2男 4女，问：A中学入选人数的期望是多少？
以此类推，若第 n次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为 n阶准正方形。
（例如，若第 3次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为 3阶准正方形。）
如图①,长方形 ABCD 中，若 AB=1,BC=2,则长方形 ABCD 为 1 阶准正方形。
7.如图①中的△ABC 是直角三角形，∠C=90°。现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个
顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的
矩形可以画出两个，如图②所示：
数学解题小方法
1 1
例：已知 > > 1， = + ， = +
，试比较 m和 n的大小关系。
（1）判断与推理：
①小明为了剪去一个正方形，进行如下操作：如图②,把长方形 ABCD 沿 BE 折叠， 分析：如何比较两个数的大小关系呢
使点 A与点 F重合，则四边形 ABFE 一定是 形。 ？通常采用作差法，过程如下： = ( +
②如图③,邻边长分别为 2和 3的长方形是 阶准正方形。 1 ) ( + 1 ) = ( ) + ( 1 1 ) = (
（2）操作、探究与计算，若长方形 ABCD 的邻边长分别为 2,a（a>2）,且是 3阶准正
方形，请画出长方形 ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出 a的值。
) + = ( )(1 1 ) = ( ) 1，
因为 ＞ ＞1，所以 > 0， ＞1，
1 0 1＞ 。所以( ) > 0，所以 >
0，即 > 。
类型二 理解解题方法型 （1）设图②中的矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 1和 2,则 1 2 。
6.数学期望是描述概率事件的一种重要工具，比如一个标准的骰子六个面，每个面 （填“>”“=”或“<”）
1 （2）如图③中的△ABC 是锐角三角形，且三边满足 BC>AC>AB,按题目中的要求把它补
写 1 到 6 这六个数之一，扔一次骰子每个面出现的概率都是 ，它的数学期望为
6 成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，并在图③中把符合要求的
E = 1 × 1+ 1 × 2+ 1 × 3+ 1 × 4+ 1 × 5+ 1 × 6 = 7 矩形画出来。。
6 6 6 6 6 6 2 （3）在图③中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关系？并说明你的理由。
（1）一个运动员打靶，他命中10环的概率为0.1，9环的概率为0.2,8环的概率为0.4,7 （4）结合“数学解题小方法”,猜想图③中所画的矩形的周长之间的大小关系，请加
环的概率为 0.3,问他打靶的期望为？ 以证明。
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装 订 线 内 不 许 答 题
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类型三 问题探究型 画出剪拼成一个平行四边形的示意图。
8.问题探究与解决。
考 点
（1）问题提出：如图①,线段 AB,CD 夹在平行线 a和 b之间，且 AB=CD。请你参考图 （2）如图③,在梯形 ABCD 中，AD//BC,E 是 CD 的中点，EF⊥AB 于点 F,AB=5,EF=4,求梯
①,在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行线 a,b 之间的两条线段相等。 形 ABCD 的面积。
考 场
（2）问题探究：如图③,在梯形 ABCD 中，连接 AC,DB 交于点 0,试探究△ABO 与△DCO 联想拓展：小明探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成
的面积之间的关系，并说明理由。 平行四边形。
（3）问题解决：如图④,已知△ABC 的面积为 36,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上， （3）如图⑤的多边形 ABCDE 中，AE//CD,若连接 AC,则恰有 AC//ED。请你像上面剪法一
AD=5,BD=10,且△ABE 的面积和四边形 DBEF 的面积相等，求△ABE 的面积。 样沿一条直线进行剪切，将多边形 ABCDE 拼成一个平行四边形，请你在图⑤中画出剪
拼的示意图，并作必要的文字说明。（不需证明）
考 号
姓 名
