广东省深圳市南外集团2024-2025学年九年级数学4月联考（二模）试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·深圳模拟）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A．极氪 B．小鹏
C．理想 D．蔚来
2．（2025·深圳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
4．（2025·深圳模拟）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A． B．5 C． D．
6．（2025·深圳模拟）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（2025·深圳模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2025·深圳模拟）用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）有理数8的算术平方根为 ．
10．（2025·深圳模拟）是方程的根，则式子的值为 ．
11．（2025·深圳模拟）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 度．
12．（2025·深圳模拟）如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则A、两点之间的距离为 m．（结果精确到，参考数据：，，，）
13．（2025·深圳模拟）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳模拟）计算：
15．（2025·深圳模拟）吴广同学计算时，是这样做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吴广同学的做法从第 ▲ 步开始出现错误，正确的计算结果是 ▲ ．
（2）计算：．
16．（2025·深圳模拟）根据深圳市教育局印发的《深圳市义务教育阶段学校课后服务实施意见》，某校积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验、经典影视欣赏、虚拟机器人竞赛、趣味篮球训练、国际象棋大赛……”等课程供学生自由选择，一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“．非常满意；．比较满意；．基本满意；．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为 ▲ ，“众数”所在等级为 ▲ ；（填“、、或”）；扇形的圆心角是 ▲ 度；
（3）若该校共有学生2100人，据此调查估计全校学生对延时服务满意（包含、、三个等级）的学生有多少人？
17．（2025·深圳模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： ▲ （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
18．（2025·深圳模拟）如图，是的直径，是上两点，平分，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长．
19．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
20．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a2 a3=a5，故此选项不符合题意；
B、（a2）3=a6，故此选项符合题意；
C、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
D、（-a3b）2=a6b2，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，积的乘方相关公式进行求解.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是 ；
故答案为：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；最简二次根式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
，
故答案为：C．
【分析】根据作图痕迹可得，再利用勾股定理求出OC的长，再结合“以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点”可得，从而得解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BD的长，最后求解即可.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 根据调和数的定义可列分式方程得，
，
解得x=20，
经检验：x=20是分式方程的解．
所以x的值为20，
故答案为：D.
【分析】 由调和数的定义列分式方程求解即可.
8．【答案】C
【知识点】弧长的计算；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出三种方案中菜园的面积，再比较大小即可.
9．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：有理数8的算术平方根为．
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可.
10．【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
则2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案为：2027.
【分析】由一元二次方程解的意义可得2m2+3m-1=0，则2m2+3m=1，将原式变形后整体代入已知数值计算即可.
11．【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
故答案为：200．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将x=0.5代入求出y的值即可.
12．【答案】6.7
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，连接AC，
∵∠ABC=143°，
∴∠ABD=37°，
在Rt△ABD中，AB=5，sin37°= ，cos37°=，
解得：AD=5×0.60=3 （m），BD=5×0.80=4（m），
∴CD=BC+BD=6（m）， 在Rt△ABD中，AC=，
故答案为：6.7.
【分析】 先作辅助线，在Rt△ABD中，求出AD，BD，然后根据勾股定理求出答案即可.
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，可得，再证出当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
14．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可.
15．【答案】（1）二；
（2）
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）解：第二步错误
.
故答案为：二；.
【分析】 （1）根据分式的加减运算，先进行通分，再利用平方差公式进行计算，即可得到答案；
（2）根据分式的加减运算，先进行通分，再利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
16．【答案】（1）50；
项的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）B，A，144
（3）（人），
估计全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有1890人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）项的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）学生对课后延时服务满意情况的“中位数”是第25、26个数据的平均数，而这2个数均落在B组，
所以这组数据的中位数为B，
A项所对应的扇形圆心角度数为：360°×40%=144°；A等级人数最多20人，故众数在A组，
故答案为：B，A，144.
、【分析】（1）根据A．非常满意的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；用总人数-A，B，D，的人数和=C的人数，即可补全条形图；
（2）360°×A的百分比，可以计算出A的圆心角的度数，找到中位数、众数即可得答案；
（3）用2100乘以样本中“A+B+C”的学生所占比例即可求解.
17．【答案】任务1：（）
任务2：根据题意得：，
解得：，
（）（元），
答：每千克茶叶50元，每千克花生10元；
任务3：设花生销售千克，茶叶销售（60－m）千克获利最大，利润元，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售60－30千克，
当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】 （1）利用花生的售价=茶叶的售价-40，即可用含x的代数式表示出y值；
（2）由（1）的结论，结合销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明助销m千克茶叶，则助销（60-m）千克花生，根据“总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设在此次助销活动中商家获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
18．【答案】（1）证明：，
，
平分，
（角平分线的定义），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
，
，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义、角的运算和平行线的性质求出，再结合OC是的半径，即可证出CE是的切线；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AE的长即可.
