第十七章函数及其图像期末单元复习题（含解析）

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第十七章函数及其图像
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果反比例函数的图象满足当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．与y都是变量，且是自变量，是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
3． 已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（ m， m＋1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A（2，2）先爬到B（2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D(5,6)，则小虫共爬了（ ）
A．7个单位长度 B．5个单位长度 C．4个单位长度 D．3个单位长度
5．小明的父亲从家走了到一个离家的书店，在书店看了书后，用返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若函数的图象上有两点，当时，，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．0.5 D．1
7．如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A．B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则点M的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（0，3） C．（﹣4，0） D．（0，﹣3）
8．如图，点N是反比例函数图象上的一个动点，过点N作轴，交直线于点M，则面积的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若点与点关于轴对称，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，这样依次得到点，．若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．A、B两地在一条笔直的公路上，甲从A地出发前往B地、乙从B地出发前往A地．两人同时出发，甲到达B地后停止，乙继续前进到达A地，下图表示两人的距离y（米）与时间x（分）间的函数关系，则下列结论中正确的个数有（ ）
①A、B两地的距离是1200米 ②两人出发4分钟相迎
③甲的速度是100米/分 ④乙出发12分钟到达A地
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知两点A（3，2）和B（1，－2），点P在y轴上且使AP＋BP最短，则点P的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，－1） D．（0，）
二、填空题
13．河南省民用电费标准为每度0.56元，电费y(元)与用电度数x的函数函数关系式为 ．
14．已知函数是正比例函数，则 ．
15．当m= 时，函数+3 是一次函数．
16．如果函数是反比例函数，那么k＝ ．
17．在平面直角坐标系中，点与点（是任意实数）的距离的最小值为 ．
三、解答题
18．已知点，，都在反比例函数的图象上，试比较a，b，c的大小．
19．在方格纸上建立适当的直角坐标系，并写出如图“六角形”6个角顶点的坐标．
20．已知一次函数的图像如图所示，直线与x轴的交点坐标是，利用函数图像回答：
(1)当取何值时，？
(2)当取何值时，？
21．如图，已知图中点和点的坐标分别为和．
(1)请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；
(2)写出点的坐标为________；
(3)连接、和得，在轴的负半轴有点满足，则点的坐标为________，________个平方单位；
22．某服装厂生产一种西装和领带西装每套定价200元，领带每条定价50元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案①：买一套西装送一条领带；方案②：西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该服装厂购买西装30套，领带x条.
（1）若该客户按方案①购买，需付款多少元？若该客户按方案②购买，需付款多少元 （用含x的代数式表示）
（2）当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算.
23．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求OC的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
24．为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动：
甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折；
乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）．
(1)请直接写出、与之间的函数表达式；
(2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由．
《第十七章函数及其图像》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A B A B B A A
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键．
根据当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限，由此即可求解．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限，
∴，
∴，
故选：D ．
2．B
【分析】根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断.
【详解】由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度增加，故弹簧的长度与所挂的物体的质量之间函数关系式为y=10+0.5x，
∴A，C正确；B错误；
所挂物体质量为x=时，弹簧长度y=10+0.5x=13cm,正确
故选B.
【点睛】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式.
3．A
【详解】点P（0，m）在y轴的负半轴上，
∴m＜0，
∴－m＞0，－m＋1＞0，
∴点M（－m，－m＋1）在第一象限；
故选：A
4．A
【详解】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的变化，注意小虫是沿横坐标爬行还是沿纵坐标爬行即可. 分析小虫的爬行路线即可得解．
解：从A（2，2），爬行到B（2，4），爬行了4-2=2个单位，
再爬行到C（5，4），又爬行了5-2=3个单位，
最后爬行到D（5，6），又爬行了6-4=2个单位，
所以小虫一共爬行了2+3+2=7个单位．
故选A．
5．B
【分析】本题考查了实际问题中的函数关系所表示的函数图象，熟练掌握函数图象与所表示的实际意义的关系是解题的关键．
【详解】解：依题意，0~20分钟去书店，离家的距离增加到900米，这段是正比例函数；
20~30分钟看书，离家的距离不变，是一段平行与x轴的线段；
30~45分钟返回家，离家的距离减少为0米．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据题意得y随x的增大而减小，即可知系数小于零，即可求得答案．
【详解】解：∵正比例函数图象上有两点、，当时，，
∴y随x的增大而减小，
∴，
结合选项只有在的范围内．
故选：A．
7．B
【分析】先求出A、B的坐标，然后求出AB的长，设MO=x，则MB=MC=8 x，结合勾股定理求解即可.
