四川成都市青羊区2025年中考数学二诊试卷
1．（2025·成都模拟）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，
∴这个几何体的主视图是
故答案为：D ．
【分析】观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，结合主视图的意义可求解．
2．（2025·成都模拟）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件"分母不等于0"可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
3．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于轴对称点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标变化特征"横坐标互为相反数，纵坐标不变"即可求解．
4．（2025·成都模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠x2-y2，∴此选项不符合题意；
B、≠a6，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项不符合题意；
D、≠a4，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可判断求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可判断求解；
C、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可判断求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算即可判断求解.
5．（2025·成都模拟）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如图，过G点作，
，
，
，，
又，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可求得，过G点作，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．（2025·成都模拟）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ）
摸球总次数 10 50 100 1000
摸到红球的频率
A．3个 B．4个 C．5个 D．10个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右，
设口袋中红球有个，
由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即，
解得：，
所以口袋中红球的个数最可能是个，
故答案为：B．
【分析】根据表格中信息并结合用频率估计概率可得红球的概率，再根据概率公式即可求解．
7．（2025·成都模拟）下列说法正确的是（ ）
A．有三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．过一点有且仅有一条直线平行于已知直线
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；菱形的判定；矩形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：A、有三个角相等的四边形不一定是矩形，如四边形中，，，
∴这个四边形不是矩形，
∴此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，
∴此选项符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，
∴此选项不符合题意；
D、过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、举反例并结合矩形的判定可求解；
B、根据菱形的判定可求解；
C、根据垂径定理可求解；
D、根据平行公理可求解．
8．（2025·成都模拟）在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、由步骤②可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴此选项不符合题意；
B、在△DBA和△AED中
∴（SSS）
∴此选项不符合题意；
C、由A可得DE∥BA，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由步骤②可知，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求解；
B、由题意，用边边边可得△DBA≌△AED；
C、由A可得DE∥BA，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠CDF=∠CBA，∠CFD=∠CAB，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CDF∽△CBA，由相似三角形的对应边的比相等可求解；
D、同理可得△CDF∽△AEF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式≠1，即CF≠AF.
9．（2025·成都模拟）若实数，，满足：，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案为：4.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性可得关于x、y、z的方程组，解方程组可求得x、y、z的值，将x、y、z的值代入所求代数式计算即可求解．
10．（2025·成都模拟）分式方程：的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴分式方程的解为：，
故答案为：.
【分析】由题意，去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，检验即可判断求解．
11．（2025·成都模拟）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，该扇形的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）计算即可求解．
12．（2025·成都模拟）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据“大于0且小于1的数用科学记数法的表示形式为的形式，其中，为负整数．”并结合题意即可求解．
13．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数分别交轴，轴于点，，
当时，，解得：，则
当时，，则，
∴
∴
∵点是直线上一动点，连接，当时，最小，
此时
∴
故答案为：．
【分析】根据一次函数分别于x轴、y轴交于点A、B，令y=0、x=0分别求出对应的x、y的值，则可得的坐标，用勾股定理求得的长，连接，当时，最小，根据等面积法即可求解．
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先计算特殊角的三角函数值可得tan30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025-π）0=1，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）先解不等式①，再解不等式②，再根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
15．（2025·成都模拟）某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？
（3）研学活动有文艺类的：“现场绘画”，：“情境写作”和实践类的：“水质调研”，：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率．
【答案】（1）20，
补全条形统计图如图所示：
（2），420人
（3）解：解：列表如下：
A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
（C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次抽样调查的总人数为（人），
参加北湖人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）
解：扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为；
估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有（人）；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可知：用参加锦城湖的人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再根据频数=样本容量×百分比可求得参加北湖人数，然后可补全条形统计图；
（2）根据圆心角=百分比×360°可知：用乘以“青龙湖”所占的比例可求得对应圆心角的度数；用总人数乘以样本中参加“沧浪湖游湖研学”的学生所占的比例即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知总共等可能的结果数，再从中找出满足条件的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次抽样调查的总人数为（人），
参加北湖人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为；
估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有（人）；
（3）解：列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为．
