广东省云浮市新兴县2025年中考一模数学试题
1．（2025·新兴模拟）据广东气象台发布，2024年广东高寒山区最低温度为℃．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项不符合题意；
D.，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】
负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．（2025·新兴模拟）下列字母不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．
3．（2025·新兴模拟）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：D．
【分析】
由一元一次方程解的概念可把代入方程，再解关于m的一元一次方程即可．
4．（2025·新兴模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能计算，故此选项错误，不符合题意；
B.，故此选项错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、把包含字母相同、相同字母的指数也相同的单项式叫同类项，只有同类项才可以合并，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
C、多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，并把所得的商相加；
D、积的乘方，先给每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
5．（2025·新兴模拟）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是；
故选：B.
【分析】
先求出不等式组中的每个不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”取其解集的公共部分即可得解.
6．（2025·新兴模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：A．
【分析】
先由邻补角的概念求得的度数，再由圆周角定理求出即可．
7．（2025·新兴模拟）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数在二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故选：A.
【分析】
对于反比例函数，其在每一象限内，y都随x的增大而增大.
8．（2025·新兴模拟）如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质可得，，则；由角平分线的定义可得，等量代换得，即．
9．（2025·新兴模拟）在学校即将举办的一场盛大的校园文化节活动中，学校的文艺部计划从甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人担任本次文化节的主持人，则选中甲和丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有12种等可能性的结果，恰好选中甲和丙的有2种，
∴恰好选中甲和丙的概率是．
故选：B．
【分析】
两步试验可利用列表法或树状图法求概率，注意画树状图时要保证不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
10．（2025·新兴模拟）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧，
A和B选项不正确；
时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点，
C选项不正确；
时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点，
D选项正确．
故选：D．
【分析】
对于二次函数，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，反之开口向下；当同号时，对称轴在轴左侧，反之，对称轴在轴右侧，当时，对称轴为轴；当时，抛物线经过原点；对于一次函数，当、时，直线过一、二、三象限；当、时，直线过一、三象限且过原点；当、时，直线过一、三、四象限；当、时，直线过一、二、四象限；当、时，直线过二、四象限且过原点；当、时，直线过二、三、四象限；所以要分和两种情况讨论．
11．（2025·新兴模拟）单项式的次数是 ．
【答案】4
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的次数是，
故答案为：．
【分析】
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
12．（2025·新兴模拟）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母，化分式方程为整式方程，再解出整式方程，然后检验，最后再写根．
13．（2025·新兴模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14．（2025·新兴模拟）如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：相交于点，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案为：9．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证明，再由相似比求解即可．
15．（2025·新兴模拟）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，分别为，的中点，
，
当有最小值时，有最小值，
当时，有最小值，
四边形是菱形，
，，
当时，，
的最小值，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接AN，由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，显然当时，有最小值，此时由等腰直角三角形的性质求出即可求解．
16．（2025·新兴模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算负整数指数幂，立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
17．（2025·新兴模拟）如图，是的角平分线．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）解：如下图所示即为所求，
（2）证明：是的角平分线，
，
垂直平分，交于点，
，
又，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过两点作直线即可；
（2）由角平分线的概念和垂直平分线的性质可得，，又，可利用ASA证明，则．
（1）解：如下图所示即为所求，
（2）证明：是的角平分线，
，
垂直平分，交于点，
，
又，
，
．
18．（2025·新兴模拟）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里．
（1）求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号）
（2）一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点作于点，如图，
∴，
根据题意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根据题意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴该船到达海岛D处所用的时间时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，解得，再解求出即可；
（2）先证明是直角三角形，再解求出的长，再根据时间=路程÷速度可得答案．
（1）解：过点作于点，如图，
∴，
根据题意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根据题意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴该船到达海岛D处所用的时间时．
19．（2025·新兴模拟）为了深入学习贯彻党的二十届三中全会精神，某校举行了“学三中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛．现从八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：；；；），现在给出了部分信息如下：
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：93，94，95．
九年级10名学生的竞赛成绩：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图
抽取的八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 92 92
中位数 92.5
众数 100
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中抽取的哪个年级的学生对三中全会知识的掌握程度更好？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若该校八、九年级各有300名学生参加了此次竞赛，请估计该校参加此次竞赛成绩（）为优秀的学生总人数．
【答案】（1），，
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
【分析】
（1）观察扇形和统计表，可用1减去其它组的百分比即可求出的值，根据中位数、众数的计算方法进行计算即可求出和的值；
（2）求中位数，先对八年级所有数据按照从小到大的顺序排列，再取第5名和第6名成绩的平均值；九年级的众数，是九年级10名学生中成绩出现次数最多的哪个数据，即99；然后再比较中位数、众数的大小得出答案；
（3）根据样本中八、九年级优秀人数所占的百分比即可求解．
（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
20．（2025·新兴模拟）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元．
（1）求，两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？
