北京市2025年中考数学模拟练习卷（二）（含解析）

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北京市2025年中考数学模拟练习卷（二）
一、单选题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是边的中点．按下列要求作图：
（1）以点为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点，； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点与点在直线同侧； （3）作直线，交于点．
根据上面作图，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边．使点A与点F在直线同侧．交于点G．交于点H．给出下面四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则四边形是菱形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
9．因式分解： ．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 ．
12．分式方程＝1的解为 ．
13．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
14．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为 米．(，，)
15．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则 ．

16．图为一个的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致 个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按 次开关．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
21．为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围．
23．4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．初二年级20名学生的分数数据如下：
．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）：
．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均数 众数 方差
初一年级
初二年级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的值为______；
(2)抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组；
(3)可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
(4)初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到____分才能参加区级比赛．
24．如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求．
25．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间（单位：分钟）
总水量（单位：毫升）
(1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量；
②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）；
(3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
27．在和中，，连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______；
(2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作．
(1)边长为1的正方形的宽距为______；
(2)已知点，连接所形成的图形为．
①若，直接写出的取值范围；
②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围．
《北京市2025年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C B C C D
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差；据此即可求解．
【详解】解：；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．
【详解】解：∵，
，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．熟练掌握列表法是解题的关键．
【详解】解：由题意，列表如下：
白 白 红
白 （白，白） （白，白） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，红）
红 （红，白） （红，白） （红，红）
共9种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果为1种，
∴；
故选B．
6．C
【分析】本题考查作一个角等于已知角、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D．
【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意；
由作图过程可知，，，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴
∵是边的中点，
∴，
∴，即
∵，
∴，故C选项不正确，符合题意，
∵，
∴，
∴，D选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．
【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识；由三角形内角和及等边三角形的性质得，由对顶角相等即可得，故①正确；证明，再利用即可得到，故②正确；利用，即可得，故③正确；当时，由得，从而得是等边三角形，则，从而，即四边形是菱形，故④正确，最后确定答案．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵是等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴，
即，故③正确；
当时，即；
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，故④正确；
综上，全部正确；
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为．
11．（﹣3，﹣4）
【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.
【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
12．X=1；
【详解】分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：2 3x=x 2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解.
故选A.
点睛：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定要注意验根.
13．130°.
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可解答.
【详解】∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=115°，∴∠C=65°，∴∠BOD＝2∠C＝130°；
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理．
14．200
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
根据正切的定义得出，，从而得到，，继而得解．
【详解】解：由题意得，
∵在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴的高度约为．
故答案为：200．
15．
【分析】根据翻折性质，可得，再根据勾股定理求得，利用设方程解得，即可解答．
【详解】解：四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，
，
，
，
设，则，根据，可得方程，
解得，即，
．
【点睛】本题考查了翻折性质，勾股定理，利用勾股定理设方程解答是解题的关键．
16． 3 3
【分析】本题考查数学逻辑，将位置分为三类：四个角位置(A、C、G、I)，中心位置E和靠正方形四边中点的位置，然后逐类分析即可知最受影响几个开关，按“按1次，按2次，按三次……”的思维顺序分析即可得解．
【详解】解：根据题意可知：导致改变状态的开关最少，应该按四个角的开关，即开关A、D、G、I，此时受影响的开关只有三个，
首先A，E，I的状态三者不相邻，因此一次是不可能的，
其次考虑按两次开关，分为3种情况，其他通过旋转对称可以同理推导视为一种，按一次后的三种情况如下图所示：其中改变状态的用阴影表示：

这三种情况都不可能再按一次就只改变A，E，I的状态，
三次是可行的，方法如下，其中相比上一步改变状态的用阴影表示：
说明：这三步的顺序可以任意交换，都可以完成要求．
综上所述：如果按任意一个开关一次，则至少导致3个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按3次开关．
故答案为：3；3．
17．
【分析】本题考查了实数的运算；特殊角的三角函数值．首先代入特殊角的三角函数值，应用幂的运算性质完成零指数幂、负整数指数幂的运算，二次根式化为最简二次根式，然后进行合并即可．
【详解】解：
18．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
19．
【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键．先根据分式的性质化简，然后根据已知等式得出，整体代入，即可求解．
【详解】解：原式=
∵，
∴，
∴原式
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形；
（2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：，
．
．
四边形是矩形，
．
，
．
在中，，
21．11名
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键．
设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．然后列二元一次方程组求得x、y的值，进而完成解答．
【详解】解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．
依题意得：
，解得，
∴．
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生．
22．(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数平移，待定系数法求解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集；
（1）根据一次函数的平移可得函数过点，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据当时，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于等于1，即可求解．
【详解】（1）.解：∵函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵函数过点，
∴，
解得：
∴函数解析式为
（2）解：时，，
∵当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数之差的绝对值差大于1，
∴
∴或
解得：或
23．(1)
(2)
(3)初二
(4)
【分析】本题考查了数据统计，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据众数的定义求得的值；
（2）根据中位数的定义，结合频数分布直方图，即可求解；
（3）根据方差的意义，比较两个年级成绩的方差，即可求解；
（4）根据题意，成绩考前的能参加比赛，找到初二年级前的最低分，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格可得初二年级学生分数中，出现次数最多，则，
故答案为：．
（2）解：根据初一年级20名学生分数的频数分布直方图可得第和第个数据在第4组，
故答案为：．
（3）解：初二成绩的方差小于初一成绩的方差，
∴初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
故答案为：初二．
（4）解：，
初二年级成绩从大到小排列为：，，，，，……
第个数据为
∴估计成绩至少达到分才能参加区级比赛
故答案为：．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则；
（2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)图象见解析
(2)①毫升；②天
【分析】本题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
（1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解．
（2）①观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；将代入函数，即可解答；
②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．
【详解】（1）描点，连线，如图，
（2）①解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把，代入，
可得，
解得，
y关于t的表达式；
当时，，
故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，
答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．
②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟分钟，
可供一人饮水天数天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
26．(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键；
（1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得 关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解；
（3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为
∵，抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
又∵
∴
故答案为：．
（3）①当时，抛物线过点，关于的对称点为
直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，
如图
∵B，
∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点.
∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点.
②当时，
∵点的横坐标为1，则，即
把代入 得
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴
解得：
综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点，
27．(1)
(2)成立；证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证；
（2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1），理由如下
如图，延长交于点，过点作，连接，则，
∵在和中，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵是的中点，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图，延长到，使得．
是的中点，
，
又，
．
，．
．
，
．
，
，
．
即．
又，
．
．
，
．
28．(1)
(2)① ②或
【分析】本题考查了几何新定义，圆的综合问题，解直角三角形，理解新定义求得符合题意的临界值是解题的关键；
（1）根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即可求解；
（2）①根据新定义，画出图形，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，则当最大时，是等边三角形，解直角三角形，即可求解；
②根据题意可得当时，点或到上的点距离最大为，最小值为，当时，以为圆心和为半径作，当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，根据圆与圆的位置关系以及勾股定理求得的坐标，结合图形即可得出的范围，根据对称性求得的坐标的相反数，即可得出另一个范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴
如图，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，
∴当最大时，是等边三角形，
∴
∴
②∵，点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，
∴当时，点或到上的点距离最大为，最小值为
当时，如图，
以为圆心和为半径作，
当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，
设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，
∴
∴，则此时
同理可得，，则
∴此时,
∴
当时，根据对称性，同理可得
综上所述，或
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