第十九章矩形、菱形与正方形期末单元复习题（含解析）

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第十九章矩形、菱形与正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
3．下列选项中能使成为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
7．如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且．下列条件使四边形为菱形的是（ ）
A．BE⊥CE B．BF // CE C．BE=CF D．AB=AC
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为( )
A．2 B． C．3 D．
9．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线BD=24，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE的长为（ ）
A． B．10 C．12 D．
10．矩形具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．一条对角线平分一组对角 D．面积等于两条对角线乘积的一半
11．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE、DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是

14．如图所示，正方形的边长为4，以为边作等边三角形，，若正方形的对角线上有一动点M，则周长的最小值是 ．
15．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ．
16．如图，正方形ABCD中，AB=2，点E为BC边上的一个动点，连接AE，作∠EAF=45°，交CD边于点F，连接EF.若设BE=x，则△CEF的周长为 .
17．如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ．
三、解答题
18．小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱中沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？
19．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．
20．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，．
(1)求对角线长；
(2)求的长；
(3)求矩形面积．
21．在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的面积．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°．
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)连接CE，若CE，DE＝1，求AD的长．
23．如图，在中，为对角线，于点，交于点，交于点，连接，．请你探究当点满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
《第十九章矩形、菱形与正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A B C D B A B
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．
根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】四边形是菱形，
，
，
，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等；利用此性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：如图，
A、∵四边形是平行四边形，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了菱形面积的计算公式，勾股定理；根据菱形的面积和可以计算的长，在中，已知、根据勾股定理即可求得的值，即可解题．
【详解】解：菱形的面积，，，
，
，，
在中，
，
菱形的边长为，
故选：A．
5．B
【分析】连接作关于的对称点，连接，则，证明，可得，根据，勾股定理即可求得，即的最小值．
【详解】如图，连接作关于的对称点，则，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
的最小值为的长，
，
，
中
，
，
的最小值为
故选B
【点睛】本题考查了正方形的性质，线段和最值问题，添加辅助线将转化为是解题的关键．
6．C
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为； ；第n个正方形的边长为．所以，第6个正方形的边长．
【详解】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到正方形边长之间的倍关系是解题的关键．
7．D
【详解】试题解析：条件是AB=AC，
理由是：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD=DC，
∵DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
选项A、B、C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，
即只有选项D正确，选项A、B、C都错误；
故选D．
考点：菱形的判定．
8．B
【详解】连接DM，
则△ADM的面积为3，根据中点的性质可得：BM=1.5，在Rt△ABM中，根据勾股定理可得：AM=2.5，则根据等面积法可得：DE=3×2÷2.5=.
故选B.
9．A
【详解】试题分析：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD=12，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，
∴OA==5，∴AC=10，∵菱形的面积=AB CE=AC BD，
即13×CE=×10×24，解得：CE=．故选A．
考点：菱形的性质．
10．B
【分析】根据矩形的性质即可判断；
【详解】根据矩形的对角线相等，可知选项B正确，
故选B．
【点睛】考查矩形的性质、解题的关键是记住矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
11．B
【分析】根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到的长，求得，过Q作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到问题答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过Q作于H，

∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键．
12．D
【分析】A证明∠DAE=∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG=90°，便可判断正误；B证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED=EF，得∠EFD=∠EDF=∠CDF，得EFCD，便可判断正误；C由△AGF≌△AGD得AF=AD，便可判断正误；D证明EF=ED=，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断正误．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=∠BDC=45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠DAF+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，即AG⊥DF，
故A结论正确；
在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF=GD，
∵AG⊥DF，
∴EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF=∠CDF，
∴EFCDAB，
故B正确；
∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD=AF=AB，故C正确；
∵EFAB，
∴∠OEF=∠ABO=45°，
∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴EF=ED=OE，
∴，
∴OB=（1+）OE，
故D错误．
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．
13．对角线互相垂直且相等
【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
故答案为：对角线互相垂直且相等．
14．
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质及轴对称最短距离和问题，根据等边三角形及正方形得到及当A，M，E三点共线时，取得最小值代入求解即可得到答案；
【详解】∵为等边三角形，
∴，
连接，
∵，又长为定值，
∴周长的最小值在最小时取得，
又∵正方形的对角线所在的直线是它的一条对称轴，
∴点A与点C关于对称，
∴，
故，
∴当A，M，E三点共线时，取得最小值，时，，
∴周长的最小值为．
故答案为：
15．（0，）
【详解】解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠COA=90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD=DE，
由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2，
∴OA=AE=4，
由勾股定理得：AC=5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2，
即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2，
解得：OD=，
所以D的坐标为（0，）．
考点：矩形的性质；坐标与图形性质．
16．4
【分析】先根据正方形的性质得，，把绕点顺时针旋转可得到，接着利用“”证明，得到，然后利用三角形周长的定义得到的周长，由此即可解决问题.
【详解】
四边形为正方形，
，，
把绕点顺时针旋转可得到，
，，，，
点在的延长线上，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
而，
，
的周长.
故答案为：.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
17．矩形
【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵分别平分，
∴，即．
同理可证，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
18．不一定，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等．
【分析】根据正方形的判定定理求解即可．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形．
【详解】不能认为小颖买的这块纱巾一定是正方形．
∵菱形也满足要求，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等．
【点睛】此题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形．
19．(1)见解析
(2)四边形ABCD的面积为
【分析】（1）先证明，，再证明，证明四边形AMCN是平行四边形， 再证明，从而可得结论；
（2）证明，，再利用四边形ABCD的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵对角线BD上的两点M、N满足，
∴，即，
∴四边形AMCN是平行四边形，∴，
∵，∴，
∴四边形AMCN是矩形
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵AB⊥AC，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴四边形ABCD的面积为．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练的运用矩形的判定定理解决问题是关键．
20．(1)12
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质先得出，进而得出是等边三角形，即可得出答案；
（2）根据勾股定理即可得出答案；
（3）根据矩形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
矩形对角线．
（2）解：在中，，，由勾股定理，得．
（3）解：矩形的面积．
21．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
．
，
．
在和中，
，
；
，
；
（2）解：，
，
，
，
四边形的面积．
22．(1)证明见解析；
(2)3
【分析】（1）根据角平分线及平行四边形的性质得出∠ABC=90°，利用矩形的判定定理即可证明；
（2）连接CE，由勾股定理及等角对等边得出AB=AE=2，结合图形即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：连接CE，
∵，DE=1，
∴，
∴AB=2，
由（1）可知∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=2，
∴AD=2+1=3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及矩形的判定，角平分线的定义，勾股定理解三角形及等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23．当点是的中点时，四边形是菱形．理由见解析.
【分析】当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形；根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据全等三角形的判定和性质求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：当点是的中点时，四边形是菱形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据已知条件证明和全等即可得出答案．
（2）由平行四边形的面积公式求出，然后即可得出答案．
【详解】（1）四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．
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