广东省深圳市大望学校2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试卷
1．（2025九下·深圳期中）2025的倒数是（ ）
A．-2025 B． C． D．2025
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2025的倒数是 ：
故答案为：C.
【分析】 倒数的定义是：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 根据2025×=1，即可得出答案。
2．（2025九下·深圳期中）下列车标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】 中心对称图形的定义是图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合。因此，需要逐一分析每个选项的车标是否符合这个条件，即可得出答案。
3．（2025九下·深圳期中）2024年深圳GDP总量约3.9万亿元，将数据3.9万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3.9万亿=3.9 × 1万亿 = 3.9 × 1012 。
故答案为：A.
【分析】首先理解 “万亿”单位对应的10的幂次（1012）， 再根据科学记数法的规范写法，即可得出答案。
4．（2025九下·深圳期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：a3+a2无法进行合并，所以A不正确；
B：（a-b)2=a2-2ab+b2，所以B不正确；
C：（a3）3=a6，所以C不正确；
D：，所以D计算正确。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可判定A不正确；根据乘法计算公式可得B不正确；根据幂的乘方可得C不正确；根据合并同类二次根式可得D正确，即可得出答案。
5．（2025九下·深圳期中）2025年春节档某影城上映了三部电影：《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》和《重启末来》，若小明和小亮分别从这三部影片中随机选择一部观看，则这两人选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》和《重启末来》分别记为A，B，C.
树状图分析如下：
所以两人选择的影片相同的概率为：P=。
故答案为：B.
【分析】用树状图分析所有机会均等的结果共有9种，其中小明和小亮选择影片相同的情况有3种，根据概率计算公式，即可得出答案。
6．（2025九下·深圳期中）如图，在Rt中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；余角
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知：AD平分∠BAC，DE垂直AB于点E，
∴B正确；
又，
∴DE=DC（即C正确），
∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC(即D正确）
根据尺规作图，不能得出DA=DB，
∴∠BAD不一定等于∠B（即A不一定正确）
故答案为：A.
【分析】首先根据尺规作图的痕迹得出AD平分∠BAC，DE垂直AB于点E，进而可得出B正确；再根据角平分线的性质以及余角的性质可得出C正确，D正确，A不一定正确，即可得出答案。
7．（2025九下·深圳期中）甲乙两地相距380km，新的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了2h．若设原来的平均速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 若设原来的平均速度为，根据题意：
即
故答案为：C.
【分析】若设原来的平均速度为，则 速度提升后 为x+30%x，然后根据 从甲地到乙地的时间缩短了2h ，即可得出方程，故而得出答案。
8．（2025九下·深圳期中）某公司准备从大楼点处挂一块大型条幅到点，公司进行实地测量，工作人员从大楼底部点沿水平直线步行40米到达自动扶梯底端点，在点用仪器测得条幅下端点的仰角为；然后他再沿着坡度长度为50米的自动扶梯到达扶梯顶端点，又沿水平直线行走了80米到达点，在点测得条幅上端点的仰角为，F，G在同一个平面内，且C，D和A，B，F分别在同一水平线上），则GE的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据）
A．188.5米 B．178.5米 C．167.3米 D．189.3米
【答案】D
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN。
设DM=4x，AM=3x， 则：AD= 5x=50 ，解得：x=10，
∴ DM=40米，AM=30米，
∵FM = AF + AM = 40米 + 30米 = 70米，
∴DN=FM=70米，
∵CD=80米，
∴ CN = CD + DN = 80米 + 70米 = 150米，
在Rt△CGN中，tan50°≈1.19，GN = CN·tan50° ≈150×1.19=178.5米 ，
GF = GN + NF = 178.5米 + 40米 = 218.5米 ，
在Rt△AEF中，tan36°≈0.73，EF = AF·tan36° ≈40×0.73=29.2米 ，
∴ GE = GF - EF ≈218.5 -29.2≈189.3米。
故答案为：D.
