第五章一元一次方程期末单元复习题（含解析）

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第五章一元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子是方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子不是方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．元旦期间某商场进行促销活动，一件进价为160元的衬衫打八折销售后仍可获利进价的．设这件衬衫的标价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列方程中解是x＝2的是（　　）
A．2x﹣2＝1 B．3﹣x＝x﹣1 C．x﹣1＝x D．4＝7x﹣2
5．一元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
7．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
9．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（ ）
A． B． C． D．
11．甲队有28人，乙队有20人，现从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍.依题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程 ．
14．今年小宇15岁，小亮12岁，( )年前，小宇和小亮的年龄和是15．
15．已知，则x的值为 ．
16．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行．
17．某水果商三月份销售苹果、草莓、榴莲三种水果的销量之比，苹果、草莓、榴莲三种水果的单价之比为．四月份水果商家加大了宣传力度．预计三种水果的营业额都会增加．其中苹果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为，为使四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，则四月份榴莲增加的营业额与四月份三种水果总营业额之比为 ．
三、解答题
18．某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？
19．某商场在“春节”黄金周投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八折出售．这样，500箱矿泉水在“春节”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
20．解方程
(1)x﹣2＝1﹣x
(2)
21．目前南宁市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下：
收费标准
级别 每年每户用气量（单位：立方米） 气价（单位：元/立方米）
第一档 360及以下 2.8
第二档 超过360但不超过600的部分 3.3
第三档 超过600的部分 4.2
(1)若小王家全年用气量为450立方米，则需要缴纳的费用是多少元？
(2)若小王家全年缴纳的费用为1140元，则全年用气量是多少立方米？
(3)最新政策：如果家庭人口超过4人则可以申请“多人口家庭”，若审核通过，每增加1人，相应增加第一、第二档年用气量60立方米，小李家有6口人，若全年用气量为660立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省多少元？
22．为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
(1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；
(2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．
23．某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分
报销比例标准 不予报销
(1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元．
(2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？
(3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
24．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；
(2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
《第五章一元一次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D D B B C D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案．
【详解】解：∵不是等式，
∴A选项不是方程，
∵不是等式，
∴B选项不是方程，
∵是代数式，没有等号，
∴C选项不是方程，
∵符合方程的定义，
∴是方程，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查的是方程的定义，方程是含有未知数的等式．依据方程的定义求解即可．
【详解】解：A、是方程，故不符合题意；
B、是方程，不符合题意；
C、是代数式，不是方程，故符合题意；
D、是方程，故不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设这件衬衫的标价为x元，根据利润实际售价进价列出方程求解即可．
【详解】解：设这件衬衫的标价为x元，
由题意得，，
故选：C
4．B
【分析】分别求出选项中方程的解即可进行判断．
【详解】解：A、解方程2x﹣2＝1得：，不符合题意；
B、解方程3﹣x＝x﹣1得：x＝2，符合题意；
C、解方程x﹣1＝x得：，不符合题意；
D、解方程4＝7x﹣2得：，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
5．D
【分析】根据解一元一次方程的步骤解方程即可．
【详解】移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟记一元一次方程的解法是解题的关键．
6．D
【分析】根据数轴上点A，B表示的数互为相反数，可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数，
∴可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ，
∵AB＝4，
∴ ，解得： ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案．
【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得：
；
故选B．
8．B
【分析】设乙第一次追上甲用了分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，再根据可得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
【详解】解︰设乙第一次追上甲用了分钟，
由题意得∶，
解得∶，
而．
所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点处．
故选∶．
9．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设应调往甲处人，
由题意可得，，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度．
【详解】解：，
可以设，，，
而、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
的长为．
故选：D．
11．D
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意设甲队人数为人，则乙队人数为人，列出方程即可得到答案．
【详解】解：设甲队人数为人，则乙队人数为人，
由题意得：．
故选D．
12．C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
13．
【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，考查学生归纳推理的能力，属于初中基础题．
根据题意以人数为等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意，设有x辆车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，所以有人，
若每2人共乘一车，余9个人无车可乘，所以有人，
所以方程为，
故答案为：．
14．6
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设x年前，小宇和小亮的年龄和是15，则设x年前，小宇和小亮的年龄分别为岁，岁，再根据年龄之和为15，列出方程求解即可．
【详解】解：设x年前，小宇和小亮的年龄和是15
由题意得，，
解得，
所以6年前，小宇和小亮的年龄和是15，
故答案为：6．
15．8或2/2或8
【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或2．
