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微专题培优提升一 运动的合成与分解的两个模型
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 通过运动的合成与分解，掌握把复杂运动分解为简单运动的物理思想．
科学思维 (1)能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题．
(2)掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法．
科学态度
与责任 领略自然界物体运动的奇妙与和谐，发展学生对科学的好奇心与求知欲．
探究点一 小船渡河问题
【情境思考】
一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河正面相对．驾着小船从码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B.驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移到C位置，这是为什么呢？
答案：小船渡河同时参与了两个运动，一是小船沿与河岸垂直的方向运动；二是小船沿河岸顺流而下的运动．
【思维提升】
1．模型条件
(1)小船同时参与两个匀速直线运动．
(2)一个分运动(水的运动)速度大小和方向保持不变，另一个分运动(船在静水中的运动)速度大小不变，方向可在一定范围内变化．
2．模型特点
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：船在静水中的速度v1、水的流速v2、船的实际速度v.
3．三种情况
情况 图示 说明
渡河
时间
最短
渡河
位移
最短
例1 [2024·商洛市高一期末]某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示．抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为( )
A．30 s B．60 s C．75 s D．100 s
答案：A
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
答案：
(1)40 s 正对岸下游120 m处
(2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s
(3)船头指向与河岸的上游成60°角
题后反思
小船渡河问题的分析思路
练1 曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗，后来发展成为文人墨客诗酒唱酬的一种雅事．大家坐在河渠两旁，在上流放置觞(木质酒杯)，觞顺流而下，停在谁的面前，谁就取杯饮酒．如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东漂向下游时，突然吹来一阵风速不变的北风，则( )
A．觞可能沿着运动轨迹1垂直靠岸
B．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸
C．在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向
D．觞的加速度方向时刻改变
答案：C
解析：若没有风吹，则觞随着河水自西向东漂向下游，现有北风吹来，根据图中风向，结合运动的合成，可知觞可能沿着运动轨迹3运动，但不可能沿着运动轨迹4垂直靠岸，因为觞具有自西向东的水流速度；由于风速不变，则觞的加速度方向不变，在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向．故选C.
练2 通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中．我们把某次救人的情景简化为理想情境：河岸平直，河宽为100 m，河水流速为1 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则( )
A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为100 s
C．船在河水中的实际速度大小可能是2 m/s
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
答案：C
探究点二 绳(或杆)端速度分解模型
【思维提升】
1．关联速度
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
2．常见的模型
答案：D
例4 如图所示，水平面上有一圆形齿轮，可绕圆心位置的固定转轴O转动．MN为一光滑水平凹槽，带有锯齿的连杆ab的b端连有一光滑滚珠，滚珠左侧连接有水平推杆．ab连杆上的锯齿与齿轮咬合，当水平推杆向右推动滚珠时，ab连杆会带动齿轮转动．若在某次向右推动滚珠过程中，齿轮做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．连杆ab的a端做加速直线运动
B．连杆ab的a端做匀速直线运动
C．连杆b端的滚珠做加速直线运动
D．连杆b端的滚珠做匀速直线运动
答案：C
题后反思
“关联”速度分解的步骤
(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向．
(2)确定合运动的两个效果．
(3)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系．
答案：C
解析：将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝v cos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝v cos θ，故选C.
1.(4分)如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，根据合运动与分运动的关系，以下分析正确的是( )
A．要想时间最短，船头应该朝向上游如图中2的方向
B．要想到达C点，船头应该朝向下游如图中的3方向
C．要想位移最短，船头应该指向1的方向
D．若船头朝向2，可能会在C点靠岸
答案：D
解析：要想时间最短，船头应垂直河岸，应朝向图中1的方向，故A错误；要想到达C点，合速度方向沿图中3方向，所以当水的流速大于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的2方向，当水的流速小于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的1方向，故B错误，D正确；当合速度方向指向1时渡河位移最短，则船头指向1时位移不是最短的，故C错误．
2.(6分)(多选)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸．船在静水中的速度为4 m/s，河宽80 m，水流速度为5 m/s.下列结论正确的是( )
A. 减小船速，过河时间不变
B．增加水速，过河时间不变
C．渡河时间为20 s
D．B点位于河对岸下游60 m
答案：BC
答案：B
解析：根据关联速度分解可得vB＝v cos θ，故选B.
4．(4分)如图所示，小船以大小v1(在静水中速度)，方向与河流上游成θ角的速度从O点处过河，恰好到达河正对岸P处，现在雨天水流变急(即v2增大)，要使小船仍到达正对岸且时间相同下列方法可取的是( )
A．不改变v1的大小，只减小θ角
B．不改变θ角，只增大v1的大小
C．增大v1的大小，同时适当减小θ角
D．增大v1的大小，同时适当增大θ角
答案：C
答案：C
答案：A
答案：A
解析：由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝v sin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确．
8．(4分)如图所示，AB杆和墙的夹角为α时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则下列关系正确的是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos α
C．v1＝v2tAn α D．v1＝v2sin α
答案：C
解析：将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为v1杆＝v1cos α，将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为v2杆＝v2sin α，由于v1杆＝v2杆，解得v1＝v2tAn α.故选C.
