广东省广州市2025年中考数学模拟练习卷（一）（含解析）

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广东省广州市2025年中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )
A． B． C． D．
6．如图，是一块直角三角板，其中，．直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早40分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线OB翻折至与反比例函数的图象交于点．若为的中点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，则的值是 ．
12．在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则 度．
13．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为 ．
14．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
15．如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ．
16．如图，中，，，点为动点，连接、，始终保持为，线段、相交于点，则的最大值为 ．
三、解答题
17．计算：.
18．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：．
19．已知A＝（a﹣）÷．
(1)化简A；
(2)若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
20．如图，中，．
(1)尺规作图：作，使圆心在边上，且与，所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
21．为抓住文化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全民健身示范区，打造环“两山”体育品牌赛事，助力“百千万工程”高质量发展，2024年6月29日，广州市从化区成功举办首届龙舟邀请赛．为了给组织单位献计献策，某校初三学生随机对部分市民进行了问卷调查，调查市民对于2025年龙舟赛增设比赛项目的关注程度（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题：
比赛项目 频数（人） 频率
300米直道竞速赛（A） 30 0.1
彩龙竞艳赛（B） 90 0.3
10公里龙舟马拉松（C） a 0.35
200米环绕赛（D） 75 0.25
(1)a的值为______；扇形统计图中D部分圆心角的度数为______；
(2)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2女）对河滨北路段进行值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口大桥驶入河滨北路路口执勤，请求出恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率．
22．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
(1)求点到墙面的距离；
(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
23．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
24．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点．
(1)将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值．
(2)当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围．
(3)将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
25．【综合与实践】
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
【类比迁移】
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
《广东省广州市2025年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B A D C C B A
1．C
【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质化简，再根据负数的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、，是正数，故本选项错误；
B、，是正数，故本选项错误；
C、是负数，故本选项正确；
D、，是正数，故本选项错误．
故选：C．
2．A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】将3370万用科学记数法表示为．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方以及完全平方公式．根据同底数幂乘除法，幂的乘方以及完全平方公式计算即可判断．
【详解】解；A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B，
4．B
【分析】本题考查了多边形的外角和，关键是根据任何一个多边形的外角都等于解答．
任何一个多边形的外角都等于，用除以每一个外角的度数就是这个多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于，
∴该多边形的边数为．
故选：B．
5．A
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可.
【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示：
，
故选A.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置.
6．D
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．首先求出抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的增减性比较大小即可．
【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
离对称轴越远则函数值越小，
∵，，，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为，
由题意得：．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠性质，解直角三角形，反比例函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过点作轴于点，由等腰三角形的性质可得，，由折叠性质可知：，从而可证明三点共线，设，则，，所以，，再求出，代入，得出的值即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，，
由折叠性质可知：，
∴，，
∴，
∴三点共线，
设，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点在的图象，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴．
故选：A．
11．
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12．240
【分析】由等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
13．
【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：该扇形的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
15．
【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
【详解】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．
【分析】设，从而可得，先利用勾股定理可得，再利用相似三角形的判定与性质可得，求出的值，从而可得的值，然后利用一元二次方程、二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：由题意，设，则，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
则，
令，则，
整理得：，
关于的一元二次方程有实数根，
方程根的判别式，
即，
令，
解得，
由二次函数的性质可知，当时，，
则的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、二次函数的性质等知识点，将几何问题正确转化为一元二次方程问题是解题关键．
17．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形的性质得，然后运用证明即可作答．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
（2）利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
【详解】（1）A＝（a﹣）÷
＝
＝
＝．
（2）∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得，，
∴，
∴A＝＝2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，反比例函数和一次函数的性质，正确的计算是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）结合角平分线的性质以及切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，可得，，进而可得，则设的半径为，则，，，求出的值即可．
【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，
，，
，
，
．
设的半径为，
则，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．(1)，90
(2)
【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用树状图求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先求出调查学生数，然后用调查学生数乘以10公里龙舟马拉松的频率即可解答；扇形统计图中D部分圆心角的度数为乘以D的频率即可解答．
（2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查学生数为：人，
所以10公里龙舟马拉松的人数为：，即．
扇形统计图中D部分圆心角的度数为．
故答案为：105，90．
（2）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的情况有4种，分别是（男1，男2），（男2，男1），（女1，女2），（女2，女1），
所以P（抽到两名交警性别相同）．
22．(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
23．(1)1；
(2)4或14
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质：
（1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
24．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）求出顶点坐标，根据抛物线与有且仅有一个公共点即可得出平移距离；
（2）由题意可得：当时，恒成立，即，求解即可；
（3）根据得出顶点坐标以及的坐标，在根据题意结合函数图像列出关于的不等式组，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：由题意可得：当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以有当时，且当时，，
即
由①得，由②得，
∴；
（3）由题意得，
∴抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个可得：且，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于的不等式．
25．（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或
【分析】（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值；
②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得．
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，．
（2），，证明如下：
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
（3）①当时，，
∴，，
∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形．
如图，过点作于点，则，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32．
②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，
由上已证：，即，
∴点在上，
由圆周角定理得：，
过点作于点，过点作于点，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴直径，
∴正方形的面积，
由（3）①已得：，
∴，
解得或，均符合题意，
所以的长度为或．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键．
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