浙江省绍兴市诸暨市2025年5月初中毕业班适应性考试数学试题（二模）
1．（2025·诸暨二模）在1，-2，π，-四个数中，最小的数是( )
A．1 B．-2 C．π D．-
2．（2025·诸暨二模）《九章算术》中的“圆亭”，原指正圆台体形建筑物。如图是一个“圆亭” 形状的几何体，则其俯视图是( )
A． B．
C． D．
3．（2025·诸暨二模）为实现共同富裕，浙江提出夯实共同富裕的物质基础，到2025年，人均生产总值达到13万元。 数值“13万元”用科学记数法可表示为( )
A． B． C． D．
4．（2025·诸暨二模）下列式子运算正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2025·诸暨二模）对于一组统计数据6，7，6，5，6。下列说法错误的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
6．（2025·诸暨二模） 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O，若点A(3，1)的对应点D(6，2)，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·诸暨二模） 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·诸暨二模） 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A， B 重合），对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC， BD 的垂线，分别交 AC， BD 于点 E 与点 F，交 AD， BC 于点 G 与点 H，若正方形的边长是 2，则四边形 OEPF 的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025·诸暨二模） 已知反比例函数 )，第一象限有一点P，过P向坐标轴作垂线，分别交x轴，y轴于A，B点，分别交反比例函数于C，D点，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025·诸暨二模） 如图，在平行四边形ABCD中，的顶点E，F分别在边AB，AD上，满足，，，，在CE上取一点M，满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（2025·诸暨二模） 因式分解：a2-1= .
12．（2025·诸暨二模）分式方程=1的解是 .
13．（2025·诸暨二模） 如图，⊙C交⊙O于点D，BC切⊙O于点B，A点在⊙O上，若∠A=30°，则∠C为 .
14．（2025·诸暨二模）现将背面完全一样，正面分别写有“已”，“蛇”，“五”，“入”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽取的卡片上的文字为“蛇”的概率是 .
15．（2025·诸暨二模）如图，四边形ABCD中，AB=4，CD=2，连接AC，BD，点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，则EG+FG= .
16．（2025·诸暨二模）如图，在第一象限中，连接□AOBC对角线AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函数图象经过A，B两点，函数图象经过点C，则
17．（2025·诸暨二模） 计算：
18．（2025·诸暨二模） 解方程组：
19．（2025·诸暨二模）如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高线，E是BC的中点，连接AE，已知AB=8，AC=6。
（1）求AD的长；
（2）求cos∠DAE的值。
20．（2025·诸暨二模）某校开展了一项“最喜爱的社团活动”的调研，随机抽取部分学生进行问卷调查，本次参加调研的学生只选择一项最喜爱的社团活动，以下是根据调研结果绘制的不完整统计图，请根据图中信息解答下列问题。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生2000人，根据统计信息，估计该校对“绘画”的选择人数。
21．（2025·诸暨二模）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1。请借助网格和无刻度直尺按要求作图。
（1）在图①中，作出△ABC的中线CD；
（2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O。
22．（2025·诸暨二模）如图①，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两站同时出发，匀速相向而行。快车到达B站即停运休息；慢车到达A站即停运休息。下图②表示的是两车之间的距离y千米)与行驶时间x(小时)的函数图象。请结合图象信息，解答下列问题：
（1）求慢车的行驶速度；
（2）求两车相遇后到快车停运休息前，y与x之间的函数关系式；
（3）求点G的横坐标t。
23．（2025·诸暨二模） 已知二次函数y=mx2-mx-12m（m≠0）。
（1）若函数经过（2，5），求二次函数的解析式；
（2）若点A（t-1，n)，点B(t，n)均在函数图象上，求t的值；
（3）当-4≤x≤1时，函数最大值为7，求m的值。
24．（2025·诸暨二模）如图，已知矩形ABCD，在边BC，CD上分别取点E，F，连接AE和BF满足∠AEB=2∠FBC，△ABE的外接圆交BF于点G，连接AG，CG。
（1）当∠FBC=31°时，求∠GAD的度数；
（2）猜测AG和BG的数量关系，并说明理由；
（3）当AB=10，AD=11，AE//CG时，求EC的长度。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜＜0＜1＜π，
∴ 在1，-2，π，-四个数中，最小的数是-2；
故答案为：B.
