北京市2025年中考数学模拟练习卷（一）（含解析）

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北京市2025年中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题
1．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
8．如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，．
给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形；
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
③；
④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．写出一个比大且比小的整数 ．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
13．某校为了解全校名学生的课外阅读情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下：
每周课外阅读时间/小时
人数
若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需要表彰约 人．
14．在中，为上一点，，交于点，若．则的长为 ．
15．如图，为的直径，点在上，且，过点作的切线交的延长线于点．若，连接，则的长为 ．
16．某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：
客车型号 甲 乙 丙
每辆客车载客量/人
每辆客车的租金/元
如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，写出它的所有整数解．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值．
22．平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求该函数的解析式．
(2)当时，对于的每一个值，若函数的值小于函数的值且大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前．
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图：
b．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分 88 m 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲班五个单项得分的中位数为：________；
(2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分________；
(3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）；
(4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）．
24．如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，的延长线交的切线于点．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
25．已知角，探究与角的关系．
两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案，
方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值．
方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点．
两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）．
若记为，否则记为．
0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90
0 ② 1
0
或

根据以上信息，解决下列问题：
(1)①为 ，②为 ；
(2)补全表中的或；
(3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到），
26．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)当，时，总有，求的取值范围．
27．如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”．
(1)已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”；
(2)若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；
(3)已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围．
《北京市2025年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B D C D D
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”与中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”求解．
【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟记轴对称图形和中心对称图形的概念．
2．A
【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．
【详解】解：∵，
，
，
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C
4．B
【详解】解：根据题意得：△=，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：B
5．D
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；依题意得阴影Ⅰ，Ⅲ是两个全等的等腰三角形，Ⅱ是等腰三角形，利用边角关系可判定①②④；在上取，连接，则可判断③；
【详解】解：如图，
在正五边形中，，
，
∴；
同理：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
即是等腰三角形；
而此三角形是由Ⅰ和Ⅱ合在一起的三角形；
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
故②正确；
∵，
∴；
故④正确；
在上取，连接，
则，
∴，
∴，
显然，故③不正确；
综上，正确的有①②④；
故选：D．
9．
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴
即
故答案为：．
10．/
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
11．2/3/4
【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和的范围，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
∴比大且比小的整数为：2或3或4．
故答案为：2或3或4（写其一即可）．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键．
12．
【分析】本题主要考查求反比例函数的自变量，求出反比例函数解析式成为解题的关键．
先求出反比例函数解析式，根据函数图象上的点满足函数解析式、列出方程求解即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴，解得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，用乘以阅读时间大于等于2小时的同学的占比，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．/
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵．
∴
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】连接，则，，则，，由可求得，再由勾股定理即可求得结果．
【详解】解：连接，如图，
∵为圆的切线，且点为切点，
∴，
即；
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
即，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，已知切线，连接过切点的半径是常作的辅助线．
16．
【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解．
【详解】解：依题意得(元)；
设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，
则，即，
整理得
∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，
∵a，b，c都是正整数，
∴，
∴，
此时最低费用为（元）
故答案为：，．
17．
【分析】分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂等知识．熟练掌握余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂是解题的关键．
18．，，0，1，2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，
得：，
解不等式②，
得：，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，0，1，2．
19．
【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵ ，
∴，
∴代数式的值．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)
(2)或5
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得；
∴实数的取值范围是；
（2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数，
∴是平方数
∴是平方数
∴或5
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
综上所述，或5．
22．(1)
(2)且
【分析】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式；
（2）根据函数的值小于一次函数的值，得出，当时，求出的值，然后根据题意得到不等式，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：将点，代入一次函数
得，解得
一次函数解析式：；
（2）解：当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴
∵的值大于
∴
即
又∵是不等式的解集
∴恒成立，
解得：
的取值范围是且．
23．(1)92
(2)83
(3)丙
(4)98
【分析】本题考查了统计表与折线统计图，中位数，求平均数等知识，掌握这些知识，数形结合是解题的关键；
（1）根据中位数的意义即可求解；
（2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可；
（3）计算两班的团体得分，即可判断；
（4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定．
【详解】（1）解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92；
故答案为：92；
（2）解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80，
则；
故答案为：83；
（3）解：甲班的团体得分为：，
丙班的团体得分为：，
则丙班更靠前；
故答案为：丙；
（4）解：由（3）知，乙的团体得分为446，则，
则可能得分为98分；
故答案为：98．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义可得，然后根据等弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）连接，，根据（1）得出是等腰直角三角形，进而结合已知求得，解得出，证明，根据相似三角形的性质求得，进而得出，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵,，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)图像见解析；
【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意计算即可；
（2）由判断即可；
（3）根据图示的点作图，把代入计算即可．
【详解】（1）在中，
①处应填；
②处应填
故答案为：；．
（2）根据题意若记为，否则记为，
，
表格中空白的两处依次填和；
（3）

把代入，得
26．(1)直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据二次函数的平移规律得出解析式，进而代入 ，得出解析式为，根据对称轴公式，即可求解．
（2）先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 的方程为 （）．
将 向右平移 2 个单位得到 ．平移后， 的方程为：
代入 ，得：
∴对称轴为：
因此，抛物线 的对称轴为直线
（2）已知 ，点 在 上，点 在 上，且 ．
点 的横坐标为 ．代入的方程，
的方程为（代入)∶
即．
条件时， 的最大值小于 （因为抛物线开口向上，，最大值在端点处取得）．
当时，
当时，
∴
且．
解不等式 (1)：
因，有 ．
解得 ．
解不等式 (2)：
即
因，
解得：
综上所述， 的取值范围为
27．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系．
（1）根据题意作图即可；
（2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，可得，．
（2）解：如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，，，
且，
和都是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，，
，，是的中点，
，，
，
，
、和都是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，，
，
延长，，相交于点，
在中，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
线段与的数量关系是，位置关系是．
28．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，，，，由正切函数知，，则可得是弦的“伴随点”；点则不是弦的“伴随点”；
（2）连接，过点O作于点F，过点B作于点E，由题意易得，则可得；在中，，根据的取值范围可求得的取值范围；
（3）当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上，连接，则可得，得伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，显然当线段位于直线与直线间时满足题意，从而求得m的取值范围；由对称性，求得分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围，从而得到结果．
【详解】（1）解：∵点，，
∴由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，且，，
∵点A的坐标为，B的坐标为，
∴，
在中，，则；
同理得，，
∵，且是圆的切线，
∴是弦的“伴随点”，而点则不是弦的“伴随点”；
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过点O作于点F，过点B作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵点D为弦的“α伴随点”，
∴，，
∴，
当点在的右边，根据三角形外角的性质可得，，当点在的左边，根据三角形内角和定理可得，，
∵存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，
∴
（3）解：如图，当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接，
∵，，
∴，；
∵点C为弦的“伴随点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得：，
则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；
设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，则，，
当与重合时，把点D坐标代入，即；
∵直线，且与圆相切，，
∴点O到切线的距离为，，
∴，
∴，即；
当线段与直线重合时，把点H的坐标代入，即；
当线段位于直线与直线间时满足题意，此时；
由对称性，当分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为；
综上，m的取值范围为：或．
【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键．
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