浙江省杭州市滨江2025年中考一模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·滨江模拟）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数已有记载．若收入元记为元，则支出元记为（ ）元
A． B． C． D．
2．（2025·滨江模拟）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
3．（2025·滨江模拟）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．（2025·滨江模拟）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·滨江模拟）节约用水，从我做起．小滨把自己家1月份至6月份的用水量绘制成如图所示的折线图．则小滨家这6个月用水量的中位数是（ ）吨
A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
6．（2025·滨江模拟）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·滨江模拟）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·滨江模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·滨江模拟）函数图象上有两点（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·滨江模拟）如图，是的直径，，点为劣弧（不含端点）上一点，连接，分别交，于点．若的半径为1，记，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·滨江模拟）分解因式： ．
12．（2025·滨江模拟）半径为的中，圆心角所对的弧长为 ．（结果保留）
13．（2025·滨江模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
14．（2025·滨江模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
15．（2025·滨江模拟）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
16．（2025·滨江模拟）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．
17．（2025·滨江模拟）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025·滨江模拟）解方程：
（1）．
（2）．
19．（2025·滨江模拟）为更好地了解居民健身项目，某镇决定对该镇居民进行一次抽样调查．他们将居民日常健身项目分成三类：类：田径；类：球类；类：游泳．现将调查结果绘制成如下统计图，请结合下图所给信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量是______．
（2）补全条形统计图．
（3）若该镇居民大约有人，请估计该镇参加类项目的人数．
20．（2025·滨江模拟）如图，在中，，若，．
（1）求的长．
（2）若是斜边上的中线，求的值．
21．（2025·滨江模拟）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天．
①求关于的函数表达式．
②若时，求的取值范围．
（2）若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？
22．（2025·滨江模拟）如图1，在正方形中，过对角线交点的两条互相垂直的直线，交该正方形各边于点．求证：与把该正方形分成面积相等的四部分．
小滨、小江在完成上述解答后，进一步思考，若将图形一般化，是否也会有类似结论？两位同学进行了如下探究．
（1）如图2，在矩形中，过对角线交点的两条直线交该矩形各边于点，，．
小滨：若．则与把该矩形分成面积相等的四部分．
小江：若，则与把该矩形分成面积相等的四部分．
请判断小滨、
是否正确，并说明理由．
（2）请仿照小滨、小江同学的探究过程，写出一个类似的真命题：如图3，在中，______．
23．（2025·滨江模拟）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是．
（1）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：．
24．（2025·滨江模拟）已知，是的弦，于点，且，连接．
（1）如图1，若是的直径，求的度数．
（2）如图2，求证：①，②
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入元记为元，
则支出元记为，
故选：A．
【分析】
正负数表示一对相反意义的量．
2．【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察可得，主视图是长方形，俯视图是长方形，左视图是三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故选：A．
【分析】
根据几何体的三视图确定出几何体的名称即可．
4．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
【分析】
先利用勾股定理求出，则，由于点B在原点右侧，即点所表示的数为．
5．【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：由折线统计图可得6月份的用水量排列为：6，8，9，10，12，15，
则中位数为，
故选：C．
【分析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形．
根据题意，得，
化简，得．
故选：A．
【分析】
先利用已知分别表示出阴影部分一个矩形的长和宽，再利用割补法表示出阴影部分的总面积是即可列出关于x的一元二次方程．
8．【答案】B
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大，
A、时，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故A错误，不符合题意；
B、可举反例，若，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故B错误，不符合题意；
C、可举反例，若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故C错误，不符合题意；
D、若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．因此需要分类讨论，即当时、当时或时分别进行判断即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵是的直径，，，
∴，，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意，
故选：D．
【分析】
如图，连接AC，可得，，由圆周角定理可得、则由三角形外角的性质可得，则可证明，由相似比可得，即，整理得．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长为，
故答案为：．
【分析】
弧长公式．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
14．【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可画树状图为：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况，
∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点，