【分析】根据实数大小比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图是一个“圆亭”形状的几何体，其俯视图是两个同心圆，
故答案为：A.
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线，判断即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13万=130000=1.3×105，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，不能合并，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C错误，不符合题意；
D. ，故D正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方判断即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.这组数据的平均数为：（6+7+6+5+6）=6，故A正确，不符合题意；
B.这组数据按从小到大排序：5，6，6，6，7，故中位数为：6，故B正确，不符合题意；
C.这组数据6出现的次数最多，故众数为：6，故C正确，不符合题意；
D.方差为：S2=[（6-6）2+（7-6）2+（6-6）2+（5-6）2+（6-6）2]=0.4，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念计算即可判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点A(3，1)的对应点D(6，2)，
∴△ABC~△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比是；
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
则x的解集为：，
则在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴OB=OD=BD，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴AC=BD=AB=，∠AOB=90°，
∴OB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF是矩形，∠BPF=45°，
∴OF=EP，OE=PF，∠BPF=∠ABO，
∴PF=BF，
∴PF=BF=OE，
∴四边形 OEPF 的周长为：
OE+OF+PE+PF=2(OE+OF)=2(BF+OF)=2OB=2×=；
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质及勾股定理，可得BD，OB的长度，再根据垂线的性质可证得四边形PEOF是矩形，也可得出△PBF为等腰直角三角形，即可得 四边形 OEPF 的周长等于OB长度的二倍，即可得解.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵P在第一象限，
设P(a，b)，则a>0，b>0，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，
∴四边形OAPB是矩形，
∴BP=OA=a，AP=OB=b，
∵CA=1，
∴C(a，1)，
∵点C，D在反比例函数(k>0，x>0)图象上，
∴，
∴k=a，
∵3BD=DP，
∴BD=BP=，
∴D(，b)，
∴，
∴b=4，
∴CP=AP-CA=4-1=3；
故答案为：B.
【分析】设P(a，b)，则a>0，b>0，得到BP=OA=a，AP=OB=b，推出点C的坐标，代入解析式，求出k的值，由3BD=DP得到点D的坐标，求出b的值，得到CP=AP-CA，即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AEC=∠AFC，
∴∠BEC=∠DFC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴△CEB~△CFD，
∴，
∵AF=CF=4，CE=6，
∴，
设DF=2a，则EB=3a，
∴BC=AD=4+2a，CD=AE+EB=1+3a，
∴，
即，
解得：a=1，
∴CD=CF=4，CB=CE=6，
∴∠CMF=∠A，∠FME=180°-∠CMF=180°-∠A，
∴∠CEB=∠FME，
∴FM∥AE，
又AE∥CD，
∴AE∥FM∥CD，
，
又∵CE=6，
∴CM=2；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和∠AEC=∠AFC，可证得△CEB~△CFD，再根据相似三角形对应边成比例可得出AD=BC=EC=6，再根据平行线的判定证得FM∥AE，根据平行线分线段成比例，即可求解.
11．【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x-1=2，
解得：x=3，
检验：将x=3代入（x-1）中得，
3-1=2≠0，
故x=3是原分式方程的解；
故答案为：x=3.
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可得出答案.
13．【答案】30°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC与⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵ ∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴ ∠C=90°-∠BOC=90°-60°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得出∠BOC的度数，再根据两锐角互余计算即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵有正面分别写有“巳”“蛇”“五”“入”的四张卡片，
∴任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“蛇”的概率是；
故答案为：.
【分析】根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求解即可得出答案.
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，
∴EG，FG分别是△BCD，△ABC的中位线，
∴EG=CD，FG=AB，
∵ AB=4，CD=2，
∴EG=1，FG=2，
∴ EG+FG=1+2=3；
故答案为：3.