9.如图①,在直角梯形 ABCD 中，AD//BC,∠B=∠A=90°。 10.【实践发现】（1）如图①,点 P 是直线 L 外一点，则线段 PA、PB、PC 中最短的线
操作示例：我们可以取直角梯形 ABCD 的非直角腰 CD 的中点 P,过点 P作 PE//AB,截掉 段是 。
座位号 △并将△PEC 拼接到△PFD 的位置，构成新的图形（如图②）。 【应用计算】（2）如图②,将三角形 ABC 沿直线 L翻折得到三角形 ADC,若∠B=180°，
思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC 绕点 P逆时针旋转 180° ∠2=42°则∠1的度数是 。
到△PFD 的位置，易知 PE 与 PF 在同一条直线上。可以得出四边形 ABEF 是一个平行 【尝试探究】（3）如图③,在三角形 ABC 中，∠BAC=45°,BC=8,三角形 ABC 的面积是
四边形。 12,点 D 是 BC 上任意一点，将三角形 ABD 沿 AB 翻折得到三角形 ABE,将三角形 ACD 沿
AC 翻折得到三角形 ACF。若连接 EF,试计算三角形 AEF 面积的最小值。
（1）类比图②的剪拼方法，请你分别将图③和图④的两种情形沿一条直线进行剪切，
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类型四探 究迁移型 13.（1）问题 发现 ： 如图① ,已知△ ABC,点 D 为 BC 上的中点，连接 AD,
11.阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得 则 △ABD △ACD。（填“>”,“<”或“=”）
到一个数学等式，例如由图①可以得到（a+2b）（a+b）=a +3ab+2b 。请解答下列问 （2）问题探究：如图②,已知四边形 ABCD,E、F 分别为 AD、BC 的中点，连接 BE、
题： DF,四边形 EBFD 与四边形 ABCD 的面积之比是多少？
（1）小明同学打算用 x张边长为 a的正方形纸片 A和 y张边长为 b的正方形纸片 （3）实践应用：如图③,已知有一块六边形花圃 ABCDEF,其中 G、H、M、N 分别为
B,z 张相邻两边长分别为 a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为（3a+5b）（4a+7b） 上的点，且 BG=2AG,BH=2CH,ME=2MD,NE=2NF,连接 GF、BN、HE、CM,将花圃分成
的长方形，那么他总共需要 张纸片 A、 张纸片 B、 五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积
张纸片 C。 由上至下分别为 90m 、240m 、75m ,观赏区的面积为多少？
（2）写出图②中所表示的数学等式 。
（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 + + = 9, 2 + 2 + 2 =
23，求 + + 的值。
14.综合与实践
提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 20cm、9cm、3cm,
现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不
变，但是由于摆放方式不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有
3种不同的摆放方式，如图所示：
12.如图①,已知线段 = 12 ,点 C 为 AB 上的一个动点，点 D、E分别是 AC 和 BC 的
中点。
探究结论：
（1）若点 C恰好是 AB 的中点，则 DE= cm。 （1）根据上图，分别求出“图①”、“图②”、“图③”的表面积 1、 2、 3,并指出
（2）若 AC=4cm,求 DE 的长。 表面积最小的是图几。
（3）试利用“字母表示数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm）,DE的长不变。 解决问题：
（4）【知识迁移】如图②,已知∠ = 120°,过角的内部任一点 C画射线 OC,若 OD、 （2）现在有 4 个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高都分别是 20cm、9cm、3cm,若
OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,试说明∠DOE 的度数与射线 OC 的位置无关。 将这 4个纸盒搭成一个大长方体，共有 种不同的摆放方式，搭成的大长方
体的表面积最小为 2。
（3）现在有 4 个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高都分别是 a、b、3b（a>6b）,