∵菱形的周长和面积分别为12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵折叠，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，高，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的运算，先利用绝对值，负整数指数幂，开立方化简，再进行加减即可；
（2）整式的混合运算，先利用乘法公式分别计算出括号内的乘法算式，再合并同类项，最后再利用多项式除以单项式的运算法则计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
，
解得：；
（2）解：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为．
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的二次项系数为1时可利用配方法求解，其步骤是先把常数项移至等号右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，最后再开平方即可；
（2）解分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再写根．
（1）解：
，
解得：；
（2）解：
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为．
19．【答案】（1）1000
（2）解：由题意得类人数为（人），
则补全统计图为：
（3）解：估计该镇参加类项目的人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可知类人数为人，由扇形图可知类占样本的百分比为，
则本次抽样的样本容量是（人），
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据类人数和所占百分比可求出本次抽样的样本容量；
（2）根据样本容量和其余类的人数求出类人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用该镇居民总人数乘以类项目所占的百分比即可．
（1）解：由统计图可知类人数为人，由扇形图可知类占样本的百分比为，
则本次抽样的样本容量是（人），
故答案为：；
（2）解：由题意得类人数为（人），
则补全统计图为：
（3）解：估计该镇参加类项目的人数为（人）．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】
（1）先由锐角三角形函数的概念表示出AB与AC的数量关系，再分别设出AB与AC，再结合已知BC的长度应用勾股定理即可求解；
（2）如图，可过点作于点构造直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半先求出CD的长，此时可设，则，利用勾股定理建立关于的方程并求出，再求即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：①由题意得：，
②∵函数在上递减，
∴当x=80时，函数值最小，此时，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法即可；
②对于反比例函数，当时，在每一个分支内，都随的增大而减小；因此令，则可得；则当时，；
（2）直接用每天最低运输量除以每辆卡车的载重量即可．
（1）解：①由题意得：，
②∵函数在上递减，
∴当x=80时，函数值最小，此时，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
22．【答案】（1）解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：过点作，垂足为点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心对称图形，
∴，
∴，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分，
故小滨的猜想正确；
如图：过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定把该矩形分成面积相等的四部分，
∴小江的猜想错误；
（2）在 中，过对角线交点的两条直线交其各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（2）
解：写出的真命题为：在 中，过对角线交点的两条直线交其各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分．
【分析】
（1）如图2所示，分别过点O作AB、AD的垂线段OT、OP，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可证T、P分别为AB和AD的中点，由三角形中位线定理得OP等于AB的一半、OT等于AD的一半，则，同理，化比例式为等积式可得，则四边形OEAG的面积等于三角形AOB的面积等于矩形ABCD面积的四分之一，故小滨说法正确；
由于，则可利用同角的余角相等结合垂直的概念证明，当且仅当相似比为1时才有，故不一定等于，即不一定等于，故小江的说法有误；
（2）如图3所示，由小滨的作法知，对于任意平行四边形ABCD，经过对角线交点的直线EF和GH分别交四边形的两组对边于点E、F、G、H ，若满足，则EF与GH等分四边形ABCD的面积．
（1）解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：
过点作，垂足为点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心对称图形，
∴，
∴，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分，
故小滨的猜想正确；
如图：过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定把该矩形分成面积相等的四部分，
∴小江的猜想错误；
（2）解：写出的真命题为：在中，过对角线交点的两条直线交该平行四边形各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分．
23．【答案】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下：
当时，，
则点在该函数的图象上；
（2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，
∵为常数，
∴，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）计算当时的函数值是否等于即可判断；
（2）对于二次函数，其顶点坐标为，即分别用含k的代数式表示出h和m，则h+m是关于k的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则h+m有最大值．
（1）解：点在该函数的图象上，理由如下：
当时，，
则点在该函数的图象上；
（2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，
∵为常数，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取点，使得，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）由于同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即，因此可连接OD，由于AB是直径且，则，再由邻补角的概念求得的度数即可；
（2）①如图，连接BD，为便于计算，可设，因为，则，由于，则由直角三角形两锐互余得，，由三角形外角的性质得，则即可证明；