【分析】根据题意可判断EG，FG分别是△BCD，△ABC的中位线，根据中位线定理可得EG，FG的长度，进而可得EG+FG的值.
16．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，
∵四边形AOBC是平行四边形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
设AQ=，则OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
设A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，
由条件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函数图象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函数图象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，先证明△OAB是等腰直角三角形，设A(a，b)，通过AAS证明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，再证明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根据及反比例函数的性质求解即可.
17．【答案】解：原式==1.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算三角函数、立方根、零指数幂，再加减即可.
18．【答案】解： ，
将①式变形为x=5+y，
代入②式得y=-1，
代入①式得x=4，
∴此方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6
∴BC=10
（2）解：∵E是BC的中点
∴AE=5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BC的长度，再利用面积法计算即可得出AD的长度；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE的长度，再根据三角函数计算即可得解.
20．【答案】（1）解： 人
（2）解：人；
补全图形如图所示：
（3）解：人
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据舞蹈的人数和舞蹈所占百分比得出总人数；
(2)用总人数乘40%，即可得出书法人数，即可补全统计图；
(3)用“绘画”所占百分比乘总人数可得答案.
21．【答案】（1）解：如图，CD为所求作点。
（2）解：如图，点O为所求作点。
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线；三角形的中线
【解析】【分析】(1)取AB的中点D，连接CD即可；
(2)作△ABC的三条中线，相交于点O，则点即为所求.
22．【答案】（1）解：
（2）解：D（6，0）E（10，800）
设y=kx+b
（3）解：由(2)可得
∴
∴
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)由图②可求出慢车速度；
(2)用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)先求出甲车速度，再根据路程相等列出方程，解方程求出t的值.
23．【答案】（1）解：将（2，5）代入得，
4m-2m-12m=5，
-10m=5，
解得：，
∴
（2）解： ，
，
（3）解：①m>0时，x=-4时，
y=16m+4m-12m=7
②m<0时，x=时，
综上所述，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接将点 （2，5） 代入解析式，解出m的值，即可得出二次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标的特征及抛物线的对称性即可解得t的值；
（3）根据开口方向判断最值的位置，结合区间的端点及顶点处的函数值分情况讨论即可求解.
24．【答案】（1）解：∵矩形ABCD
∴AD//BC
∴∠DAE=∠AEB
又∵∠FBC=∠GAE，∠AEB=2∠FBC
∴∠DAG=∠FBC=31°
（2）解：（方法不唯一）（注：（2）中利用（1）中31°条件则扣除（2）题中所有分数）
猜测：AG=BG
理由如下：
设∠DAG=∠GAE=∠FBC=α
则∠AEB=2α=∠AGB
∵ABCD为矩形
∴∠ABE=90°，∠BAE=90°-2α
∴∠GAB=90°-α=∠ABG
∴AG=BG
（3）解：方法1：延长AG，BC交于点P
∵∠EAP=α，∠AEB=2α
∴∠P=α=∠GAP，AE=EP
∵AG=BG
∴G是AP中点
∵CG//AE
∴C是EP中点
设CE=x，AE=EP=2x
在Rt△ABE中
（舍去）
故EC的长度为
【知识点】矩形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可得∠DAE=∠AEB，再根据圆周角定理结合∠AEB=2∠FBC，即可解答；
(2)同理(1)得∠DAG=∠FBC，设∠DAG=∠GAE=∠FBC=α，由圆周角定理得到∠AEB-2α=∠AGB，再根据矩形的性质求出∠BAE=90°-2α，∠GAB=90°-α=∠ABG即可得出结论；
(3)延长AG，BC交于点P，根据∠EAP=∠FBO∠AEB=2∠FBC，推出∠AEB=2∠EAP，根据三角形外角的性质推出∠EAP=∠P，进而得到AE=EP，由(2)知AG=BG，推出G是AP中点，C是EP中点，设CE=α，AE=EP=2α，利用勾股定理建立方程求解即可.