【分析】 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN，根据AD的坡度，可设设DM=4x，AM=3x， 则：AD= 5x=50 ，解得：x=10，进一步即可得出 DM=40米，AM=30米，进而得出DN和CN的长度，然后解Rt△CGN可得GN的长，在Rt△AEF中可得EF的长，最后根据GE=GF - EF，即可得出GE的长度。
9．（2025九下·深圳期中）分解因式： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 = = ．
故填： .
【分析】本题考查提取公因式法和公式法分解因式．
10．（2025九下·深圳期中）一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张．
【答案】4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 蓝色卡片的张数=10×0.4=4（张）。
故答案为：4.
【分析】根据频率估计概率可得 摸到蓝色卡片的概率为0.4，从而得出蓝色卡片的张数为10×0.4=4（张）。
11．（2025九下·深圳期中）如图，AB为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵，
∴∠AOD=2∠C=40°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=。
故答案为：70°.
【分析】连接OD，首先根据圆周角定理得出∠AOD=2∠C=40°，然后再根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，即可得出∠BAD=。
12．（2025九下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰的点在轴正半轴上，底边BC与轴平行，是BC边上一点，且，函数的图象经过点和点，若点的横坐标为的面积为6，则的值是 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，b），则点C的坐标为(6，0)，则点B的坐标为(6， 2b)，
∵的面积为6，
∴，
又∵，
∴点D的坐标为（6，），
∵A，D在 函数的图象 上，
∴ab=6×，
∴a=4，
∴，
∴b=3，
∴k=4×3=12.
故答案为：12.
【分析】设点A的坐标为（a，b），则点C的坐标为(6，0)，则点B的坐标为(6， 2b)，点D的坐标为（6，），然后根据的面积为6，可得，根据A，D在 函数的图象 上，可得ab=6×，进而得出a=4，b=3，进而得出k=4×3=12.
13．（2025九下·深圳期中）如图，已知是平行四边形ABCD的边BC上一点，将沿直线AP折叠，点落在平行四边形ABCD内的点处，且，如果，那么BP的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
∵ sinB=，AB=5，
∴AF=4，
∴BF=3，
∴A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）
又沿直线AP折叠，点落在平行四边形ABCD内的点处，
∴AE=AB=5，
又，
∴点E到AD的距离为3，
∴点E的坐标为（4，-3），
设点P的坐标为（a，-4），
∵BP=EP，
∴a-(-3）=，
解得：a=，
∴BP=.
故答案为：.
【分析】如图，建立平面直角坐标系，即可得出A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）及点E的坐标为（4，-3），可设点P的坐标为（a，-4），由折叠性质知BP=EP，即可得出a-(-3）=，解方程即可得出a=，进而得出BP=.
14．（2025九下·深圳期中）计算．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先根据负整数指数幂，零整数指数幂的性质，以及绝对值的性质，60°的正切值进行化简，然后再合并同类二次根式即可得出答案。
15．（2025九下·深圳期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
.