若用这 4 个长方体纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为
cm （用含 a、b的代数式表示）。
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装 订 线 内 不 许 答 题人教版六年级《数学》小升初期末专题训练卷
（(专题四二 阅读理解与探究）)参考答案
专题42 阅读理解与探究 2.解：(1)52=5×5=25,53=5×5×5=125,
类型一 理解新定义型 log,25+log 125=2+3=5。
1.解：(1)40【解法提示】由题意知，若射线OM是射 (2)由5 =5×5×5×5×5=3125,125×25=3125,
可以猜想：log,25+log,125=logs(25×125)=log,3125=5,
线OA的伴随线，则∠AOM=2∠BOM,,又因为 则log 18+log 2=log (18×2)=log 36=2。
∠AOM+∠BOM=120°,所以∠AOM=40°。 (3)规律：log。b+logc=log。be,证明如下：设log.b=x,
log。c=y,a2=b,a3=c,bc=a2·a =a",所以logbc=x
(2)射线OD与射线OA重合时，=18=36(秒), +y,即log。b+logc=log bc。
①当LCOD=20°时，有两种情况： 3.解：(1)是【解法提示】如解图 A
若在相遇之前，则180-5t-3t=20,解得t=20, ①,D为Rr△ABC中 BC边的中
若在相遇之后，则5t+3t-20=180,解得t=25, 点，此时AD=CD=BD,即分割成的 C D B
答：存在，当t=20秒或t=25秒时，∠COD=20°。 △ACD和△ABD均为等腰三角形，第3题解图①
②或‰⑩或87或30【解法提示】相遇之前： 故Ri△ABC是“钻石三角形”。(2)因为△ABC中，∠A>∠B>∠C,BD为“钻石分割
I:如解图①,0C是OA的伴 D\
C 线”,所以存在以下两种情况：
随线时，∠AOC=2∠coD, ①如解图②:AB=BD,BD=CD,即△ABD和△BCDB 0 -A 为等腰三角形，由等腰三角形的性质可知：∠A=
即3=÷(180-51-31),解得1 第1题解图① LADB,∠C=∠CBD,因为∠ADB=∠C+∠CBD=2
LC,所以∠A=2∠C,因为LA+∠ABC+∠C=180°,
=9 所以2∠C+∠ABC+∠C=180°,即∠ABC=180°-
Ⅱ:如解图②,0C是OD的伴 D| 3∠C;C A
随线时，LCOD=∠AOC,,即 D A
B 0 -A D
180-5t-3=÷2×31,,所以t 第1题解图② C B C B
图② 图③
369 第3题解图
相遇之后： ②如解图③:AD=AB,CD=BD,即△ADB和△BCD
Ⅲ:如解图③,0D是OC的伴随 C/ 为等腰三角形，由等腰三角形的性质可知：∠ADB=
LABD,∠C=∠CBD,因为∠ADB=∠C+∠CBD=
线时， 即5t+ B 0 A 2LC,所以∠ABD=2LC,又因为∠ABC=∠ABD+
第1题解图③
t-180=÷(180-5t),,解得t 综上所述：∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C。
-180 4.解：(1)画出四边形ABCE如解图①所示。(画法不唯一，E为BD上任意不与点B、D重合的点)
IV:如解图④,0D是OA的伴随 C A
A D
线时，∠AOD=—∠COD,,即180- D E SPS
B 0 -A
B n2S DS
=2(3t+5-180),解得t=30。 第1题解图④ B C
=9,369,178 图① 图②答：综上所述，当 或30时，0C,OD,0A 第4题解图
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。 (2)作辅助线如解图②。
a.由题得：S =S ,S =S 。因为S,-S =6,所以S -
S =6。
6.5-6 5,6,,所以55S,,即：S ×S =S ×S , 的矩形周长为 ,以AC为边的矩形周长为
因为S =4,S =2,所以S ×S =4×2=8。 2AB+4,
5.解：(1)①正方；②2 【解法提示】①由折线可以得 以BC为边的矩形周长为 ,再比较
出AB=BF,AE=FE,则矩形 ABFE为正方形；②第一 2Ac+4C 2BC+BC'
次操作应该减去一个边长为2的正方形，所以就剩 它们的周长关系。利用题目给出的数学解题小方
下一个长为2、宽为1的矩形，再进行第二次操作减 法，把两个周长做减法，再结合题目进行变化得到
结果。
去一个边长为1的正方形，则余下的就是一个边长
为1的正方形。所以共操作2次，这个矩形是2阶 解：(1)=【解法提示】S,是三角形ABC面积的2
倍，S 是三角形ABC面积的2倍，因此S =S 。
准正方形。 (2)3 【解法提示】先过C点画 A