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市2025年5月初中毕业班适应性考试数学试题（二模）
1．（2025·诸暨二模）在1，-2，π，-四个数中，最小的数是( )
A．1 B．-2 C．π D．-
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜＜0＜1＜π，
∴ 在1，-2，π，-四个数中，最小的数是-2；
故答案为：B.
【分析】根据实数大小比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.
2．（2025·诸暨二模）《九章算术》中的“圆亭”，原指正圆台体形建筑物。如图是一个“圆亭” 形状的几何体，则其俯视图是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图是一个“圆亭”形状的几何体，其俯视图是两个同心圆，
故答案为：A.
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线，判断即可得出答案.
3．（2025·诸暨二模）为实现共同富裕，浙江提出夯实共同富裕的物质基础，到2025年，人均生产总值达到13万元。 数值“13万元”用科学记数法可表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13万=130000=1.3×105，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
4．（2025·诸暨二模）下列式子运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，不能合并，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C错误，不符合题意；
D. ，故D正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方判断即可得出答案.
5．（2025·诸暨二模）对于一组统计数据6，7，6，5，6。下列说法错误的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.这组数据的平均数为：（6+7+6+5+6）=6，故A正确，不符合题意；
B.这组数据按从小到大排序：5，6，6，6，7，故中位数为：6，故B正确，不符合题意；
C.这组数据6出现的次数最多，故众数为：6，故C正确，不符合题意；
D.方差为：S2=[（6-6）2+（7-6）2+（6-6）2+（5-6）2+（6-6）2]=0.4，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念计算即可判断得出答案.
6．（2025·诸暨二模） 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O，若点A(3，1)的对应点D(6，2)，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点A(3，1)的对应点D(6，2)，
∴△ABC~△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比是；
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案.
7．（2025·诸暨二模） 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
则x的解集为：，
则在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案.
8．（2025·诸暨二模） 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A， B 重合），对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC， BD 的垂线，分别交 AC， BD 于点 E 与点 F，交 AD， BC 于点 G 与点 H，若正方形的边长是 2，则四边形 OEPF 的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴OB=OD=BD，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴AC=BD=AB=，∠AOB=90°，
∴OB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF是矩形，∠BPF=45°，
∴OF=EP，OE=PF，∠BPF=∠ABO，
∴PF=BF，
∴PF=BF=OE，
∴四边形 OEPF 的周长为：
OE+OF+PE+PF=2(OE+OF)=2(BF+OF)=2OB=2×=；
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质及勾股定理，可得BD，OB的长度，再根据垂线的性质可证得四边形PEOF是矩形，也可得出△PBF为等腰直角三角形，即可得 四边形 OEPF 的周长等于OB长度的二倍，即可得解.
9．（2025·诸暨二模） 已知反比例函数 )，第一象限有一点P，过P向坐标轴作垂线，分别交x轴，y轴于A，B点，分别交反比例函数于C，D点，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵P在第一象限，
设P(a，b)，则a>0，b>0，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，
∴四边形OAPB是矩形，
∴BP=OA=a，AP=OB=b，
∵CA=1，
∴C(a，1)，
∵点C，D在反比例函数(k>0，x>0)图象上，
∴，
∴k=a，
∵3BD=DP，
∴BD=BP=，
∴D(，b)，
∴，
∴b=4，
∴CP=AP-CA=4-1=3；
故答案为：B.
【分析】设P(a，b)，则a>0，b>0，得到BP=OA=a，AP=OB=b，推出点C的坐标，代入解析式，求出k的值，由3BD=DP得到点D的坐标，求出b的值，得到CP=AP-CA，即可得到答案.