故答案为：8或2．
16．2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，
解得：t=2；
当时，，
解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．/1∶3
【分析】根据三种水果的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售的数量和单价分别为2a、a、a；b、3b、4b，则四月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售额比为2：3：4．因问题中涉及到苹果的三月销售数量，因此可以设四月份苹果增加的营业额为4x，则四月份总增加的营业额为15x；再根据苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为1：4，建立等式，求出x．可以根据四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，算出四月份榴莲增加的营业额即可求解．
【详解】解：三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售的数量和单价分别为2a、a、a；b、3b、4b，
∴三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售额分别为2ab，3ab，4ab；
∵苹果增加的营业额占总增加的营业额的，
∴设四月份苹果增加的营业额为4x，则四月份总增加的营业额为15x；
又苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为，
∴（4x+2ab）：（15x+9ab）=，
解得x=ab，
∴四月份苹果的营业额为6ab，三种水果总营业额为24ab，
∴草莓、榴莲的营业额之和为18ab，
若四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，
则草莓、榴莲的营业额分别为6ab，12ab；
∴榴莲增加的营业额为12ab－4ab=8ab，
∴四月份榴莲增加的营业额与四月份总营业额之比为8ab：24ab=．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；重点是假设未知数，求得榴莲增加的营业额是解题的关键．
18．原计划40天完成任务．
【分析】设原计划x天完成任务，利用“订货任务的数量”作为相等关系列方程求解．
【详解】解：设原计划x天完成任务，
由题意得：20x+100=23x-20，
解得：x=40，
答：原计划40天完成任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
19．(1)商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱
(2)3600元
【分析】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水箱，由题意得可列出关于x的方程，解出x的值，即可求解；
（2）由题意直接列出算式计算即可．
【详解】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水箱，
由题意得：
解得：．
．
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）由题意可得：（元）．
答：该商场可获得利润3600元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
20．(1)x=1.5
(2)x=1
【分析】（1）按照移项，合并的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：x-2=1-x，
移项得：x+x=1+2，
合并得：x=1.5；
（2）
解：去分母得：2(2x 2)+6=3(x+1)，
去括号得：4x 4+6=3x+3，
移项得：4x 3x=3+4 6，
合并得x=1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
21．(1)元
(2)400立方米
(3)114元
【分析】（1）分两部分计费，360立方米的部分的单价为每立方米元，超过部分90立方米的单价为每立方米元，再利用单价乘以数量即可；
（2）先判断小王家全年用气量大于360立方米，小于600立方米，设小王家全年用气量为立方米，列方程为 再解方程即可；
（3）先按老政策计算小李一家应缴费为元，再按新政策，小李一家应缴费为元，从而可得答案.
【详解】（1）解：小王家全年用气量为450立方米，应缴费为：
所以小王家全年缴费为元.
（2）解： 当用气600立方米时，缴费为：
元，
而
所以小王家全年用气量大于360立方米，小于600立方米，
设小王家全年用气量为立方米，则
整理得：
解得：
答：小王家全年用气量400立方米.
（3）解：按老政策小李家庭应缴费为：
元，
新政策后，小李家有6口人，第一档，第二档各增加120立方米，
小李一家应缴费为：
元，
所以小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省元.
【点睛】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键.
22．(1)七年级52人，八年级40人
(2)两个年级一起买91套时最省钱
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思维是解题关键．
（1）设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可；
（2）分别计算：①两个年级单独买、②两个年级一起买82套、③两个年级一起买91套的总花费，即可判断；
【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人，
∵七年级人数超过46但不足90人，
（2）∴八年级人数不足46人，
∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元，
∵两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，
∴，
解得：，
∴，
∴七年级52人，八年级40人；
解：由题意得：七年级参加合唱比赛的人为（人），
八年级参加合唱比赛的人为40人，设总花费为y，则：
①两个年级单独买时：（元），
②两个年级一起买82套时：（元），
③两个年级一起买91套时：（元），
∵，
∴两个年级一起买91套时最省钱．
23．(1)2450；9050；
(2)
(3)元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据所给报销标准列式计算即可；
（2）根据所给报销标准列式计算即可；
（3）设该农民当年实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：元，元，
故答案为：2450；9050；
（2）解：元，
∴按照标准报销的金额为元；
（3）解：设该农民当年实际医疗费为y元，
∵，
∴，
∴，
解得，
答：该农民当年实际医疗费为元．
24．(1)8；2
(2)当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；
(3)在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或
【分析】（1）分别求出当t＝2及t＝12时，P、Q对应的数，再利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）分别求出运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，然后根据数轴上两点距离公式列出方程求解即可；
（3）分当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，两种情况同（2）列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当t=2时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，
∴；
当t=12时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，
∴；
（2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，
∵PQ=5，
∴，
∴，
∴t-10=5或t-10=-5，
∴t=15或t=5，
当t=5时，-10+2t=0，
当t=15时，-10+2t=20，
∴点Q对应的数为0或20，
∴当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；
（3）解：由题意得，
∵，
∴点Q从A运动到B需要15秒，从B运动到A也需要15秒
∴当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，
当时，
∵PQ=8，
∴，
∴，
∴t-10=8或t-10=-8，
∴t=2或t=18（舍去）；
当时，
∵PQ=8，
∴，
∴，
∴3t-50=8或3t-50=-8，
∴或t=14舍去）；
综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程，熟知数轴上两点距离的表示方法是解题的关键．
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