第六章平行四边形期末单元复习题（含解析）

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第六章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．一个四边形四个内角的度数之比为 ，则该四边形最小内角的度数为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
3．如图，在四边形中，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将(　　)
A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
5．如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，，对角线、相交于点、分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的横坐标为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．1
7．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=AD，BC＝3AE， 则∠BAD等于 （ ）
A．120° B．135° C．130° D．不能确定
8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A．124° B．114° C．104° D．56°
9．不能作为正多边形的内角的度数的是( )
A．120° B．108° C．144° D．145°
10．如果一个正多边形的每个外角是，则这个正多边形的对角线共有（ ）条．
A．8 B．9 C． D．
11．如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，若，，则EF的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
12．如图，折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若ABCD的面积是8，则下列结论中正确的是（ ）
A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
二、填空题
13．如图，，，，，都在上.（1）图中圆内接四边形的外角是 ；（2）的内对角是 .
14．如图，顺次连接四边形四边的中点，则四边形的形状一定是 ．
15．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则＝ ．
17．在①矩形、②菱形、③正方形、④平行四边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　 （填序号）．
三、解答题
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF．
19．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点M是边AD上的点，连接MB，MC，点N为BC边上的动点，点E，F为MB，MC上的两点，连接NE，NF，且∠BNE＝∠CMD，∠BEN＝∠NFC．求证：四边形MENF为平行四边形．
21．求出下列图中的x值．
22．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．