当时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先计算括号内的异分母分式加法，同时把分式除法变换成分式的乘法，然后再进行分式的乘法运算，分子分母是多项式且能进行因式分解的，先进行因式分解，能约分的进行约分，即可得出化简结果.然后把 代入中，进行化简，即可得出最后结果。
16．（2025九下·深圳期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，DeepSeek等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七，八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七，八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：：，下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；
八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，87，84；
两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83
八 76.8 84
八年级得分等级扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七，八两个年级得分在组的人数之和．
【答案】（1）83，83.5，20
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的众数高于七年级的众数
（或八年级的中位数高于七年级的中位数）
（3）人，人，
七，八两个年级得分在组的人数之和为：人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 七年级10人的得分中，83出现了2次，其他数据都是1次，所以众数a=83；
八年级C，D两组人数之和为：10×（30%+10%）=4（人），B组有4人，所以八年级10人得分数据的中位数为：；
所以A组人数为：10-4-4=2，所以m=20；
故答案为：83；83.5；20；
【分析】（1）首先根据众数和中位数的定义分别求得a和b的值；然后从八年级10人中减去B，C，D三组人数，可得出B组人数，即可求得m的值；
（2）根据众数，中位数的特征，即可得出答案（言之有理即可）
（3）根据七八年级样本数据中得分在组所占的比例，估计总体的比例，然后分别估算出七八年级 得分在组的人数分别为：360×=108（人）和400×20%=80（人），然后在计算它们的和即可得出答案。
17．（2025九下·深圳期中）某校准备购买一批文具袋和水性笔，已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5支水性笔和3个文具袋共需60元．
（1）求文具袋和水性笔的单价；
（2）学校准备购买文具袋10个，水性笔若干支（超过10支）．文具店给出两种优惠方案：A：购买一个文具袋，赠送1支水性笔；B：购买水性笔10支以上，超过10支的部分按原价八折优惠，文具袋不打折。
①设购买水性笔支，方案A的总费用为 ▲ 元，方案的总费用为 ▲ 元；
②该学校选择哪种方案更合算？请说明理由．
【答案】（1）解：设水性笔的单价元，文具袋的单价为5m元，根据题意得：
解得：，则
答：水性笔的单价3元，文具袋的单价为15元
（2）①
②设
当时，
解得：
若时，
解得：
若时，
解得：
因此当购买数量大于60支时，选择B方案更合算；当购买数量等于60支时，选择A方案或选择B方案均可；当购买数量小于60支时，选择A方案更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设水性笔的单价元，文具袋的单价为5m元，根据 购买5支水性笔和3个文具袋共需60元．即可得出方程，解方程求得m的值，进一步得出5m的值，即可得出答案；
（2） ①设购买水性笔支， 由（1）知水性笔的单价3元，文具袋的单价为15元，故而得出方案A的总费用为： 购买文具袋的总价+购买水性笔的总价=10×15+3（x-10）=3x+120；方案B的总费用为：购买文具袋的总价+购买水性笔的总价=10×15+10×3+（x-10)×3×80%=2.4x+156；②设，分成三种情况进行分析当时，B方案合算；时，选择A方案或选择B方案均可；时，选择A方案更合算．分别解所对应的不等式，即可得出答案。
18．（2025九下·深圳期中）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】
已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，它的面积何时最大？
小敏的演算纸 易得易证当为钝角时，也为钝角． 同理可得II中结论设两条垂线段 综上所述，的最大值为
（1）探索情形I：
①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
②的值为 ▲ .
（2）探索情形II：说明此时的值小于情形I中的值．
（3）【向一般进发】
已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积的最大值．
【答案】（1）①证明：连接AC，取AC的中点，连接OB，OD，
，
，
又，
，
，
为AC的中点，
，
点A，B，C，D在同一个圆上。
②234。
（2）解：，
，
在Rt中，，在Rt中，，
，
即。
（3）解：由题意可知，当四边形ABCD四顶点共圆时，它的面积最大，
连接AC，过点分别作于点于点，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
，
，
，
即四边形ABCD面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）②S=S△ABC+S△ ADC=；
故答案为：234。
【分析】本题主要考查外接圆的判定、勾股定理及逆定理的运用、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定等相关知识。
（1）利用勾股定理及逆定理可以得出，然后利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可得出证明结果；然后利用直角三角形面积计算公式即可计算出四边形面积；
（2）结合图中的信息，利用“直角三角形斜边大于任意一条直角边”即可列出不等式，得出证明结果；
（3）利用HL证明、，即可求出BE的长度，然后利用勾股定理求出CF的长度，最后即可计算出面积。
19．（2025九下·深圳期中）近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO，BC是两根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平线OC，且米，米，以OC所在直线为轴，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，且．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE，FG，DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接，米，（D，F在抛物线上，E，G在OC上，分别在DE，FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
将代入，
解得：
顶棚拋物线的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．
设点的坐标为，
则，
．
，
有最大值，
当时，的最大值为米，
钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）需要确定抛物线的函数关系式。已知顶棚抛物线的函数形式为 y=ax2+bx+c ，且顶点在坐标系中满足特定条件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以确定抛物线经过点A(0，2)和点B(8，2)，代入函数式即可解出a和c的值；
（2） 需要判断DE与FG的长度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且长度为2米，可以设D点坐标为 ( x，y） ，则F点坐标为 ( x + 2 ， y ) 。根据抛物线方程，DE和FG的长度分别为y值，因此总长度为 2 y 。根据二次函数性质可判断最大值是否存在，并求出最大值。
20．（2025九下·深圳期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题．
【观察发现】
在菱形ABCD中，是菱形ABCD内一点，且，连接BE，CE，DE，延长DE交BC于点．
（1）如图1，当时，的度数为 .