16．（2025·成都模拟）数学兴趣小组的成员小王在观察点测得观察点在的正北方向，成员小刘在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，距离为130米，成员小红在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，求观测点，之间的距离．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
【答案】解：延长，过点C作于点D，如图所示：
则，
∵米，，
∴（米），
（米），
∵，
∴（米），
∴（米），
答：观测点，之间的距离为74米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】延长，过点C作于点D，根据锐角三角函数sin∠CBD=求出CD的值，cos∠CBD=求出BD的值，在Rt△ACD中，同理根据tan∠CAD=求出AD的值，再根据线段的和差AB=AD-BD可求解．
17．（2025·成都模拟）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求⊙的半径．
【答案】（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴，
则，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半径是4．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等可得，然后根据等角对等边可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再由等角的余角相等得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（3）设，，则，，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式将BG用含x的代数式表示出来，再由等腰三角形的性质得到，根据线段的和差列关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据CO=2x即可求解．
（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴，则，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半径是4．
18．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
（1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标：
（2）如图2，当，连接时，，求的值；
（3）当时，若，求的值．
【答案】（1）解：当时，一次函数解析式为，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
解得，，
∴，
把点代入反比例函数解析式得，
，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，
，
解得，，
∴；
（2）解：当时，同理，，，
∵点是的中点，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，
，
∴，则，
∴，则点，，
∴，
把点代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，即设一次函数与轴交点，
∴，
同理，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
当时，，
∴，，如图所示，
当时，，
∴，，如图所示，
∴若，的值为或．
答：的值为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意易得，根据中点坐标公式可得点，然后用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据可将EG和OE用含yA的代数式表示出来，则，则直线的解析式为，，然后根据三角形ABF的面积=5可得关于yA的方程，解方程即可求解；
（3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解 ．
（1）解：当时，一次函数解析式为，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
解得，，
∴，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，
∴；
（2）解：当时，同理，，，
∵点是的中点，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，，
∴，则，
∴，则点，，
∴，
把点代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，即设一次函数与轴交点，
∴，
同理，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
当时，，
∴，，如图所示，
当时，，
∴，，如图所示，
∴若，的值为或．
19．（2025·成都模拟）如图，，，点在边上，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得，根据等边对顶角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解．
20．（2025·成都模拟）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
，
∴原式，
故答案为： ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可得，根据分式的性质将分式化简，再整体代换即可求解．
21．（2025·成都模拟）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点做，点为的中点，连接交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，
∴，，
∴，
∴，，
设，
则，，，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
整理得：，
即，
解得：或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】根据题意画出图形，过点作，点为的中点，连接交于点，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，设，则，，，，根据勾股定理将FM、MN用含x的代数式表示出来，再Rt△FMN 中，根据勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据DF=2x即可求解．
22．（2025·成都模拟）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏．
解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如：
①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字：
②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字：
③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字．
问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ．
【答案】5；255
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确．
由题意，
当时，输入1次一定能猜中数字：
当时，输入2次一定能猜中数字：
当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字：
当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字．
以此类推，
当时，输入8次一定能猜中数字．
故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255，
故答案为：5，255．
【分析】根据“二分法”的原理，模仿题中例子方法计算，观察计算结果，找出规律，根据变化规律即可求解．
23．（2025·成都模拟）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由得：
整理，得，
解得，，
由题意，，
当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上，
若时，恒成立，
则，
解得，即；
当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下，
若时，恒成立，
则，
解得，即，
综上，满足条件的a的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】由题意，先将y1、y2联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，根据一次函数和二次函数的性质即可求解．
24．（2025·成都模拟）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用）
（1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？
（2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论：
①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半；
②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的；
为保证型家用电车的高端定位，求的最大值．
【答案】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”列关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再根据不等关系“型家用电车落地单价≥型家用电车落地单价的”列关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