(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
23．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
24．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当时时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
《第六章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C A C B A D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为：．
故选：D．
2．D
【分析】根据题意：可设这四个内角分别为：x，x， ，x，再根据四边形的内角和为 ，可求出x的值，即可求解．
【详解】解：根据题意：可设这四个内角分别为：x，x， ，x，
∵四边形的内角和为 ，
∴ ，
解得：
∴最小内角的度数为： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
故选：B．
4．C
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，
n+1边形的内角和是（n﹣1） 180°，
因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1） 180°﹣（n﹣2） 180=180°．
故选C．
5．A
【分析】本题考查平行线间距离，三角形和四边形平移性质，平行四边形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，，，，
∴四边形和四边形均为平行四边形，
∴，，，，
∴向右平移即可得到，
∴，
∵平行四边形和平行四边形有公共边和公共的高，
∴，
∴①②③④都正确，
故选：A．
6．C
【分析】连接，根据作图得到垂直平分线段，从而得到，设，在中利用勾股定理列出方程得出，即可得出点的横坐标
【详解】∵四边形是平行四边形，∴为对角线中点，
由作图可知，垂直平分线段，
连接，则，
延长交轴于点，则轴，
∵，，平行四边形
∴OC=AB=6，AM=2，OM=4
设，则，
在中，有，
解得，，
∴ME=3
∴点的横坐标为3．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，勾股定理，得出AE=1是解本题的关键．
7．B
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD=AE，∴四边形AEFD为正方形，∴AD=EF．
∵AD=AE，BC=3AD，∴BE=AE=EF=FC，∴∠B=45°，∴∠BAD=135°．
故选B．
8．A
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
9．D
【详解】试题分析：设边数为n（n为大于等于3的整数），根据正多边形各个内角相等和多边形的内角和公式建立方程，求出n，进行判断即可．
A、（n－2） 180＝120 n，解得n＝6，所以A选项错误；
B、（n－2） 180＝108 n，解得n＝5，所以B选项错误；
C、（n－2） 180＝144 n，解得n＝10，所以C选项错误；
D、（n－2） 180＝145 n，解得n＝，不为整数，所以D选项正确．
故选D．
10．B
【分析】本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为，并且正多边形的每一个外角都相等．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=，进而求得多边形的对角线条数．
【详解】解：这个正多边形的边数：，
则对角线的条数是：，
故选：B．
11．A
【分析】根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可证：AE=AB=3，
∴AF=DE
∵AD=4，
∴AF=4-3=1，
∴EF=4-1-1=2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
12．C
【分析】根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得，，从而证明四边形AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得；设点E到BG的距离为，结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，
∴，，，四边形面积=四边形面积
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即选项B不正确；
∴
∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形面积=四边形面积
∴四边形面积=+四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，ABCD的面积是8
∴，即
∵点E在AD边上
∴四边形BCDE面积，即
∴，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵四边形面积
∴四边形面积
∴，即
∴
∴，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
13． （1）∠DBG； （2）∠AED.
【分析】根据圆内接四边形外角的定义和内对角的定义即可得到答案.
【详解】由图可知，根据圆内接四边形外角的定义可得图中圆内接四边形的外角是为∠DBG；因为的邻补角为，所以的内对角是∠AED.
【点睛】本题考查圆内接四边形外角的定义和内对角的定义，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形外角的定义和内对角的定义.
14．平行四边形
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，由三角形中位线的性质可得一组对边平行且相等，再根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】如图，连接，
∵分别是四边形边的中点，
∴,
∴且
∴四边形是平行四边形,
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．6
【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
16．3
【分析】过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．
【详解】解：过点A作AE∥DC交CB于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，DC＝AE，∠BCD＝∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∵S1＝AB2，S2＝AD2＝BE2，S3＝DC2＝AE2，
∵S1+S3＝4S2，
∴AB2+DC2＝AB2+AE2＝4AD2＝BE2，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．
17．①②③
【详解】矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形．　
故答案为：①②③
18．见解析
【分析】可证明ABECDF，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，ABCD
∴∠BAC=∠DCA
∵BEAC于E，DFAC于F
∴∠AEB=∠DFC=90°
在ABE和CDF中 ，
∴ABECDF（AAS）
∴AE=CF
【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
20．证明见解析
【分析】只需要分别证明ENMC，NFMB，即可证明四边形MENF为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠MCB＝∠CMD，
∵∠BNE＝∠CMD，
∴∠BNE＝∠MCB，
∴ENMC，
∴∠NFC＝∠ENF，
∵∠BEN＝∠NFC，
∴∠BEN＝∠ENF，
∴NFMB，
∴四边形MENF为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
21．65;60.
【分析】先求出多边形的内角和，然后再利用方程求得未知数的值.
【详解】解：由四边形的内角和为360°，
则有：150°+80°+2x°=360°，解得x=65
由五边形内角和为：180°×（5-2）=540°，
则有：3x°+160°+90°+110°=540°，解得x=60
故答案为:65，60.
【点睛】本题考查了运用多边形内角和定理求多边形的内角的大小，解题关键在于求得多边形内角和，即多边形内角和=180°×（n-2）（n为多边形的边数）.
22．(1)105°
(2)β-α=90°
(3)BE∥DF，理由见解析
【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；
（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），
∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，
∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，
∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC
=360°－（∠ABC+∠ADC），
=α+β
=105°；
（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正确）．
理由：如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，
∴（α+β）+180°-β+45°=180°，
∴β-α=90°．
故答案为β-α=90°（或α－β=－90°等均正确）；
（3）解：BE∥DF．
理由：如图2，过点C作CP∥BE，

则∠EBC=∠BCP，
∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，
由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，
∵α=β，
∴∠MBC+∠NDC=2β，
又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，
∴∠EBC+∠FDC=（∠MBC+∠NDC）=β，
∴∠FDC=β－∠EBC，
又∵∠DCP=β－∠EBC，
∴∠FDC=∠DCP，
∴CP∥DF，
又CP∥BE，
∴BE∥DF．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．
23．详见解析
【分析】利用一组对边平行且相等得到四边形BDCE是平行四边形，然后利用对边平行得到两组角相等，进而整理到∠CDF=∠CMD，进而得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ABDC．
又∵BE=AB，
∴BEDC，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∴DC∥BF，BD∥CE，
∴∠CDF=∠F，∠BDM=∠DMC．
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F．
∴∠CDF=∠CMD，
∴CD=CM．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．当证明两条在一个三角形中的边相等时，通常是利用等角对等边来进行证明．
24．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由可得，可得，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解；
②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）①如图2，过点D作点N，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如图，过点H作于点M，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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