10．（2025·诸暨二模） 如图，在平行四边形ABCD中，的顶点E，F分别在边AB，AD上，满足，，，，在CE上取一点M，满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AEC=∠AFC，
∴∠BEC=∠DFC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴△CEB~△CFD，
∴，
∵AF=CF=4，CE=6，
∴，
设DF=2a，则EB=3a，
∴BC=AD=4+2a，CD=AE+EB=1+3a，
∴，
即，
解得：a=1，
∴CD=CF=4，CB=CE=6，
∴∠CMF=∠A，∠FME=180°-∠CMF=180°-∠A，
∴∠CEB=∠FME，
∴FM∥AE，
又AE∥CD，
∴AE∥FM∥CD，
，
又∵CE=6，
∴CM=2；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和∠AEC=∠AFC，可证得△CEB~△CFD，再根据相似三角形对应边成比例可得出AD=BC=EC=6，再根据平行线的判定证得FM∥AE，根据平行线分线段成比例，即可求解.
11．（2025·诸暨二模） 因式分解：a2-1= .
【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．（2025·诸暨二模）分式方程=1的解是 .
【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x-1=2，
解得：x=3，
检验：将x=3代入（x-1）中得，
3-1=2≠0，
故x=3是原分式方程的解；
故答案为：x=3.
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可得出答案.
13．（2025·诸暨二模） 如图，⊙C交⊙O于点D，BC切⊙O于点B，A点在⊙O上，若∠A=30°，则∠C为 .
【答案】30°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC与⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵ ∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴ ∠C=90°-∠BOC=90°-60°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得出∠BOC的度数，再根据两锐角互余计算即可得出答案.
14．（2025·诸暨二模）现将背面完全一样，正面分别写有“已”，“蛇”，“五”，“入”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽取的卡片上的文字为“蛇”的概率是 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵有正面分别写有“巳”“蛇”“五”“入”的四张卡片，
∴任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“蛇”的概率是；
故答案为：.
【分析】根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求解即可得出答案.
15．（2025·诸暨二模）如图，四边形ABCD中，AB=4，CD=2，连接AC，BD，点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，则EG+FG= .
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，
∴EG，FG分别是△BCD，△ABC的中位线，
∴EG=CD，FG=AB，
∵ AB=4，CD=2，
∴EG=1，FG=2，
∴ EG+FG=1+2=3；
故答案为：3.
【分析】根据题意可判断EG，FG分别是△BCD，△ABC的中位线，根据中位线定理可得EG，FG的长度，进而可得EG+FG的值.
16．（2025·诸暨二模）如图，在第一象限中，连接□AOBC对角线AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函数图象经过A，B两点，函数图象经过点C，则
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，
∵四边形AOBC是平行四边形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
设AQ=，则OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
设A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，
由条件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函数图象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函数图象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，先证明△OAB是等腰直角三角形，设A(a，b)，通过AAS证明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，再证明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根据及反比例函数的性质求解即可.
17．（2025·诸暨二模） 计算：
【答案】解：原式==1.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算三角函数、立方根、零指数幂，再加减即可.
18．（2025·诸暨二模） 解方程组：
【答案】解： ，
将①式变形为x=5+y，
代入②式得y=-1，
代入①式得x=4，
∴此方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
19．（2025·诸暨二模）如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高线，E是BC的中点，连接AE，已知AB=8，AC=6。
（1）求AD的长；
（2）求cos∠DAE的值。
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6
∴BC=10
（2）解：∵E是BC的中点
∴AE=5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BC的长度，再利用面积法计算即可得出AD的长度；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE的长度，再根据三角函数计算即可得解.
20．（2025·诸暨二模）某校开展了一项“最喜爱的社团活动”的调研，随机抽取部分学生进行问卷调查，本次参加调研的学生只选择一项最喜爱的社团活动，以下是根据调研结果绘制的不完整统计图，请根据图中信息解答下列问题。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生2000人，根据统计信息，估计该校对“绘画”的选择人数。
【答案】（1）解： 人
（2）解：人；
补全图形如图所示：
（3）解：人
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据舞蹈的人数和舞蹈所占百分比得出总人数；
(2)用总人数乘40%，即可得出书法人数，即可补全统计图；
(3)用“绘画”所占百分比乘总人数可得答案.
