5.3 三次函数的图象与性质 课件 (共13张PPT)

(共13张PPT)
三次函数的图象与性质
教材版本：普通高中数学人教A版
授课教师： 学校：
形如
的函数叫做三次函数.
三次函数的概念：
探究：初识系数 a, b, c, d 的变化将怎样影响三次函数的图像与性质
①类比二次函数你能猜想哪个系数对函数的单调性没有影响？
②观察系数a变化时函数图象有何特征？
③当系数a >0时，系数b和c分别变化时，图象有
何特征？
思考：
利用信息技术工具画出三次函数
的图象，改变 a, b, c, d 的值，观察图象的形状并思考以下问题.
借助工具、尝试探究
图象
问题：你能归纳出三次函数的大致形状吗？描述它的图象有什么特点？
借助工具、尝试探究
我们通过数学软件观察了三次函数的图象，下面我们再用导数研究它的单调区间，若存在极值并求出相应的极值点.
设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则 f ′ (x) =3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形：
情形1 函数f ′ (x)没有零点，f ′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图．
（1）若a > 0，则f ′ (x)恒为正，
f (x)在(－∞，＋∞)上递增．
（2）若a < 0，则 f ′ (x)恒为负，
f (x)在(－∞，＋∞)上递减．
三次函数的单调性与极值：
设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．
可能有以下三种情形：
情形2 函数f ′ (x)有一个零点x = w，如图．
（1）若a > 0，则f ′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正，
f (x)在(－∞，＋∞)上递增．
（2）若a < 0，则f ′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负，
f (x)在(－∞，＋∞)上递减．
三次函数的单调性与极值：
情形3 函数f ′ (x)有两个零点x1和x2，如图．
（1）若a > 0，则f ′ (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)为正，在(x1，x2)为负，
对应地， f (x) 在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增．
由此可见f (x)在x = x1 处取得极大值，在x = x2 处取得极小值．
情形3 函数f ′ (x)有两个零点x = x1和x = x2，如图．
（2）若a < 0，则f ′ (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)为负，在(x1，x2)为正，
对应地， f (x)在(－∞，x1)上递减，在(x1，x2)上递增，在(x2，＋∞)上递减．
由此可见f (x)在x = x1处取得极小值，在x = x2处取得极大值．
归 纳 总 结
三次函数的图象与性质
三次函数的单调性与极值：
设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．
f ′ (x)的判别式为 ．
f ′ (x)的图像 f (x)的图像 f (x)的单调性 f (x)的极值
a>0 ≤0 在(－∞，＋∞)上递增 无极值
>0 在(－∞，x1)上递增，在( x1 ， x2 )上递减， 在(x2，＋∞)上递增 极大值 f (x1)
极小值f (x2)
三次函数的单调性与极值：
设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．
f ′ (x)的判别式为 ．
f ′ (x)的图像 f (x)的图像 f (x)的单调性 f (x)的极值
a<0 ≤0 在(－∞，＋∞)上递减 无极值
>0 在(－∞，x1)上递减，在(x1，x2)上递增， 在(x2，＋∞)上递减 极大值f (x2)
极小值f (x1)
谢谢！