【答案】（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设产品每件销售元，产品每件销售元，根据销售产品件，产品件，共收入元；如果销售产品件，产品件，共收入元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设销售产品件，则销售产品件，根据销售、两种产品总费用不超过元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
21．（2025·新兴模拟）综合与实践
主题：二次函数与刹车距离的探究
素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离．
素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系．
素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米．
请根据上述素材，解答下列问题．
（1）求与的二次函数关系式．
（2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间）
【答案】（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
【知识点】配方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）依据题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，再利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，可得要求刹车距离不超过，从而结合（1）可令，故，求出后即可判断得解．
（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，
∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
22．（2025·新兴模拟）如图，是正方形的外接圆．
（1）如图1，若是上的一点，Q是上的一点，且．
①求证：．
②若，求的直径．
（2）如图2，若点P在上，过点作，求证：．
【答案】（1）①证明：∵，∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：如图2，过点作，交于点
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
、
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）①由圆周角定理知，则由正方形的四边相等结合已知DQ=BP，可利用SAS证明即可；
② 由可证明，则由勾股定理可求出，则；由于正方形中，连接BD，则BD为的直径，再在中应用勾股定理即可．
（2）同①，可过点作交于点，则可利用ASA证明，可得，即为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一知AH是斜边PQ上的中线，最后再等量代换即可得出结论．
（1）①证明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：如图2，连接，过点作，交于点
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（2025·新兴模拟）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
【答案】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）对于，当时，；当时，，即，又，故结论成立；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
1 / 1广东省云浮市新兴县2025年中考一模数学试题
1．（2025·新兴模拟）据广东气象台发布，2024年广东高寒山区最低温度为℃．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2025·新兴模拟）下列字母不属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·新兴模拟）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2025·新兴模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·新兴模拟）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·新兴模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·新兴模拟）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
8．（2025·新兴模拟）如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
9．（2025·新兴模拟）在学校即将举办的一场盛大的校园文化节活动中，学校的文艺部计划从甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人担任本次文化节的主持人，则选中甲和丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·新兴模拟）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·新兴模拟）单项式的次数是 ．
12．（2025·新兴模拟）分式方程的解为 ．
13．（2025·新兴模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．（2025·新兴模拟）如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为 ．
15．（2025·新兴模拟）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
16．（2025·新兴模拟）计算：．
17．（2025·新兴模拟）如图，是的角平分线．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求证：．
18．（2025·新兴模拟）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里．
（1）求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号）
（2）一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号）
19．（2025·新兴模拟）为了深入学习贯彻党的二十届三中全会精神，某校举行了“学三中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛．现从八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：；；；），现在给出了部分信息如下：
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：93，94，95．
九年级10名学生的竞赛成绩：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图
抽取的八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 92 92
中位数 92.5
众数 100
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中抽取的哪个年级的学生对三中全会知识的掌握程度更好？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若该校八、九年级各有300名学生参加了此次竞赛，请估计该校参加此次竞赛成绩（）为优秀的学生总人数．
20．（2025·新兴模拟）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元．
（1）求，两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？
21．（2025·新兴模拟）综合与实践
主题：二次函数与刹车距离的探究
素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离．
素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系．
素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米．
请根据上述素材，解答下列问题．
（1）求与的二次函数关系式．
（2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间）
22．（2025·新兴模拟）如图，是正方形的外接圆．
（1）如图1，若是上的一点，Q是上的一点，且．
①求证：．
②若，求的直径．
（2）如图2，若点P在上，过点作，求证：．
23．（2025·新兴模拟）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项不符合题意；
D.，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】
负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．
3．【答案】D
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：D．
【分析】
由一元一次方程解的概念可把代入方程，再解关于m的一元一次方程即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能计算，故此选项错误，不符合题意；
B.，故此选项错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、把包含字母相同、相同字母的指数也相同的单项式叫同类项，只有同类项才可以合并，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
C、多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，并把所得的商相加；
D、积的乘方，先给每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是；
故选：B.