21．（2025·诸暨二模）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1。请借助网格和无刻度直尺按要求作图。
（1）在图①中，作出△ABC的中线CD；
（2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O。
【答案】（1）解：如图，CD为所求作点。
（2）解：如图，点O为所求作点。
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线；三角形的中线
【解析】【分析】(1)取AB的中点D，连接CD即可；
(2)作△ABC的三条中线，相交于点O，则点即为所求.
22．（2025·诸暨二模）如图①，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两站同时出发，匀速相向而行。快车到达B站即停运休息；慢车到达A站即停运休息。下图②表示的是两车之间的距离y千米)与行驶时间x(小时)的函数图象。请结合图象信息，解答下列问题：
（1）求慢车的行驶速度；
（2）求两车相遇后到快车停运休息前，y与x之间的函数关系式；
（3）求点G的横坐标t。
【答案】（1）解：
（2）解：D（6，0）E（10，800）
设y=kx+b
（3）解：由(2)可得
∴
∴
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)由图②可求出慢车速度；
(2)用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)先求出甲车速度，再根据路程相等列出方程，解方程求出t的值.
23．（2025·诸暨二模） 已知二次函数y=mx2-mx-12m（m≠0）。
（1）若函数经过（2，5），求二次函数的解析式；
（2）若点A（t-1，n)，点B(t，n)均在函数图象上，求t的值；
（3）当-4≤x≤1时，函数最大值为7，求m的值。
【答案】（1）解：将（2，5）代入得，
4m-2m-12m=5，
-10m=5，
解得：，
∴
（2）解： ，
，
（3）解：①m>0时，x=-4时，
y=16m+4m-12m=7
②m<0时，x=时，
综上所述，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接将点 （2，5） 代入解析式，解出m的值，即可得出二次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标的特征及抛物线的对称性即可解得t的值；
（3）根据开口方向判断最值的位置，结合区间的端点及顶点处的函数值分情况讨论即可求解.
24．（2025·诸暨二模）如图，已知矩形ABCD，在边BC，CD上分别取点E，F，连接AE和BF满足∠AEB=2∠FBC，△ABE的外接圆交BF于点G，连接AG，CG。
（1）当∠FBC=31°时，求∠GAD的度数；
（2）猜测AG和BG的数量关系，并说明理由；
（3）当AB=10，AD=11，AE//CG时，求EC的长度。
【答案】（1）解：∵矩形ABCD
∴AD//BC
∴∠DAE=∠AEB
又∵∠FBC=∠GAE，∠AEB=2∠FBC
∴∠DAG=∠FBC=31°
（2）解：（方法不唯一）（注：（2）中利用（1）中31°条件则扣除（2）题中所有分数）
猜测：AG=BG
理由如下：
设∠DAG=∠GAE=∠FBC=α
则∠AEB=2α=∠AGB
∵ABCD为矩形
∴∠ABE=90°，∠BAE=90°-2α
∴∠GAB=90°-α=∠ABG
∴AG=BG
（3）解：方法1：延长AG，BC交于点P
∵∠EAP=α，∠AEB=2α
∴∠P=α=∠GAP，AE=EP
∵AG=BG
∴G是AP中点
∵CG//AE
∴C是EP中点
设CE=x，AE=EP=2x
在Rt△ABE中
（舍去）
故EC的长度为
【知识点】矩形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可得∠DAE=∠AEB，再根据圆周角定理结合∠AEB=2∠FBC，即可解答；
(2)同理(1)得∠DAG=∠FBC，设∠DAG=∠GAE=∠FBC=α，由圆周角定理得到∠AEB-2α=∠AGB，再根据矩形的性质求出∠BAE=90°-2α，∠GAB=90°-α=∠ABG即可得出结论；
(3)延长AG，BC交于点P，根据∠EAP=∠FBO∠AEB=2∠FBC，推出∠AEB=2∠EAP，根据三角形外角的性质推出∠EAP=∠P，进而得到AE=EP，由(2)知AG=BG，推出G是AP中点，C是EP中点，设CE=α，AE=EP=2α，利用勾股定理建立方程求解即可.
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