（2）【迁移探究】
如图2，当时．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，判断与的关系，并说明理由．
（3）【结论应用】
如图3，在边长为5的正方形ABCD中，是正方形ABCD内一点，且，连接BE，CE，DE，延长DE交BC于点，过点作BE的平行线，交DF的延长线于点，连接BH．当是等腰直角三角形时，直接写出BH的长．
【答案】（1）
（2）①，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四边形ABED中，，
，
，
，
，即；
②，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
，
，
三点共线，
，
由①，知，
，
（3）或，
同（2）①可得，
，
，
分两种情况讨论：①当时，如题图3所示，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
又，
，
设，则，
，
，即，
，
；
②当时，如解图所示，
同理可得，
，
证四边形CEBH是平行四边形，
是BC，EH的中点，
设，则，
，即，
，
；
综上所述，BH的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四边形ABED中，，
，
∴，
，
，即；
故第1空答案为：30°；
【分析】（1） 当∠BAD=60°时，需通过菱形的性质及AE=AD的条件，结合三角形全等或相似来求解∠BEF的度数；
（2） 需要推广到一般角度α，分析∠BEF与α的关系，并在特定条件下判断三角形全等或相似；
（3） 结合正方形的特殊性质，利用等腰直角三角形的条件，通过几何关系求BH的长度。
1 / 1广东省深圳市大望学校2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试卷
1．（2025九下·深圳期中）2025的倒数是（ ）
A．-2025 B． C． D．2025
2．（2025九下·深圳期中）下列车标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·深圳期中）2024年深圳GDP总量约3.9万亿元，将数据3.9万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·深圳期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·深圳期中）2025年春节档某影城上映了三部电影：《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》和《重启末来》，若小明和小亮分别从这三部影片中随机选择一部观看，则这两人选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·深圳期中）如图，在Rt中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·深圳期中）甲乙两地相距380km，新的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了2h．若设原来的平均速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·深圳期中）某公司准备从大楼点处挂一块大型条幅到点，公司进行实地测量，工作人员从大楼底部点沿水平直线步行40米到达自动扶梯底端点，在点用仪器测得条幅下端点的仰角为；然后他再沿着坡度长度为50米的自动扶梯到达扶梯顶端点，又沿水平直线行走了80米到达点，在点测得条幅上端点的仰角为，F，G在同一个平面内，且C，D和A，B，F分别在同一水平线上），则GE的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据）
A．188.5米 B．178.5米 C．167.3米 D．189.3米
9．（2025九下·深圳期中）分解因式： = .