(2)如解图所示。 AB的平行线，从AB的两个端点
2 2 1 A和B处分别作垂线，就可以画
出这个矩形；同样的方法以其他 B C
①a=8 ②a=5 两条边为矩形的边作矩形，可得
23 213 3个矩形，如解图所示。 第7题解图
(3)面积相等。理由；每个矩形的面积都是三角形
ABC面积的2倍，因此，它们的面积都相等。
③a= ④a=13 (4)猜想：以BC为边的矩形周长>以AC为边的矩形
第5题解图 周长>以AB为边的矩形周长。
类型二 理解解题方法型 证明：设三角形ABC的面积为S,以BC为边的矩形
6.解：(1)运动员打靶的期望为E=0.1×10+0.2×9+ 周长-以AC为边的矩形周长=2BC+BC-(2AC+4C)
0.4×8+0.3×7=8.1。
(2)A中学入选人数为0人的概率是5×6-30=15, =2(BC-AC)+45(BCAc)=2( BC-AC)×(I-
,把BC边上的高
A中学人选人数为1人的概率是3×54×2×2-1304-5,4 BC×Ac)=2(BC-Ac)BGC×C-2
5×2-30-5, 设为h,上式变为2(BC-AC)×BCBAC-BC′=2(BC中学人选人数为2人的概率是 ,所以A中
-AC)×^Cc,根据BC>AC,得到BC-AC>0,根据垂
学入选人数的期望为E=15×0+×1+5×2=1. 线的性质得到AC>h,因此AC-h>0,则2(BC-AC)×
答：A中学人选人数的期望是15。 ACc>0,因此，以 BC为边的矩形周长>以AC为边
7.【思路分析】(1)分析题图中的矩形与三角形的关 的矩形周长，同理得到以AC为边的矩形周长>以
系，结合三角形面积公式和矩形的面积公式可以得 AB为边的矩形周长，综上所述，以BC为边的矩形
出矩形的面积正好是三角形ABC面积的2倍，因 周长>以AC为边的矩形周长>以AB为边的矩形
此，两个矩形的面积相等；(2)三角形不是直角三角 周长。
形，因此要考虑三条边，可先从其中一条边考虑，如
先过C点画AB的平行线，再从AB的两个端点A和 类型三 问题探究型
B处分别作AB的垂线，就可以画出这个矩形，同样 8.解：(1)如解图①。
的方法以其他两条边为矩形的边作矩形；(3)根据 A E a
三角形面积公式和矩形的面积公式可以得到每个矩
形的面积都是三角形面积的2倍；(4)把三角形ABC
b
的面积看作S,那么AB边上的高为3A同理AC边 B F
2S 第8题解图①
上的高为一，BC边上的高为3B,进一步，以AB为边
而来的，所以∠CAB=∠2,因为∠B=108°,∠1=
(2)三角形ABO的面积等于三角形DCO的面积。 180°-108°-42°=30°。
理由：因为在梯形ABCD中AD与BC平行，所以三 (3)因为△AEB是由△ADB翻折而来，△ACF是由
角形ADB的面积等于三角形ADC的面积，同时减掉 △ACD翻折而来，所以AE=AD=AF,∠DAB=
三角形AOD的面积，剩余面积仍相等，所以剩余的 LEAB,∠DAC=∠FAC,因为∠DAB+∠DAC=45°,
三角形ABO的面积等于三角形DCO的面积。 所以∠EAB+∠FAC=45°,所以∠EAF=90°,因为
(3)如解图②,连接DE,DC, C AE=AF=AD,ZEAF=90°,所以△EAF是一个等腰
因为三角形ABE的面积和四
F E 直角三角形，要使△EAF的面积最小，则AE=AF=边形DBEF的面积相等，所以 AD最小，因为D是边BC上的一点，所以当AD1
三角形 ADE的面积等于三角
形FDE的面积，三角形ADE BC时，AD最小，因为A D B BC=8,SaNnc=×BC×AD=
与三角形FDE有公共底DE, 第8题解图②
且面积相等，所以高也相等，所以DE平行于AC,因 4AD=12,所以AD=3=AE。=AF,S×AE×为三角形ADE和三角形DCE同底等高，所以三角形ADE的面积=三角形DCE的面积，所以三角形ABE Ar=2×3×3=2。的面积等于三角形BDC的面积，因为三角形ADC与 答：三角形AEF面积最小值为三角形BDC同高不同底，AD=5,BD=10,所以三角
形BDC的面积=三角形ABE的面积=三角形ABC 类型四 探究迁移型
的面积>×15=36×2=24。 11.解：(1)12 35 41 【解法提示】因为(3a+5b)(4a+7b)=12n2+41ab+35b2,所以拼出一个面积为
答：三角形ABE的面积是24。 (3a+5b)(4a+7b)的长方形，它总共需要12张纸片
9.解：(1)剪拼后如解图①②所示。 A、35张纸片B、41张纸片C。
(2)梯形ABCD剪拼后为平行四边形，如解图①所 (2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
示，所以梯形ABCD的面积是AB×EF=5×4=20, 【解法提示】因为题图②是边长为(a+b+c)的正方
答：梯形ABCD的面积是20。 形，所以题图②面积为；(a+b+c)2,又因为题图②