【分析】
先求出不等式组中的每个不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”取其解集的公共部分即可得解.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：A．
【分析】
先由邻补角的概念求得的度数，再由圆周角定理求出即可．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数在二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故选：A.
【分析】
对于反比例函数，其在每一象限内，y都随x的增大而增大.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质可得，，则；由角平分线的定义可得，等量代换得，即．
9．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有12种等可能性的结果，恰好选中甲和丙的有2种，
∴恰好选中甲和丙的概率是．
故选：B．
【分析】
两步试验可利用列表法或树状图法求概率，注意画树状图时要保证不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧，
A和B选项不正确；
时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点，
C选项不正确；
时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点，
D选项正确．
故选：D．
【分析】
对于二次函数，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，反之开口向下；当同号时，对称轴在轴左侧，反之，对称轴在轴右侧，当时，对称轴为轴；当时，抛物线经过原点；对于一次函数，当、时，直线过一、二、三象限；当、时，直线过一、三象限且过原点；当、时，直线过一、三、四象限；当、时，直线过一、二、四象限；当、时，直线过二、四象限且过原点；当、时，直线过二、三、四象限；所以要分和两种情况讨论．
11．【答案】4
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的次数是，
故答案为：．
【分析】
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母，化分式方程为整式方程，再解出整式方程，然后检验，最后再写根．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14．【答案】9
【知识点】相似三角形的应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：相交于点，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案为：9．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证明，再由相似比求解即可．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，分别为，的中点，
，
当有最小值时，有最小值，
当时，有最小值，
四边形是菱形，
，，
当时，，
的最小值，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接AN，由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，显然当时，有最小值，此时由等腰直角三角形的性质求出即可求解．
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算负整数指数幂，立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
17．【答案】（1）解：如下图所示即为所求，
（2）证明：是的角平分线，
，
垂直平分，交于点，
，
又，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过两点作直线即可；
（2）由角平分线的概念和垂直平分线的性质可得，，又，可利用ASA证明，则．
（1）解：如下图所示即为所求，
（2）证明：是的角平分线，
，
垂直平分，交于点，
，
又，
，
．
18．【答案】（1）解：过点作于点，如图，
∴，
根据题意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根据题意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴该船到达海岛D处所用的时间时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，解得，再解求出即可；
（2）先证明是直角三角形，再解求出的长，再根据时间=路程÷速度可得答案．
（1）解：过点作于点，如图，
∴，
根据题意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根据题意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴该船到达海岛D处所用的时间时．
19．【答案】（1），，
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
【分析】
（1）观察扇形和统计表，可用1减去其它组的百分比即可求出的值，根据中位数、众数的计算方法进行计算即可求出和的值；
（2）求中位数，先对八年级所有数据按照从小到大的顺序排列，再取第5名和第6名成绩的平均值；九年级的众数，是九年级10名学生中成绩出现次数最多的哪个数据，即99；然后再比较中位数、众数的大小得出答案；
（3）根据样本中八、九年级优秀人数所占的百分比即可求解．
（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
20．【答案】（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设产品每件销售元，产品每件销售元，根据销售产品件，产品件，共收入元；如果销售产品件，产品件，共收入元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设销售产品件，则销售产品件，根据销售、两种产品总费用不超过元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
21．【答案】（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
【知识点】配方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）依据题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，再利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，可得要求刹车距离不超过，从而结合（1）可令，故，求出后即可判断得解．
（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，
∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
22．【答案】（1）①证明：∵，∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：如图2，过点作，交于点
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
、
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）①由圆周角定理知，则由正方形的四边相等结合已知DQ=BP，可利用SAS证明即可；
② 由可证明，则由勾股定理可求出，则；由于正方形中，连接BD，则BD为的直径，再在中应用勾股定理即可．
（2）同①，可过点作交于点，则可利用ASA证明，可得，即为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一知AH是斜边PQ上的中线，最后再等量代换即可得出结论．
（1）①证明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：如图2，连接，过点作，交于点
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）对于，当时，；当时，，即，又，故结论成立；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
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