10．（2025九下·深圳期中）一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张．
11．（2025九下·深圳期中）如图，AB为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．
12．（2025九下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰的点在轴正半轴上，底边BC与轴平行，是BC边上一点，且，函数的图象经过点和点，若点的横坐标为的面积为6，则的值是 ．
13．（2025九下·深圳期中）如图，已知是平行四边形ABCD的边BC上一点，将沿直线AP折叠，点落在平行四边形ABCD内的点处，且，如果，那么BP的长为 ．
14．（2025九下·深圳期中）计算．
15．（2025九下·深圳期中）先化简，再求值：，其中．
16．（2025九下·深圳期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，DeepSeek等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七，八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七，八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：：，下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；
八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，87，84；
两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83
八 76.8 84
八年级得分等级扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七，八两个年级得分在组的人数之和．
17．（2025九下·深圳期中）某校准备购买一批文具袋和水性笔，已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5支水性笔和3个文具袋共需60元．
（1）求文具袋和水性笔的单价；
（2）学校准备购买文具袋10个，水性笔若干支（超过10支）．文具店给出两种优惠方案：A：购买一个文具袋，赠送1支水性笔；B：购买水性笔10支以上，超过10支的部分按原价八折优惠，文具袋不打折。
①设购买水性笔支，方案A的总费用为 ▲ 元，方案的总费用为 ▲ 元；
②该学校选择哪种方案更合算？请说明理由．
18．（2025九下·深圳期中）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】
已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，它的面积何时最大？
小敏的演算纸 易得易证当为钝角时，也为钝角． 同理可得II中结论设两条垂线段 综上所述，的最大值为
（1）探索情形I：
①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
②的值为 ▲ .
（2）探索情形II：说明此时的值小于情形I中的值．
（3）【向一般进发】
已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积的最大值．
19．（2025九下·深圳期中）近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO，BC是两根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平线OC，且米，米，以OC所在直线为轴，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，且．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE，FG，DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接，米，（D，F在抛物线上，E，G在OC上，分别在DE，FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
20．（2025九下·深圳期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题．
【观察发现】
在菱形ABCD中，是菱形ABCD内一点，且，连接BE，CE，DE，延长DE交BC于点．
（1）如图1，当时，的度数为 .
（2）【迁移探究】
如图2，当时．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，判断与的关系，并说明理由．
（3）【结论应用】
如图3，在边长为5的正方形ABCD中，是正方形ABCD内一点，且，连接BE，CE，DE，延长DE交BC于点，过点作BE的平行线，交DF的延长线于点，连接BH．当是等腰直角三角形时，直接写出BH的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2025的倒数是 ：
故答案为：C.
【分析】 倒数的定义是：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 根据2025×=1，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】 中心对称图形的定义是图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合。因此，需要逐一分析每个选项的车标是否符合这个条件，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3.9万亿=3.9 × 1万亿 = 3.9 × 1012 。
故答案为：A.
【分析】首先理解 “万亿”单位对应的10的幂次（1012）， 再根据科学记数法的规范写法，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：a3+a2无法进行合并，所以A不正确；
B：（a-b)2=a2-2ab+b2，所以B不正确；
C：（a3）3=a6，所以C不正确；
D：，所以D计算正确。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可判定A不正确；根据乘法计算公式可得B不正确；根据幂的乘方可得C不正确；根据合并同类二次根式可得D正确，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》和《重启末来》分别记为A，B，C.
树状图分析如下：
所以两人选择的影片相同的概率为：P=。
故答案为：B.
【分析】用树状图分析所有机会均等的结果共有9种，其中小明和小亮选择影片相同的情况有3种，根据概率计算公式，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；余角
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知：AD平分∠BAC，DE垂直AB于点E，
∴B正确；
又，
∴DE=DC（即C正确），
∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC(即D正确）
根据尺规作图，不能得出DA=DB，
∴∠BAD不一定等于∠B（即A不一定正确）
故答案为：A.
【分析】首先根据尺规作图的痕迹得出AD平分∠BAC，DE垂直AB于点E，进而可得出B正确；再根据角平分线的性质以及余角的性质可得出C正确，D正确，A不一定正确，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 若设原来的平均速度为，根据题意：
即
故答案为：C.
【分析】若设原来的平均速度为，则 速度提升后 为x+30%x，然后根据 从甲地到乙地的时间缩短了2h ，即可得出方程，故而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN。
设DM=4x，AM=3x， 则：AD= 5x=50 ，解得：x=10，
∴ DM=40米，AM=30米，
∵FM = AF + AM = 40米 + 30米 = 70米，
∴DN=FM=70米，
∵CD=80米，
∴ CN = CD + DN = 80米 + 70米 = 150米，
在Rt△CGN中，tan50°≈1.19，GN = CN·tan50° ≈150×1.19=178.5米 ，
GF = GN + NF = 178.5米 + 40米 = 218.5米 ，
在Rt△AEF中，tan36°≈0.73，EF = AF·tan36° ≈40×0.73=29.2米 ，
∴ GE = GF - EF ≈218.5 -29.2≈189.3米。
故答案为：D.