【详解】∵直线y= x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴y=0时,x=6,则A点坐标为：(6,0)，
x=0时,y=8,则B点坐标为：(0,8)；
∴BO=8，AO=6，
∴AB==10，
直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，
∴AB=AC=10，MB=MC，
∴OC=AC OA=10 6=4.
设MO=x，则MB=MC=8 x，
在Rt△OMC中,OM2+OC2=CM2，
∴x2+42=(8 x)2，
解得：x=3，
故M点坐标为：(0,3).
故选B.
【点睛】本题考查一次函数的图像，勾股定理，折叠的性质，根据勾股定理列出方程是关键.
8．B
【分析】设点N的坐标为，则点M的坐标为，由此可得出MN的长度，再利用三角形的面积公式可得出S△OMN=(m 1)2+2，从而得出答案．
【详解】解：设点N的坐标为，则点M的坐标为
∴，
∴S△OMN=MN m=m2 2m+3=(m 1)2+2，
∴当m=1时，△OMN面积最小，最小值为2．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用三角形面积公式找出S△OMN=(m 1)2+2是解题的关键．
9．A
【分析】根据A、B两点关于y轴对称，得到它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求出m和n的值，就可以得出结果．
【详解】解：∵点A和点B关于y轴对称，
∴，解得，
∴在第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查点坐标的对称，解题的关键是掌握点坐标对称的特点．
10．A
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变化规律，解题的关键在于理解“伴随点”变换的周期性．通过观察变换规律，可以发现每4次变换回到原点，利用这一点就可以通过余数运算确定任意给定点在周期中的位置，从而轻松找到其坐标．
【详解】解：对于点，其“伴随点”为．
根据这个规则，从出发：
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
由此可见，每经过4次变换，点的坐标会回到初始状态，形成一个周期循环．
由于，这意味着的坐标与的坐标相同，
因此，点的坐标即为的坐标．
故选：A．
11．C
【分析】
整个过程分三段：两人4分钟相遇；再过2分钟后甲到达B地；乙继续前进直到终点A地；根据图象则可判断①②；由图象知，甲6分钟到达终点，此时乙才行了全程的一半，则可以求出甲行驶的速度，从而可求得乙到达A地的时间，因而可对③④作出判断．
【详解】由图象知，两人出发时相距1200米，即A、B两地的距离是1200米，故①正确；
由图象知，两人出发后4分钟相遇，故②正确；
由图象知，甲6分钟到达B地，则甲的速度为1200÷6=200（米/分钟），故③错误；
由图象知，乙6分钟时距离出发地600米，时间是6分钟，则乙还有600米的路程，还需6分钟，共需6×2=12（分），故④正确；
综上所述，正确的有：①②④，共3个；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，从函数图象中获取有关信息、弄清运动过程是解题的关键．
12．C
【详解】根据已知条件,点A关于y轴的对称点A’为(－3,2),
设过AB的解析式为根据题意可得,
,解得,
其解析式为,
直线AB与y轴的交点是(0, －1),此点就是所求的点P,故选C.
13．
【分析】本题考查的是列函数关系式，根据总费用等于单价乘以数量可得函数关系式．
【详解】解：河南省民用电费标准为每度0.56元，电费y(元)与用电度数x的函数函数关系式为
，
故答案为：
14．3
【分析】本题考查正比例函数的定义，形如是常数，的函数叫做正比例函数，由此即可求解．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
∴，
∴．
故答案为：3．
15．0
【分析】根据一次函数的定义求解即可.
【详解】解：∵函数+3 是一次函数，
∴2m+1=1，
解得m=0.
故答案为0.