25．（2025·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；
（3）一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）存在，理由如下：
解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，
设，，
联立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点是定点，
∴，，，
解得：，，
经检验，在抛物线上，符合题意；
∴抛物线上存在定点，点的坐标为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点，用待定系数法求出直线的解析式，根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可得，，设，由中点坐标公式可得，将点的坐标代入直线AC的解析式可得关于t的方程，解方程求出t的值，可得点的坐标，设，用勾股定理列出关于n的方程，解方程求出的值即可求解；
（3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得，，则可表示出，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，可得点的坐标，再检验是否符合题意即可求解．
（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，
设，，
联立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点是定点，
∴，，，
解得：，，
经检验，在抛物线上，符合题意；
∴抛物线上存在定点，点的坐标为．
26．（2025·成都模拟）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）当，时，连接；
若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数：
当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴点，，共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点，
∵，，
∴，，，，
当点在轴右侧时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵为的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
代入，
得，
∴直线解析式为，
∵在直线上，
∴，
化简得，
解得：（负值舍），
∴，，
则；
当在轴左侧时，如图，
同理求得，
同理得，，
则；
综上所述，或．
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，然后由相似三角形的判定“两边的比相等且这两边的夹角也相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）连接，过点作于点，由题意易得和是等腰直角三角形，由，并结合（1）中的相似三角形可求得，则可得点，，共线，设，由等边对等角和角的和差可求得，由等角对等边可得，解可得，则，可得，即可求解；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， 得出，，，，分两种情况：①当点在轴右侧时， 得出，设，则，证明，得出，，则可得，求出直线解析式为，由在直线上，得出，求解得出，得出，，即可求解；
②当在轴左侧时，同理可求解．
（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴点，，共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点，
∵，，
∴，，，，
当点在轴右侧时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵为的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
代入，
得，
∴直线解析式为，
∵在直线上，
∴，
化简得，
解得：（负值舍），
∴，，
则；
当在轴左侧时，如图，
同理求得，
同理得，，
则；
综上所述，或．
1 / 1四川成都市青羊区2025年中考数学二诊试卷
1．（2025·成都模拟）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·成都模拟）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·成都模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·成都模拟）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·成都模拟）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ）
摸球总次数 10 50 100 1000
摸到红球的频率
A．3个 B．4个 C．5个 D．10个
7．（2025·成都模拟）下列说法正确的是（ ）
A．有三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．过一点有且仅有一条直线平行于已知直线
8．（2025·成都模拟）在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·成都模拟）若实数，，满足：，则的值为 ．
10．（2025·成都模拟）分式方程：的解为 ．
11．（2025·成都模拟）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ．
12．（2025·成都模拟）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ．
13．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为 ．
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（2025·成都模拟）某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？
（3）研学活动有文艺类的：“现场绘画”，：“情境写作”和实践类的：“水质调研”，：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率．
16．（2025·成都模拟）数学兴趣小组的成员小王在观察点测得观察点在的正北方向，成员小刘在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，距离为130米，成员小红在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，求观测点，之间的距离．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
17．（2025·成都模拟）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求⊙的半径．
18．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
（1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标：
（2）如图2，当，连接时，，求的值；
（3）当时，若，求的值．
19．（2025·成都模拟）如图，，，点在边上，则的度数为 ．
20．（2025·成都模拟）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ．
21．（2025·成都模拟）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是 ．
22．（2025·成都模拟）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏．
解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如：
①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字：
②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字：
③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字．
问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ．
23．（2025·成都模拟）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
24．（2025·成都模拟）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用）
（1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？
（2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论：
①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半；
②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的；
为保证型家用电车的高端定位，求的最大值．
25．（2025·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；
（3）一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2025·成都模拟）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）当，时，连接；
若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数：
当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，
∴这个几何体的主视图是
故答案为：D ．
