第五章图形的轴对称期末单元复习题（含解析）

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第五章图形的轴对称
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如下图所示，四边形与四边形关于直线对称，若点到直线的距离为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．下列英文字母中，经轴对称变换后形状不发生变化的是（ ）
A． B． C． D．形状都不变
3．若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60度，那么这个三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．含有120度角的等腰三角形
C．等边三角形 D．含有60度角的直角三角形
4．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
5．如图，直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，则下列说法一定正确的是（　　）
A．， B．
C．， D．
6．下面是常见的化学仪器简易平面图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ）

A．1种 B．3种 C．5种 D．7种
8．如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
10．下列说法中，正确的有（ ）
①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线；
②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线；
③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线；
④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴．
14．如图，在中，，D是上一点，，E是上一点，，则为 度．
15．如图是的正方形网格，要在图中再给一个小正方形涂色，使得图中涂色部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个．
16．如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
17．如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是 度．
三、解答题
18．作出下列轴对称图形的一条对称轴．
19．如下图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点．若，求的面积．
20．如图，平分，，求证：．
21．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，．
①若，求和的度数．
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
22．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称．
(1)的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使．
23．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
24．如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点，若，．
(1)求证：平分；
(2)如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求．
《第五章图形的轴对称》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C D B C A B
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
由轴对称的性质可知，点与点到直线的距离相等，于是得解．
【详解】解：点与点是关于直线的对称点，
两点到直线的距离相等，
，
故选：．
2．B
【分析】此题考查了轴对称， 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称，据此判断即可求解，掌握轴对称的定义是解题的关键．
【详解】解：经轴对称变换后形状不发生变化的是，
故选：．
3．C
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【详解】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．
4．D
【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论．
【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到，
∴，，垂直平分，，
故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，即可作出判断．
【详解】∵直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，
∴，．
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示，

一共有3种涂法，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，，A、B正确，不符合题意；
∴是线段的垂直平分线，
∴，D正确，不符合题意；
在，是斜边，是直角边，，
∴C错误，符合题意．
故选：C．
9．A
【分析】过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确
【详解】解：过E作于F，如图，

∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，，故③错误；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，故①正确．
因此正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下3个方向（【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】）培养对知识点的理解、应用能力．
10．B
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断．
【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误；
②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误；
③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确；
④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，
则，
∴点在线段、的垂直平分线上，
即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔，
选项B符合题意．
故选：B．
12．A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．
13．垂直平分线（或中垂线）
【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解．
【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分，
∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
故答案为：垂直平分线（或中垂线）．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．
【详解】解：由三角外角的性质得∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＋∠BAD＝∠EDC＋∠C＋∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠BAD＝40°，
∴∠EDC＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】此题考查的知识点是等腰三角形的性质，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
15．5
【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此画图求解即可．
【详解】解：由轴对称图形的定义可涉及图形如下：
∴一共有五个小正方形满足题意，
故答案为：5．
16．5
【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
全等三角形共有5对，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
17．
【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF=∠EFB，图2中根据图形折叠的性质得出∠EFB的度数，从而求得∠GFC的度数，图3中根据∠CFE=∠GFC-∠EFB，再由∠CFG＝∠CFE+∠EFB即可得出结论．
【详解】∵AD//BC，，
∴∠EFB，
在图②中，∠CFG＝180゜－2∠EFB=180゜，
在图③中，∠CFE=∠GFC-∠EFB＝180゜，
又∵在图③中，∠CFG＝∠CFE+∠EFB，
∴∠CFG＝180゜+∠＝．
故答案为：．
【点睛】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
18．
【分析】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的特征，作一个图形的对称轴时，可连结两个对称点，对称轴就是对称点连线的垂直平分线，解决本题的关键是熟记轴对称图形的定义．
依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．
【详解】解：如图所示，
．
19．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点O分别作于点M，作于点N，连接，根据角平分线性质，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：如图，过点O分别作于点M，作于点N，连接，如图所示：
因为和的平分线分别是，
所以，
因为，
所以．
20．见解析
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，再根据角平分线的定义可得∠1=∠2，故可得出结论．
【详解】解：∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等是解答此题的关键．
21．(1)
(2)①，；②
【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．
（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案；
（2）①根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案．
②由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，由翻折的性质得：，
．
四边形是长方形，
，，
，，
．
（2）解：①如图2，，
，
，
．
由翻折的性质得：，
，
．
继续沿进行第二次折叠，
，
．
②如图3，
，
．
由翻折得，
，
．
继续沿进行第二次折叠，
，
．
，
，
，
．
，
．
22．(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）在如图所示的网格中作出对称轴即可；
（3）在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：如图，直线即为所求作；
（3）解：如图，即为所求作．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，画对称轴，三角形全等的判定，画出直线、射线、线段等知识点，熟练掌握轴对称的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
23．∠B=∠CAF，理由见解析
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质解答．
【详解】解：∠B=∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠CAF．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．(1)证明过程见详解
(2)1
【分析】（1）由外角的性质可得，，可得结论；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）如图2，连接，过点作于，
由（1）可知平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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