②如图，在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，而，再等量代换即可求证．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取点，使得，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省杭州市滨江2025年中考一模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·滨江模拟）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数已有记载．若收入元记为元，则支出元记为（ ）元
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入元记为元，
则支出元记为，
故选：A．
【分析】
正负数表示一对相反意义的量．
2．（2025·滨江模拟）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
3．（2025·滨江模拟）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察可得，主视图是长方形，俯视图是长方形，左视图是三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故选：A．
【分析】
根据几何体的三视图确定出几何体的名称即可．
4．（2025·滨江模拟）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
【分析】
先利用勾股定理求出，则，由于点B在原点右侧，即点所表示的数为．
5．（2025·滨江模拟）节约用水，从我做起．小滨把自己家1月份至6月份的用水量绘制成如图所示的折线图．则小滨家这6个月用水量的中位数是（ ）吨
A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：由折线统计图可得6月份的用水量排列为：6，8，9，10，12，15，
则中位数为，
故选：C．
【分析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
6．（2025·滨江模拟）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
7．（2025·滨江模拟）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形．
根据题意，得，
化简，得．
故选：A．
【分析】
先利用已知分别表示出阴影部分一个矩形的长和宽，再利用割补法表示出阴影部分的总面积是即可列出关于x的一元二次方程．
8．（2025·滨江模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
9．（2025·滨江模拟）函数图象上有两点（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大，
A、时，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故A错误，不符合题意；
B、可举反例，若，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故B错误，不符合题意；
C、可举反例，若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故C错误，不符合题意；
D、若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．因此需要分类讨论，即当时、当时或时分别进行判断即可.
10．（2025·滨江模拟）如图，是的直径，，点为劣弧（不含端点）上一点，连接，分别交，于点．若的半径为1，记，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵是的直径，，，
∴，，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意，
故选：D．
【分析】
如图，连接AC，可得，，由圆周角定理可得、则由三角形外角的性质可得，则可证明，由相似比可得，即，整理得．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·滨江模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．（2025·滨江模拟）半径为的中，圆心角所对的弧长为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长为，
故答案为：．
【分析】
弧长公式．
13．（2025·滨江模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
14．（2025·滨江模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
15．（2025·滨江模拟）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可画树状图为：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况，
∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
16．（2025·滨江模拟）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点，
∵菱形的周长和面积分别为12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵折叠，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，高，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．
17．（2025·滨江模拟）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的运算，先利用绝对值，负整数指数幂，开立方化简，再进行加减即可；
（2）整式的混合运算，先利用乘法公式分别计算出括号内的乘法算式，再合并同类项，最后再利用多项式除以单项式的运算法则计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·滨江模拟）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
，
解得：；
（2）解：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为．
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的二次项系数为1时可利用配方法求解，其步骤是先把常数项移至等号右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，最后再开平方即可；
（2）解分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再写根．
（1）解：
，
解得：；
（2）解：
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为．
19．（2025·滨江模拟）为更好地了解居民健身项目，某镇决定对该镇居民进行一次抽样调查．他们将居民日常健身项目分成三类：类：田径；类：球类；类：游泳．现将调查结果绘制成如下统计图，请结合下图所给信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量是______．
（2）补全条形统计图．
（3）若该镇居民大约有人，请估计该镇参加类项目的人数．
【答案】（1）1000
（2）解：由题意得类人数为（人），
则补全统计图为：
（3）解：估计该镇参加类项目的人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可知类人数为人，由扇形图可知类占样本的百分比为，
则本次抽样的样本容量是（人），