【分析】 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，形成矩形DMFN，根据AD的坡度，可设设DM=4x，AM=3x， 则：AD= 5x=50 ，解得：x=10，进一步即可得出 DM=40米，AM=30米，进而得出DN和CN的长度，然后解Rt△CGN可得GN的长，在Rt△AEF中可得EF的长，最后根据GE=GF - EF，即可得出GE的长度。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 = = ．
故填： .
【分析】本题考查提取公因式法和公式法分解因式．
10．【答案】4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 蓝色卡片的张数=10×0.4=4（张）。
故答案为：4.
【分析】根据频率估计概率可得 摸到蓝色卡片的概率为0.4，从而得出蓝色卡片的张数为10×0.4=4（张）。
11．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵，
∴∠AOD=2∠C=40°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=。
故答案为：70°.
【分析】连接OD，首先根据圆周角定理得出∠AOD=2∠C=40°，然后再根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，即可得出∠BAD=。
12．【答案】12
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，b），则点C的坐标为(6，0)，则点B的坐标为(6， 2b)，
∵的面积为6，
∴，
又∵，
∴点D的坐标为（6，），
∵A，D在 函数的图象 上，
∴ab=6×，
∴a=4，
∴，
∴b=3，
∴k=4×3=12.
故答案为：12.
【分析】设点A的坐标为（a，b），则点C的坐标为(6，0)，则点B的坐标为(6， 2b)，点D的坐标为（6，），然后根据的面积为6，可得，根据A，D在 函数的图象 上，可得ab=6×，进而得出a=4，b=3，进而得出k=4×3=12.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
∵ sinB=，AB=5，
∴AF=4，
∴BF=3，
∴A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）
又沿直线AP折叠，点落在平行四边形ABCD内的点处，
∴AE=AB=5，
又，
∴点E到AD的距离为3，
∴点E的坐标为（4，-3），
设点P的坐标为（a，-4），
∵BP=EP，
∴a-(-3）=，
解得：a=，
∴BP=.
故答案为：.
【分析】如图，建立平面直角坐标系，即可得出A(0，0)；B(-3，-4）；D（8，0）及点E的坐标为（4，-3），可设点P的坐标为（a，-4），由折叠性质知BP=EP，即可得出a-(-3）=，解方程即可得出a=，进而得出BP=.
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先根据负整数指数幂，零整数指数幂的性质，以及绝对值的性质，60°的正切值进行化简，然后再合并同类二次根式即可得出答案。
15．【答案】解：原式
.
当时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先计算括号内的异分母分式加法，同时把分式除法变换成分式的乘法，然后再进行分式的乘法运算，分子分母是多项式且能进行因式分解的，先进行因式分解，能约分的进行约分，即可得出化简结果.然后把 代入中，进行化简，即可得出最后结果。
16．【答案】（1）83，83.5，20
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的众数高于七年级的众数
（或八年级的中位数高于七年级的中位数）
（3）人，人，
七，八两个年级得分在组的人数之和为：人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 七年级10人的得分中，83出现了2次，其他数据都是1次，所以众数a=83；
八年级C，D两组人数之和为：10×（30%+10%）=4（人），B组有4人，所以八年级10人得分数据的中位数为：；
所以A组人数为：10-4-4=2，所以m=20；
故答案为：83；83.5；20；
【分析】（1）首先根据众数和中位数的定义分别求得a和b的值；然后从八年级10人中减去B，C，D三组人数，可得出B组人数，即可求得m的值；
（2）根据众数，中位数的特征，即可得出答案（言之有理即可）
（3）根据七八年级样本数据中得分在组所占的比例，估计总体的比例，然后分别估算出七八年级 得分在组的人数分别为：360×=108（人）和400×20%=80（人），然后在计算它们的和即可得出答案。
17．【答案】（1）解：设水性笔的单价元，文具袋的单价为5m元，根据题意得：