（1）证明：，
，
平分，
（角平分线的定义），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：
（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
20．【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
1 / 1广东省深圳市南外集团2024-2025学年九年级数学4月联考（二模）试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·深圳模拟）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A．极氪 B．小鹏
C．理想 D．蔚来
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2025·深圳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a2 a3=a5，故此选项不符合题意；
B、（a2）3=a6，故此选项符合题意；
C、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
D、（-a3b）2=a6b2，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，积的乘方相关公式进行求解.
3．（2025·深圳模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．（2025·深圳模拟）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是 ；
故答案为：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
5．（2025·深圳模拟）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；最简二次根式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
，
故答案为：C．
【分析】根据作图痕迹可得，再利用勾股定理求出OC的长，再结合“以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点”可得，从而得解.
6．（2025·深圳模拟）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BD的长，最后求解即可.
7．（2025·深圳模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 根据调和数的定义可列分式方程得，
，
解得x=20，
经检验：x=20是分式方程的解．
所以x的值为20，
故答案为：D.
【分析】 由调和数的定义列分式方程求解即可.
8．（2025·深圳模拟）用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
【答案】C
【知识点】弧长的计算；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出三种方案中菜园的面积，再比较大小即可.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）有理数8的算术平方根为 ．
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：有理数8的算术平方根为．
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可.
10．（2025·深圳模拟）是方程的根，则式子的值为 ．
【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m是方程2x2+3x-1=0的根，
∴2m2+3m-1=0，
则2m2+3m=1，
原式=2（2m2+3m）+2025
=2×1+2025
=2+2025
=2027，
故答案为：2027.
【分析】由一元二次方程解的意义可得2m2+3m-1=0，则2m2+3m=1，将原式变形后整体代入已知数值计算即可.
11．（2025·深圳模拟）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 度．
【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
故答案为：200．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将x=0.5代入求出y的值即可.
12．（2025·深圳模拟）如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则A、两点之间的距离为 m．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】6.7
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，连接AC，
∵∠ABC=143°，
∴∠ABD=37°，
在Rt△ABD中，AB=5，sin37°= ，cos37°=，
解得：AD=5×0.60=3 （m），BD=5×0.80=4（m），
∴CD=BC+BD=6（m）， 在Rt△ABD中，AC=，
故答案为：6.7.
【分析】 先作辅助线，在Rt△ABD中，求出AD，BD，然后根据勾股定理求出答案即可.
13．（2025·深圳模拟）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，可得，再证出当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳模拟）计算：
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可.
15．（2025·深圳模拟）吴广同学计算时，是这样做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吴广同学的做法从第 ▲ 步开始出现错误，正确的计算结果是 ▲ ．
（2）计算：．
【答案】（1）二；
（2）
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）解：第二步错误
.
故答案为：二；.
【分析】 （1）根据分式的加减运算，先进行通分，再利用平方差公式进行计算，即可得到答案；
（2）根据分式的加减运算，先进行通分，再利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
16．（2025·深圳模拟）根据深圳市教育局印发的《深圳市义务教育阶段学校课后服务实施意见》，某校积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验、经典影视欣赏、虚拟机器人竞赛、趣味篮球训练、国际象棋大赛……”等课程供学生自由选择，一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“．非常满意；．比较满意；．基本满意；．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为 ▲ ，“众数”所在等级为 ▲ ；（填“、、或”）；扇形的圆心角是 ▲ 度；
（3）若该校共有学生2100人，据此调查估计全校学生对延时服务满意（包含、、三个等级）的学生有多少人？
【答案】（1）50；
项的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）B，A，144
（3）（人），
估计全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有1890人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）项的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）学生对课后延时服务满意情况的“中位数”是第25、26个数据的平均数，而这2个数均落在B组，
所以这组数据的中位数为B，
A项所对应的扇形圆心角度数为：360°×40%=144°；A等级人数最多20人，故众数在A组，
故答案为：B，A，144.
、【分析】（1）根据A．非常满意的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；用总人数-A，B，D，的人数和=C的人数，即可补全条形图；
（2）360°×A的百分比，可以计算出A的圆心角的度数，找到中位数、众数即可得答案；
（3）用2100乘以样本中“A+B+C”的学生所占比例即可求解.
17．（2025·深圳模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： ▲ （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
【答案】任务1：（）
任务2：根据题意得：，
解得：，
（）（元），
答：每千克茶叶50元，每千克花生10元；
任务3：设花生销售千克，茶叶销售（60－m）千克获利最大，利润元，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售60－30千克，
当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】 （1）利用花生的售价=茶叶的售价-40，即可用含x的代数式表示出y值；
（2）由（1）的结论，结合销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明助销m千克茶叶，则助销（60-m）千克花生，根据“总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设在此次助销活动中商家获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
18．（2025·深圳模拟）如图，是的直径，是上两点，平分，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
（角平分线的定义），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
，
，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义、角的运算和平行线的性质求出，再结合OC是的半径，即可证出CE是的切线；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AE的长即可.
（1）证明：，
，
平分，
（角平分线的定义），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：
（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
20．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
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