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据类人数和所占百分比可求出本次抽样的样本容量；
（2）根据样本容量和其余类的人数求出类人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用该镇居民总人数乘以类项目所占的百分比即可．
（1）解：由统计图可知类人数为人，由扇形图可知类占样本的百分比为，
则本次抽样的样本容量是（人），
故答案为：；
（2）解：由题意得类人数为（人），
则补全统计图为：
（3）解：估计该镇参加类项目的人数为（人）．
20．（2025·滨江模拟）如图，在中，，若，．
（1）求的长．
（2）若是斜边上的中线，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】
（1）先由锐角三角形函数的概念表示出AB与AC的数量关系，再分别设出AB与AC，再结合已知BC的长度应用勾股定理即可求解；
（2）如图，可过点作于点构造直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半先求出CD的长，此时可设，则，利用勾股定理建立关于的方程并求出，再求即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴．
21．（2025·滨江模拟）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天．
①求关于的函数表达式．
②若时，求的取值范围．
（2）若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？
【答案】（1）解：①由题意得：，
②∵函数在上递减，
∴当x=80时，函数值最小，此时，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法即可；
②对于反比例函数，当时，在每一个分支内，都随的增大而减小；因此令，则可得；则当时，；
（2）直接用每天最低运输量除以每辆卡车的载重量即可．
（1）解：①由题意得：，
②∵函数在上递减，
∴当x=80时，函数值最小，此时，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
22．（2025·滨江模拟）如图1，在正方形中，过对角线交点的两条互相垂直的直线，交该正方形各边于点．求证：与把该正方形分成面积相等的四部分．
小滨、小江在完成上述解答后，进一步思考，若将图形一般化，是否也会有类似结论？两位同学进行了如下探究．
（1）如图2，在矩形中，过对角线交点的两条直线交该矩形各边于点，，．
小滨：若．则与把该矩形分成面积相等的四部分．
小江：若，则与把该矩形分成面积相等的四部分．
请判断小滨、
是否正确，并说明理由．
（2）请仿照小滨、小江同学的探究过程，写出一个类似的真命题：如图3，在中，______．
【答案】（1）解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：过点作，垂足为点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心对称图形，
∴，
∴，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分，
故小滨的猜想正确；
如图：过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定把该矩形分成面积相等的四部分，
∴小江的猜想错误；
（2）在 中，过对角线交点的两条直线交其各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（2）
解：写出的真命题为：在 中，过对角线交点的两条直线交其各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分．
【分析】
（1）如图2所示，分别过点O作AB、AD的垂线段OT、OP，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可证T、P分别为AB和AD的中点，由三角形中位线定理得OP等于AB的一半、OT等于AD的一半，则，同理，化比例式为等积式可得，则四边形OEAG的面积等于三角形AOB的面积等于矩形ABCD面积的四分之一，故小滨说法正确；
由于，则可利用同角的余角相等结合垂直的概念证明，当且仅当相似比为1时才有，故不一定等于，即不一定等于，故小江的说法有误；
（2）如图3所示，由小滨的作法知，对于任意平行四边形ABCD，经过对角线交点的直线EF和GH分别交四边形的两组对边于点E、F、G、H ，若满足，则EF与GH等分四边形ABCD的面积．
（1）解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：
过点作，垂足为点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形是中心对称图形，
∴，
∴，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分，
故小滨的猜想正确；
如图：过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，但不一定全等，
∴不一定等于，
故不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定把该矩形分成面积相等的四部分，
∴小江的猜想错误；
（2）解：写出的真命题为：在中，过对角线交点的两条直线交该平行四边形各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴与把该矩形分成面积相等的四部分．
23．（2025·滨江模拟）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是．
（1）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：．
【答案】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下：
当时，，
则点在该函数的图象上；
（2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，
∵为常数，
∴，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）计算当时的函数值是否等于即可判断；
（2）对于二次函数，其顶点坐标为，即分别用含k的代数式表示出h和m，则h+m是关于k的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则h+m有最大值．
（1）解：点在该函数的图象上，理由如下：
当时，，
则点在该函数的图象上；
（2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，
∵为常数，
∴，
∴．
24．（2025·滨江模拟）已知，是的弦，于点，且，连接．
（1）如图1，若是的直径，求的度数．
（2）如图2，求证：①，②
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取点，使得，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）由于同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即，因此可连接OD，由于AB是直径且，则，再由邻补角的概念求得的度数即可；
（2）①如图，连接BD，为便于计算，可设，因为，则，由于，则由直角三角形两锐互余得，，由三角形外角的性质得，则即可证明；
②如图，在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，而，再等量代换即可求证．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②在上取点，使得，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1