(3)如解图③,分别取AB和 BC的中点F、G,过这两 由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，
点画线段PQ,则PQ//ED,过B点作AE的平行线交 1个边长为c的正方形，2个长为b宽为a的长方
PQ于M,然后将△FAP绕点F逆时针旋转180°到 形，2个长为c宽为a的长方形，2个长为c宽为b
△FBM的位置，将△GCQ绕点G逆时针旋转180°到 的长方形组成，所以题图②面积为：a2+b2+c2+2ab+
△GBM的位置，拼成的四边形 PQDE就是平行四 2bc+2ac。
边形。 所以题图②中所表示的数学等式为：
A. (a+b+e)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ae。
A D Q E卧 A P E (3)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
Fp P F
E D F 所以B ab+hc+tac=(a+bte)2-(a2+b2+e2)M
B GX 因为a+b+c=9,a2+b2+c2=23,
B P C C CQ D 所以
图① 图② 图③ h+baetac-9-381-23=29。
第9题解图 答：ab+bc+ac的值为29。
10.解：(1)PC【解法提示】根据垂线段定理可知，PC 12.解：(1)6
最短。 (2)因为AB=12 cm,AC=4 cm,所以 BC=8cm,因
(2)30°【解法提示】因为△ADC是由△ABC翻折 为点D、E分别是AC和BC的中点，所以CD=2
em,CE=4 cm,所以DE=6cm。
答：DE的长为6 cm。
(3)设AC=a cm,因为点D、E分别是AC和 BC的中
点，所以 DE=CD+CE=(4C+BC)=÷AB=6cm,,所
以不论AC取何值(不超过12cm),DE的长不变；
(4)因为OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠DOE=∠Doc+∠COE=2(∠AOC+∠BOC) 1056(cm2),综上，表面积最小是1056cm2。
=∠AOB,因为∠AOB=120°,所以∠DOE=60°,
所以∠DOE的度数与射线OC的位置无关。
13.解：(1)=
(2)如解图①,连接BD,因为点E为AD的中点，则 图① 图②
ED=AE,所以S△nED=S△nEa。因为点F为BC的
中点，则BF=CF,所以S△neb=S△Cn,所以S△BED+
S△Ben=S△nEA+S△CFD, 图③ 图④ 图⑤
答：四边形EBFD与四边形ABCD的面积之比是1:2。
A
A GA FE N
D Bf Y 图⑥ 图⑦
￥Y
E 第14题解图H
C YYYYM (3)(14ab+24b2)【解法提示】由(2)得，表面积
B F C D 最小为：2×a×3b+8×a×b+8×b×3b=14ab+24b2。
图① 图②
第13题解图
(3)如解图②,连接BF,BE,CE,因为BC=2AG,所以
S△BFG=2SAFG=2×90=180(m2),因为BH=2CH,NE
=2NF,所以Say=2Se,Scm=- S△nan S△aBNw
Saou=- Ssmosme=120(m2),因为ME=2MD0,所
以S△n=2Scup=2×75=150(m2),所以观赏区的
面积为：180+120+150=450(m2),
答：观赏区的面积为450m2。
14.解：(1)图①的长、宽、高分别为20 cm、18cm、3
cm,S =(20×18+20×3+18×3)×2=948(cm2);图②
的长、宽、高分别为40cm、9cm、3cm,S =(40×9+
40×3+9×3)×2=1014(cm2);图③的长、宽、高分别
为20cm、9cm、6cm,S =(20×9+20×6+9×6)×2=
708(cm2)。708<948<1014。
答：图③的表面积最小。
(2)7 1056【解法提示】如解图①,长、宽、高分
别为80cm、9 cm、3 cm,表面积=(80×9+80×3+3×
9)×2=1974(cm2);如解图②,长、宽、高分别为20
cm、36 cm、3 cm,表面积=(20×36+20×3+36×3)×2
=1776(cm2);如解图③,长、宽、高分别为20cm、
9cm、12 cm,表面积=(20×9+20×12+9×12)×2=
1056(cm2);如解图④,长、宽、高分别为40cm、
9cm、6 cm,表面积=(40×9+40×6+9×6)×2=
1308(cm2);如解图⑤,长、宽、高分别为20 cm、
18cm、6 cm,表面积=(20×18+20×6+18×6)×2=
1176(cm2);如解图⑥,长、宽、高分别为40 cm、
18 cm、3cm,表面积=(40×18+40×3+18×3)×2=
1788(cm2);如解图⑦,长、宽、高分别为9cm、
12cm、20 cm,表面积=(9×12+9×20+12×20)×2=