【点睛】本题主要考查一次函数的定义. 一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征：
（1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数．
16．1
【详解】∵函数是反比例函数，
∴，
解得：；
又，则，
所以k＝1．
故答案为：1
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，解题时，根据解析式的特点，令系数不等于0，次数为-1即可求解未知参数，比较容易，关键是构造不等式和方程，然后可求解判断．
17．4
【分析】根据可知：点A在直线上，根据垂线段最短，可知：当点A与点B的连线与直线垂直时，线段最短，据此即可作答．
【详解】根据可知：点A在直线上，
根据垂线段最短，可知：当点A与点B的连线与直线垂直时，线段最短，
∵与直线垂直，直线与x轴平行，
∴轴，
∴点A与点B的横坐标相等，
∴，
即点A与点B的最小距离为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离以及垂线段最短的知识，掌握垂线段最短是解答本题的关键．
18．
【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】因为，所以反比例函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
因为点，在第三象限，且，
所以，
因为点在第一象限，所以，所以．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．见解析，，，，，，．
【分析】以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立直角坐标系，然后根据直角坐标系写出6个角顶点的坐标即可．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则6个角顶点的坐标分别为，，，，，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，是开放型试题，答案不唯一，建立坐标系时，要考虑能方便表示点的坐标．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数图像与x轴交点的横坐标即为对应方程的解；
（2）直接根据函数图像写出对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴的交点坐标是
∴当取何值时，．
（2）解：∵
∴
∴由函数图像可得：当时，．
【点睛】本题主要考查了运用一次函数图像求方程的根、一次函数图像求不等式解集等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
(3)；
【分析】本题考查了直角坐标系、三角形的面积计算，能找到直角坐标系的原点、横纵坐标的正方向并画出直角坐标系是解答本题的关键．
（1）根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向即可得到答案；
（2）根据直角坐标的特点，即可写出的坐标；
（3）根据点在直角坐标系中的位置，先算出的面积，再根据三角形的面积公式即可算出答案．
【详解】（1）解：根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向，得到直角坐标系如下图：
（2）解：根据直角坐标系的特点，得到点的坐标为：，
故答案为：；
（3）解：画图如下：
根据点在直角坐标系中的位置，得到：，
假设点的坐标为，
，
又，
，
，
或，
在轴的负半轴，
，
故的坐标为，个平方单位，
故答案为：；．
22．（1）50x+4500；45x+5400．（2）当x=100时，按方案①购买合算．
【分析】（1）根据两种方案的优惠方法分别列式整理即可；
（2）把x=100代入代数式进行计算，然后选择方案即可．
【详解】解：（1）方案①：200×30+50（x-30）=50x+4500，
方案②：200×30×90%+50x×90%=45x+5400；
故答案为50x+4500；45x+5400．
（2）x=100时，
按方案①购买需付款50x+4500=50×100+4500=9500元，
按方案②购买需付款45x+5400=45×100+5400=9900元，
∵9500＜9900，
∴当x=100时，按方案①购买合算．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题目信息，理解两种优惠方案的优惠方法是解题的关键．
23．(1)点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）
(2)
(3)存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）
【分析】（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，即可求解
（2）OC=x，则AC=BC=4-x，在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题；
（3）分三种情形讨论：当PA＝PB时，当PA＝AB＝5时，当PB＝AB时，分别求解即可解决问题；
【详解】（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：当PA＝PB时，点P与点C重合，如图，
此时OP=OC=，
∴P（，0）；
当PA＝AB＝5时，如图，
∴OP1=AP1-OA=5-4=1，OP2=OA+AP2=4+5=9,
∴P（﹣1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，如图，
∵PB=AB，OB⊥AP，
∴OP=OA=4，
∴P（﹣4，0），
综上，存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）时，使△PAB为等腰三角形．
【点睛】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．(1)，
(2)该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少，见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键．
（1）依据题意，由甲乙商店的优惠方案可得，甲商店购买的费用；乙商店购买的费用，进而可以判断得解；
（2）依据题意，要使得乙商店购买的费用少，则，从而，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，甲商店购买的费用；
乙商店购买的费用．
（2）解：由题意，要使得乙商店购买的费用少，
．
．
．
又，
．
答：该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少．
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