第一章三角形的证明期末单元复习题（含解析）

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第一章三角形的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
3．若的三边a、b、c满足，则是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为（ ）

A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
6．如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．点A到直线的距离为2 D．
7．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ）
A． B．a∶b∶∶2∶ C．，， D．，，
8．如图，将沿AC所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，点在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（　　）
A．4 B． C． D．
10．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角∠的度数为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，有下面四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④到AE，AF的距离相等的点到DE，DF的距离也相等．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
13．如图，在中，直平分，，，则的周长为 ．
14．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为 ．
15．如图，在中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝ ．
16．已知：如图，点E，F是等边的边，上的动点，且，连接与交于点G．
（1） ；（填“全等于”或“不全等于”）
（2）的度数是 °．
17．如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为 ．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线MN，交AB于D；
（2）在（1）的条件下，连结CD，求△BCD的周长．
19．尺规作图：已知：线段a，b．
求作：
（1）△ABC，使AB=AC=a，BC=b；
（2）作△ABC的对称轴．要求：不写作法，只保留作图痕迹．
20．作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。

21．如图，在中，，于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：．

22．如图，已知∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，DG交BC的，延长线于G，∠CFE＝∠AEB
（1）若∠B＝87°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由；
（3）若∠DAB＝α，∠DGC＝β，直接写出α、β满足什么数量关系时，AE∥DG．
23．（1）已知如图所示，在四边形ABCD中，，，，BD平分．求证：．
（2）如图所示，D，E，F分别是的三边上的点，，和的面积相等，求证：AD平分．
24．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
(1)若，求的大小．
(2)连接MB，若，的周长是．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
《第一章三角形的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B B C A D B
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°-25°=65°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假.
【详解】A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；
B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；
C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；
D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；
故答案为D
【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.
3．D
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状．
【详解】解： ，
或，
当成立时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
故选：D．
4．D
【分析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
5．B
【详解】∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠DFC=35°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°.
∵在Rt△BDE与△Rt△CFD中BE=CD，BD=CF，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD，
∴∠BDE=∠CFD=35°.
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=55°.
故选B.
6．B
【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解．
【详解】解：由图可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
设点A到直线的距离为h，
∴，
∴，
综上可知只有B选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据勾股定理的逆定理检验其中两边的平方和是否等于第三边的平方即可．
【详解】解：A、∵b2=（a+c）（a-c），
∴b2=a2-c2，
∴b2+c2=a2，
∴能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵a：b：c=1：2：，
∴设a=x，则b=2x，c=x，
∵x2+（x）2=（2x）2，
∴能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵a=32，b=42，c=52，
∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，
∴不能构成直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵a=6，b=8，c=10，
62+82=36+64=100=102，
∴能构成直角三角形，故选项D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
8．A
【分析】由翻折的性质可得，，再根据角的和差解答即可．
【详解】解：由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
9．D
【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．
【详解】如图，连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
10．B
【分析】构造直角三角形，利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可．
【详解】解：如图，由题意知：垂直于．

在中，
在中，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，构造直角三角形是解决本题的关键．
11．D
【分析】　根据角平分线的性质和三角形全等的判定和性质可以得到解答．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，∴DA平分∠EDF；∴①②正确；
如图，设G为AD上任一点，则G到AE，AF的距离相等，过G分别作GM⊥ED于M，GN⊥DF于N，连结BG、CG，
∵在△ABG和△ACG中，，
∴△ABG≌△ACG，∴BG=CG，∴③正确，
又在△DMG和△DNG中，，
∴△DMG≌△DNG，∴GM=GN，∴④正确，
∴①②③④都正确，
故选D．
【点睛】本题考查角平分线和三角形全等的综合运用，灵活运用角平分线的性质及三角形全等的判定和性质是解题关键．
12．D
【分析】证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．
【详解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正确，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．
【分析】先根据垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式和等量代换可得的周长等于即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长等于．
故答案为：．
14．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，B′D即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了最短路径问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可．
15．
【详解】此题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和角的计算；由已知得到：，且BD为∠ABC的平分线,所以，所以
16． 全等于
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据等边三角的性质，得出，，进而利用证明；
（2）根据全等三角的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中
∴，
故答案为：全等于；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17．5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∠ADB=∠ADC=90°，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，
∴AD2+BD2=25=AB2，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BD=4，
∴在Rt△ADC中，，
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、线段中点有关计算，利用勾股定理的逆定理证得∠ADC=90°是解答的关键．
18．（1）见解析；（2）△BDC的周长为12.
【分析】（1）根据要求画出点D即可．
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=8，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB=4，
∵MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴△BDC的周长为12．
故答案为（1）见解析；（2）△BDC的周长为12.
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先作线段BC=b，在分别以B、C两点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点A，再连接AB、AC，则三角形ABC满足条件；
（2）作线段的垂直平分线可得其对称轴.
【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，作线段的垂直平分线 则直线AD即为所求．
【点睛】本题考查的是的等腰三角形的作图，线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的三线合一与对称轴”是解题的关键.
20．见解析
【分析】根据题意得出，点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点，进而得出即可．
【详解】如图所示，画法如下：
（1）作∠AOB的角平线OC；
（2）连结MN，画线段MN的垂直平分线，与OC交于点P，则点P为符合题意的点．

【点睛】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
21．（1）48°；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，于点D，
∴，，
又，
∴；
（2）∵，于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．（1）∠DCG＝87°；（2）AD∥BC，理由见解析；（3）当α＝2β时，AE∥DG．理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DCG=∠B=87°；
（2）由平行线的性质得到∠BAF=∠CFE，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠FAD，等量代换得到∠DAF=∠CFE，∠DAF=∠AEB，由平行线的判定即可得到结论；
（3）根据平行线的判定定理得到∠DAF=∠AEB，根据角平分线的定义得到∠DAB=2∠DAF=2∠AEB，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝87°；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠DAF＝∠CFE，
而∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC；
（3）当α＝2β时，AE∥DG．理由：
若AE∥DG，则∠G＝∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，
即当∠BAD＝2∠G时，AE∥DG．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点D作，垂足为E，利用角平分线性质得出DE=DC，再证明在和全等，得出，即可得出结论；
（2）过点D分别作，，垂足为G，H，利用面积相等，得出DG=DH，即点D在的平分线上，进而得出结论．
【详解】（1）如图所示，过点D作，垂足为E．
平分，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
（2）过点D分别作，，垂足为G，H．
和的面积相等，
．
，．
点D在的平分线上．
平分．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及全等三角形的判定及其性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
24．(1)
(2)，当P点和M点重合时，最小且最小值为8cm
【分析】（1）根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质有，即根据的周长可以求出，问题得解；根据垂直平分线的性质可知当P与M点重合时，有最小值，最小值为AC，问题得解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
存在，即P与M点重合时，有最小值，
即：P与M点重合时，
∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∴，
∵点P与M点重合，
∴A、P、C三点共线，
∴，
∴根据两点直线线段最短，可知此时有最小值，最小值为AC，
∵，，
∴最小值为，
即：当P点和M点重合时，最小且最小值为8cm．
【点睛】本题考查已知等腰三角形性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短以及三角形内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
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