(共48张PPT)
微专题培优提升五 竖直面内的圆周运动模型
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 进一步熟悉变速圆周运动的各种特点．
科学思维 (1)通过实例分析并建立竖直面内圆周运动模型．
(2)掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法．
科学态度
与责任 通过生活、生产实例的分析，体会物理规律来源于生产生活而又服务于生产生活．
探究点一 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”．
轻绳模型
弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
动力学方程
临界特征
mg＋F
例1 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是( )
答案：D
例2 (多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案：BD
答案：A
练2 [2024·德州市高一期末]杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
探究点二 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型
1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”．
轻杆模型
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
动力学方程
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
答案：C
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光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点 球A做圆周运动的半径为L，球B做圆周运动的半径为2L
球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力 球B在最高点只受重力作用，重力恰好提供向心力
例4 [2024·山东惠民县第一中学高一期末]如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22 kg，半径为0.5 m．质量为0.1 kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度g取10 m/s2.则小球在最高点的速度大小为( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
答案：B
答案：C
解析：由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；小球通过最低点时由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向向上，则小球受到的弹力方向也向上，故C正确；在下半圆运动时，只能受到外侧管壁弹力，故D错误．
答案：C
答案：BC
3．(6分)(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )
A．方向一定竖直向上
B．方向可能竖直向下
C．大小可能为0
D．大小不可能为0
答案：BC
4．(4分)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案：B
答案：B
6．(16分)物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？
(2)在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多大？
(3)在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．
7.(16分)[2024·天津市高一期中]如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，不计空气阻力，重力加速度为g.小球通过最高点B时
(1)若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg，求小球从管口飞出时的速率v1；
(2)若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v2；
(3)若小球第一次以v1飞出管口，第二次以v2飞出管口，求两次落地点间的距离．
答案：B
9．(16分)[2024·怀化市湖天中学高二学业考试]某人站在一平台上，用长L＝0.6 m的轻细线拴一个质量为m＝0.6 kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，最高点A距地面高度为3.2 m，当小球转到最高点A时，人突然松手，小球被水平抛出，落地点B与A点的水平距离BC＝4.8 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2.求：
(1)小球从A到B的时间；
答案：0.8 s
(2)小球离开最高点时的速度大小；
答案：6 m/s
(3)人松手前小球运动到A点时，绳对小球的拉力大小．
答案：30 N微专题培优提升五 竖直面内的圆周运动模型
探究点一 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”．
轻绳模型
弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
动力学方程 ________＝m
临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度
2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系
(1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零．
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．
(3)v>时，mg例1 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是( )
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
[解题心得]
例2 (多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
[解题心得]
练1 长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g.今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为( )
A．mg B．2mg
C．3mg D．
练2 [2024·德州市高一期末]杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
探究点二 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型
1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”．
轻杆模型
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
动力学方程 mg±F＝m
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化
(1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力．
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小．
(3)v>时，mg例3 如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
教你解决问题
题干信息 获取信息
光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点 球A做圆周运动的半径为L，球B做圆周运动的半径为2L
球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力 球B在最高点只受重力作用，重力恰好提供向心力
[解题心得]
例4 [2024·山东惠民县第一中学高一期末]如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22 kg，半径为0.5 m．质量为0.1 kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度g取10 m/s2.则小球在最高点的速度大小为( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
[解题心得]
练3 [2024·南通市高一期末]如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球( )
A．可能做匀速圆周运动
B．通过最高点时的最小速度为
C．通过最低点时受到的弹力向上
D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力
温馨提示：请完成分层训练素养提升(十四)
微专题培优提升五 竖直面内的圆周运动模型
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
1．mg＋F
[例1] 解析：设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误．
答案：D
[例2] 解析：在最高点时，当人与保险带及座位间恰好没有作用力时，由重力提供向心力mg＝，得临界速度为v0＝，当速度v>时，座位对人产生压力，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误；当人在最高点的速度v>时，座位对人有压力，当座位对人的压力为mg时，有mg＋mg＝m，解得v＝，所以当人在最高点速度为v＝时，人在最高点对座位压力大小为mg，故B正确；人在最低点时，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，故FN>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确．
答案：BD
练1 解析：小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有mg＋2FTcos 30°＝m，解得FT＝mg，故选项A正确．
答案：A
练2 解析：(1)在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小，即mg＝，
解得vmin＝ m/s.
(2) 解析：因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有FN＋mg＝m，
解得FN＝10 N，
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力为F′N＝FN＝10 N.
答案：(1) m/s (2)10 N
探究点二
[例3] 解析：球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误．
答案：C
[例4] 解析：根据题意，对圆管受力分析，由平衡条件可知，小球在最高点对圆管有竖直向上的作用力，大小等于圆管的重力，由牛顿第三定律可知，圆管对小球有竖直向下的作用力，大小等于圆管的重力，在最高点，对小球，由牛顿第二定律有Mg＋mg＝，代入数据，解得v＝4 m/s，故选B.
答案：B
练3 解析：由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；小球通过最低点时由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向向上，则小球受到的弹力方向也向上，故C正确；在下半圆运动时，只能受到外侧管壁弹力，故D错误．
答案：C
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