【分析】观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，结合主视图的意义可求解．
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件"分母不等于0"可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
3．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于轴对称点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标变化特征"横坐标互为相反数，纵坐标不变"即可求解．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠x2-y2，∴此选项不符合题意；
B、≠a6，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项不符合题意；
D、≠a4，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可判断求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可判断求解；
C、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可判断求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算即可判断求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：中，，，
，
如图，过G点作，
，
，
，，
又，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可求得，过G点作，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，然后由角的和差即可求解．
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右，
设口袋中红球有个，
由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即，
解得：，
所以口袋中红球的个数最可能是个，
故答案为：B．
【分析】根据表格中信息并结合用频率估计概率可得红球的概率，再根据概率公式即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；菱形的判定；矩形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：A、有三个角相等的四边形不一定是矩形，如四边形中，，，
∴这个四边形不是矩形，
∴此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，
∴此选项符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，
∴此选项不符合题意；
D、过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、举反例并结合矩形的判定可求解；
B、根据菱形的判定可求解；
C、根据垂径定理可求解；
D、根据平行公理可求解．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、由步骤②可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴此选项不符合题意；
B、在△DBA和△AED中
∴（SSS）
∴此选项不符合题意；
C、由A可得DE∥BA，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由步骤②可知，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求解；
B、由题意，用边边边可得△DBA≌△AED；
C、由A可得DE∥BA，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠CDF=∠CBA，∠CFD=∠CAB，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CDF∽△CBA，由相似三角形的对应边的比相等可求解；
D、同理可得△CDF∽△AEF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式≠1，即CF≠AF.
9．【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案为：4.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性可得关于x、y、z的方程组，解方程组可求得x、y、z的值，将x、y、z的值代入所求代数式计算即可求解．
10．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴分式方程的解为：，
故答案为：.
【分析】由题意，去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，检验即可判断求解．
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，该扇形的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据“大于0且小于1的数用科学记数法的表示形式为的形式，其中，为负整数．”并结合题意即可求解．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数分别交轴，轴于点，，
当时，，解得：，则
当时，，则，
∴
∴
∵点是直线上一动点，连接，当时，最小，
此时
∴
故答案为：．
【分析】根据一次函数分别于x轴、y轴交于点A、B，令y=0、x=0分别求出对应的x、y的值，则可得的坐标，用勾股定理求得的长，连接，当时，最小，根据等面积法即可求解．
14．【答案】解：（1）
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先计算特殊角的三角函数值可得tan30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025-π）0=1，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）先解不等式①，再解不等式②，再根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
15．【答案】（1）20，
补全条形统计图如图所示：
（2），420人
（3）解：解：列表如下：
A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
（C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次抽样调查的总人数为（人），
参加北湖人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）
解：扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为；
估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有（人）；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可知：用参加锦城湖的人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再根据频数=样本容量×百分比可求得参加北湖人数，然后可补全条形统计图；
（2）根据圆心角=百分比×360°可知：用乘以“青龙湖”所占的比例可求得对应圆心角的度数；用总人数乘以样本中参加“沧浪湖游湖研学”的学生所占的比例即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知总共等可能的结果数，再从中找出满足条件的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次抽样调查的总人数为（人），
参加北湖人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为；
估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有（人）；
（3）解：列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为．
16．【答案】解：延长，过点C作于点D，如图所示：
则，
∵米，，
∴（米），
（米），
∵，
∴（米），
∴（米），
答：观测点，之间的距离为74米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】延长，过点C作于点D，根据锐角三角函数sin∠CBD=求出CD的值，cos∠CBD=求出BD的值，在Rt△ACD中，同理根据tan∠CAD=求出AD的值，再根据线段的和差AB=AD-BD可求解．
17．【答案】（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴，
则，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半径是4．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等可得，然后根据等角对等边可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再由等角的余角相等得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（3）设，，则，，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式将BG用含x的代数式表示出来，再由等腰三角形的性质得到，根据线段的和差列关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据CO=2x即可求解．