答案：B
10．(10分)如图所示，某人由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，河宽为120 m，水流速度为4 m/s，船在静水中的速度为3 m/s，求：
(1)小船渡河的时间；
(2)小船到达对岸的位置．
答案：(1)40 s (2)到达A对岸(或B)下游160 m处
答案：D
12．(6分)(多选)如图所示，沿水平地面向右运动的汽车通过跨过定滑轮的轻绳将重物匀速提起的过程中，下列说法正确的是( )
A．汽车做加速运动
B．汽车做减速运动
C．汽车对地面的压力减小
D．汽车对地面的压力增大
答案：BD
解析：如图所示，设绳子与水平方向的夹角为θ，将车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于物体的速度：根据平行四边形定则得v物＝v cos θ，物体匀速提起的过程中，绳子与水平方向的夹角为θ减小，所以汽车的速度减小，向右减速，故A错误，B正确；对汽车在竖直方向有FTsin θ＋FN＝mg，绳子的拉力FT与物体重力相等且不变，拉力与水平方向的夹角为θ减小，则FN增大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面的压力增大，故C错误，D正确．
13．(10分)如图所示，一条小河宽d＝300 m，一条小船最快能60 s到达对岸，若要到达正对岸，则需要75 s．若小船船头斜向下游，与河岸方向成α＝37°，船在静水中速度大小不变，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小船到达对岸的时间；
(2)小船到达对岸位置与出发点间的距离．
微专题培优提升一 运动的合成与分解的两个模型
探究点一 小船渡河问题
【情境思考】
一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河正面相对．驾着小船从码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B.驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移到C位置，这是为什么呢？
【思维提升】
1．模型条件
(1)小船同时参与两个匀速直线运动．
(2)一个分运动(水的运动)速度大小和方向保持不变，另一个分运动(船在静水中的运动)速度大小不变，方向可在一定范围内变化．
2．模型特点
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：船在静水中的速度v1、水的流速v2、船的实际速度v.
3．三种情况
情况 图示 说明
渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝
渡河 位移 最短 当v水当v水≥v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，此时小船的最短渡河位移为xmin＝，此时渡河时间t＝
例1 [2024·商洛市高一期末]某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示．抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为( )
A．30 s B．60 s
C．75 s D．100 s
[解题心得]
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
[试答]
题后反思
小船渡河问题的分析思路
练1 曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗，后来发展成为文人墨客诗酒唱酬的一种雅事．大家坐在河渠两旁，在上流放置觞(木质酒杯)，觞顺流而下，停在谁的面前，谁就取杯饮酒．如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东漂向下游时，突然吹来一阵风速不变的北风，则( )
A．觞可能沿着运动轨迹1垂直靠岸
B．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸
C．在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向
D．觞的加速度方向时刻改变
练2 通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中．我们把某次救人的情景简化为理想情境：河岸平直，河宽为100 m，河水流速为1 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则( )
A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为100 s
C．船在河水中的实际速度大小可能是2 m/s
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
探究点二 绳(或杆)端速度分解模型
【思维提升】
1．关联速度
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
2．常见的模型
例3 [2024·大连市第八中学高一检测]在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是( )
A．v0sin θ B．
C．v0cos θ D．
[解题心得]
例4 如图所示，水平面上有一圆形齿轮，可绕圆心位置的固定转轴O转动．MN为一光滑水平凹槽，带有锯齿的连杆ab的b端连有一光滑滚珠，滚珠左侧连接有水平推杆．ab连杆上的锯齿与齿轮咬合，当水平推杆向右推动滚珠时，ab连杆会带动齿轮转动．若在某次向右推动滚珠过程中，齿轮做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．连杆ab的a端做加速直线运动
B．连杆ab的a端做匀速直线运动
C．连杆b端的滚珠做加速直线运动
D．连杆b端的滚珠做匀速直线运动
[解题心得]
题后反思
“关联”速度分解的步骤
(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向．
(2)确定合运动的两个效果．
(3)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系．
练3 [2024·云南玉溪期末]如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为( )
A．v sin θ B．
C．v cos θ D．
温馨提示：请完成分层训练素养提升(三)
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探究点一
情境思考
答案：小船渡河同时参与了两个运动，一是小船沿与河岸垂直的方向运动；二是小船沿河岸顺流而下的运动．
[例1] 解析：船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆．所以最短的时间为tmin＝＝ s＝30 s，故选A.
答案：A
[例2] 解析：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝＝ s＝50 s.
又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角．
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v′合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角．
答案：(1)40 s 正对岸下游120 m处
(2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s
(3)船头指向与河岸的上游成60°角
练1 解析：若没有风吹，则觞随着河水自西向东漂向下游，现有北风吹来，根据图中风向，结合运动的合成，可知觞可能沿着运动轨迹3运动，但不可能沿着运动轨迹4垂直靠岸，因为觞具有自西向东的水流速度；由于风速不变，则觞的加速度方向不变，在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向．故选C.
答案：C
练2 解析：根据题意可知船速大于水速，当船的速度在沿着河岸方向与水流速度大小相等时，与水流速度方向相反时，可以到达正对岸，故A错误；当船头始终垂直河岸时，渡河时间最短为tmin＝＝ s＝50 s，船渡河的时间与河水的流动速度无关，故B、D错误；根据运动的合成可知，当船速方向与水流速度的方向为锐角时，船在河水中的实际速度大于2 m/s，故C正确．
答案：C
探究点二
[例3] 解析：
将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝v cos θ，解得v＝，故D正确，A、B、C错误．
答案：D
[例4] 解析：当水平推杆向右推动滚珠时，ab杆的a端即沿ab运动，又以b为圆心转动，故a端做曲线运动，故A、B错误；b的运动分解如下
因为齿轮做匀速圆周运动，所以v1大小不变，则连杆b端的滚珠速度为v＝，当水平推杆向右推动滚珠时，θ增大，则b端的滚珠做加速直线运动，故C正确，D错误．
答案：C
练3 解析：将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝v cos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝v cos θ，故选C.
答案：C
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