解得：，则
答：水性笔的单价3元，文具袋的单价为15元
（2）①
②设
当时，
解得：
若时，
解得：
若时，
解得：
因此当购买数量大于60支时，选择B方案更合算；当购买数量等于60支时，选择A方案或选择B方案均可；当购买数量小于60支时，选择A方案更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设水性笔的单价元，文具袋的单价为5m元，根据 购买5支水性笔和3个文具袋共需60元．即可得出方程，解方程求得m的值，进一步得出5m的值，即可得出答案；
（2） ①设购买水性笔支， 由（1）知水性笔的单价3元，文具袋的单价为15元，故而得出方案A的总费用为： 购买文具袋的总价+购买水性笔的总价=10×15+3（x-10）=3x+120；方案B的总费用为：购买文具袋的总价+购买水性笔的总价=10×15+10×3+（x-10)×3×80%=2.4x+156；②设，分成三种情况进行分析当时，B方案合算；时，选择A方案或选择B方案均可；时，选择A方案更合算．分别解所对应的不等式，即可得出答案。
18．【答案】（1）①证明：连接AC，取AC的中点，连接OB，OD，
，
，
又，
，
，
为AC的中点，
，
点A，B，C，D在同一个圆上。
②234。
（2）解：，
，
在Rt中，，在Rt中，，
，
即。
（3）解：由题意可知，当四边形ABCD四顶点共圆时，它的面积最大，
连接AC，过点分别作于点于点，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
，
，
，
即四边形ABCD面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）②S=S△ABC+S△ ADC=；
故答案为：234。
【分析】本题主要考查外接圆的判定、勾股定理及逆定理的运用、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定等相关知识。
（1）利用勾股定理及逆定理可以得出，然后利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可得出证明结果；然后利用直角三角形面积计算公式即可计算出四边形面积；
（2）结合图中的信息，利用“直角三角形斜边大于任意一条直角边”即可列出不等式，得出证明结果；
（3）利用HL证明、，即可求出BE的长度，然后利用勾股定理求出CF的长度，最后即可计算出面积。
19．【答案】（1）解：
将代入，
解得：
顶棚拋物线的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．
设点的坐标为，
则，
．
，
有最大值，
当时，的最大值为米，
钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）需要确定抛物线的函数关系式。已知顶棚抛物线的函数形式为 y=ax2+bx+c ，且顶点在坐标系中满足特定条件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以确定抛物线经过点A(0，2)和点B(8，2)，代入函数式即可解出a和c的值；
（2） 需要判断DE与FG的长度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且长度为2米，可以设D点坐标为 ( x，y） ，则F点坐标为 ( x + 2 ， y ) 。根据抛物线方程，DE和FG的长度分别为y值，因此总长度为 2 y 。根据二次函数性质可判断最大值是否存在，并求出最大值。
20．【答案】（1）
（2）①，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四边形ABED中，，
，
，
，
，即；
②，理由如下：
在菱形ABCD中，，
，
，
，
，
，
三点共线，
，
由①，知，
，
（3）或，
同（2）①可得，
，
，
分两种情况讨论：①当时，如题图3所示，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
又，
，
设，则，
，
，即，
，
；
②当时，如解图所示，
同理可得，
，
证四边形CEBH是平行四边形，
是BC，EH的中点，
设，则，
，即，
，
；
综上所述，BH的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）在菱形ABCD中，，
，
，
，
在四边形ABED中，，
，
∴，
，
，即；
故第1空答案为：30°；
【分析】（1） 当∠BAD=60°时，需通过菱形的性质及AE=AD的条件，结合三角形全等或相似来求解∠BEF的度数；
（2） 需要推广到一般角度α，分析∠BEF与α的关系，并在特定条件下判断三角形全等或相似；
（3） 结合正方形的特殊性质，利用等腰直角三角形的条件，通过几何关系求BH的长度。
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