（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴，则，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半径是4．
18．【答案】（1）解：当时，一次函数解析式为，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
解得，，
∴，
把点代入反比例函数解析式得，
，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，
，
解得，，
∴；
（2）解：当时，同理，，，
∵点是的中点，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，
，
∴，则，
∴，则点，，
∴，
把点代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，即设一次函数与轴交点，
∴，
同理，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
当时，，
∴，，如图所示，
当时，，
∴，，如图所示，
∴若，的值为或．
答：的值为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意易得，根据中点坐标公式可得点，然后用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据可将EG和OE用含yA的代数式表示出来，则，则直线的解析式为，，然后根据三角形ABF的面积=5可得关于yA的方程，解方程即可求解；
（3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解 ．
（1）解：当时，一次函数解析式为，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
解得，，
∴，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，
∴；
（2）解：当时，同理，，，
∵点是的中点，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，，
∴，则，
∴，则点，，
∴，
把点代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，即设一次函数与轴交点，
∴，
同理，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
当时，，
∴，，如图所示，
当时，，
∴，，如图所示，
∴若，的值为或．
19．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得，根据等边对顶角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解．
20．【答案】
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
，
∴原式，
故答案为： ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可得，根据分式的性质将分式化简，再整体代换即可求解．
21．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点做，点为的中点，连接交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，
∴，，
∴，
∴，，
设，
则，，，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
∴，
在中，
，
即，
整理得：，
即，
解得：或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】根据题意画出图形，过点作，点为的中点，连接交于点，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，设，则，，，，根据勾股定理将FM、MN用含x的代数式表示出来，再Rt△FMN 中，根据勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据DF=2x即可求解．
22．【答案】5；255
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确．
由题意，
当时，输入1次一定能猜中数字：
当时，输入2次一定能猜中数字：
当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字：
当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字．
以此类推，
当时，输入8次一定能猜中数字．
故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255，
故答案为：5，255．
【分析】根据“二分法”的原理，模仿题中例子方法计算，观察计算结果，找出规律，根据变化规律即可求解．
23．【答案】且
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由得：
整理，得，
解得，，
由题意，，
当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上，
若时，恒成立，
则，
解得，即；
当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下，
若时，恒成立，
则，
解得，即，
综上，满足条件的a的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】由题意，先将y1、y2联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，根据一次函数和二次函数的性质即可求解．
24．【答案】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”列关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再根据不等关系“型家用电车落地单价≥型家用电车落地单价的”列关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
25．【答案】（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）存在，理由如下：
解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，
设，，
联立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点是定点，
∴，，，
解得：，，
经检验，在抛物线上，符合题意；
∴抛物线上存在定点，点的坐标为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点，用待定系数法求出直线的解析式，根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可得，，设，由中点坐标公式可得，将点的坐标代入直线AC的解析式可得关于t的方程，解方程求出t的值，可得点的坐标，设，用勾股定理列出关于n的方程，解方程求出的值即可求解；
（3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得，，则可表示出，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，可得点的坐标，再检验是否符合题意即可求解．
（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，
设，，
联立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点是定点，
∴，，，
解得：，，
经检验，在抛物线上，符合题意；
∴抛物线上存在定点，点的坐标为．
26．【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴点，，共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点，
∵，，
∴，，，，
当点在轴右侧时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵为的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
代入，
得，
∴直线解析式为，
∵在直线上，
∴，
化简得，
解得：（负值舍），
∴，，
则；
当在轴左侧时，如图，
同理求得，
同理得，，
则；
综上所述，或．
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，然后由相似三角形的判定“两边的比相等且这两边的夹角也相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）连接，过点作于点，由题意易得和是等腰直角三角形，由，并结合（1）中的相似三角形可求得，则可得点，，共线，设，由等边对等角和角的和差可求得，由等角对等边可得，解可得，则，可得，即可求解；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， 得出，，，，分两种情况：①当点在轴右侧时， 得出，设，则，证明，得出，，则可得，求出直线解析式为，由在直线上，得出，求解得出，得出，，即可求解；
②当在轴左侧时，同理可求解．
（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴点，，共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点，
∵，，
∴，，，，
当点在轴右侧时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵为的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
代入，
得，
∴直线解析式为，
∵在直线上，
∴，
化简得，
解得：（负值舍），
∴，，
则；
当在轴左侧时，如图，
同理求得，
同理得，，
则；
综上所述，或．
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