浙江省杭州市西湖区2025年5月初中毕业生学业水平练习数学试题（二模）
1．（2025·西湖二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m） -155 -154 -133 -430
其中海拔最低的是（ ）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：
-430<-155<-154<-133
∴海拔最低的是死海
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·西湖二模）以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．（2025·西湖二模）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功，据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳.数据228000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.228×1012 B．2.28×1011 C．22.8×1011 D．228×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
228000000000用科学记数法表示为2.28×1011
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·西湖二模）下列各式中，运算结果为6m5的是（ ）
A．2m3+4m2 B．（-3m3）2
C．12m5÷（2m） D．2m2·3m3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m3+4m2，不能合并，不符合题意；
B：（-3m3）2=9m6，错误，不符合题意；
C：12m5÷（2m）=6m4，错误，不符合题意；
D：2m2·3m3=6m5，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·西湖二模）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
6．（2025·西湖二模）如图，在中，点D在BC边上，，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵EF∥BD
∴△AEF∽△ABD
∴，A，C错误
∵FG∥DC
∴△AFG∽△ADC
∴
∴，B正确
∵FG∥DC
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据相似三角形判定定理及性质，平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·西湖二模）如图，AB为的直径，点在上，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；补角
【解析】【解答】解：∵AB为的直径，AB=2AC=6
∴OA=OB=OC=AC=3
∴△OAC是等边三角形
∴∠AOC=60°
∴∠BOC=120°
∴
故答案为：C
【分析】根据圆的性质可得OA=OB=OC=AC=3，再根据等边三角形判定定理可得△OAC是等边三角形，则∠AOC=60°，再根据补角可得∠BOC=120°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．（2025·西湖二模）反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限
∴k<0
∴二次函数图象开口朝下
对称轴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质可得k<0，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
9．（2025·西湖二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A． B．8 C．-8 D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴
∴
即m2-4×15=4
解得：m=
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025·西湖二模）已知△ABC中，AB2=AC（AC+BC），则（ ）
A．∠ABC=2∠ACB B．∠ACB=2∠ABC
C．∠ACB=2∠BAC D．∠BAC=2∠ABC
【答案】B
【知识点】正弦定理和余弦定理
【解析】 【解答】解：设△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
∵AB2=AC（AC+BC），即c2=b(b+a)
∵，代入上式可得：
，即
∵，即，代入上式可得：
∵
∴，即
整理得；
∴，即
故答案为：B
【分析】设△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，，由题意可得c2=b(b+a)，根据正弦定理即余弦定理进行判断即可求出答案.
11．（2025·西湖二模）因式分解：4x2-y2= 。
【答案】（2x+y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解 ：原式=（2x）2-y2=（2x+y）（2x-y）
【分析】直接利用平方差公式法分解即可。
12．（2025·西湖二模）若二次根式有意义，则a的取值范围为 .
【答案】a≤2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-a≥0
解得：a≤2
故答案为：a≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．（2025·西湖二模）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和a个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则a的值为 .
【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=4
故答案为：4
【分析】根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2025·西湖二模）如图，PA，PB为OO的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧AB上.若∠ACB=115°，则∠P的度数为 .
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：作所对的圆周角∠ADB
∵∠ADB+∠ACB=180°
∴∠ADB=180°-115°=65°
∴∠AOB=2∠ADB=130°
∵PA，PB为OO的两条切线，点A，B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴∠P+∠AOB=180°
∴∠P=180°-130°=50°
故答案为：50°
【分析】作所对的圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质可得∠ADB=180°-115°=65°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=2∠ADB=130°，再根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，则∠P+∠AOB=180°，即可求出答案.
15．（2025·西湖二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在一起总高度为16cm，则一个碗的高度为 cm.
【答案】7
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm
由题意可得：，解得：
∴一个碗的高度为7cm
故答案为：7
【分析】设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．（2025·西湖二模）如图，在中，，，点O为BC中点，连接AO，正方形ODEF在内部，边EF交AO于点G，连接AF，CE.若点G为EF中点，，，则线段CE的长为
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CD，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EJ⊥BC于点J，EJ交OD与点K
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点O为BC中点
∴
∵四边形ODEF是正方形，且
∴，
∵∠AOC=∠DOF=90°
∴∠AOF+∠AOD=∠AOD+∠COD
∴∠AOF=∠COD
在△AOF和△COD中
∴△AOF≌△COD
∴
∵点G为EF中点
∴
∵EJ⊥BC
∴∠EJC=∠AOC=90°
∴AO∥EJ
∴四边形EGOK是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∴
∵DH⊥BC
∴∠OHD=∠OFE=90°
∵∠AOF=∠COD
∴△OHD∽△OFG
∴
∴
∴
∵EJ⊥BC，DH⊥BC
∴EJ∥DH
∵
∴KJ是△ODH的中位线
∴
∴CJ=JH+CH=5，EJ=EK+KJ=3
∴
故答案为：
【分析】连接CD，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EJ⊥BC于点J，EJ交OD与点K，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据正方形性质可得，
，再根据角之间的关系可得∠AOF=∠COD，根据全等三角形判定定理可得△AOF≌△COD，则，再根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形EGOK是平行四边形，则，再根据边之间的关系可得DK，OK，根据勾股定理可得EK，再根据相似三角形判定定理可得△OHD∽△OFG，则，代值计算可得DH，根据勾股定理可得OH，CH，再根据直线平行判定定理可得EJ∥DH，再根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得CJ，EJ，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2025·西湖二模）计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：原式=4-9×2
=4-18
=-14
（2）解：原式=
=-1
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）化简绝对值，有理数的乘方，再根据有理数的乘法，减法计算即可求出答案.
（2）根据分式的减法即可求出答案.
18．（2025·西湖二模）某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图，（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）
抽取的学生的成绩频数表
组别/分 频数 频率
60～70 5 a
70～80 10 0.2
80～90 b c
90~100 18 0.36
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，c= .
（2）补全频数分布直方图。
（3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？
【答案】（1）0.1；17；0.34
（2）解：如图
（3）解：800×(0.34+0.36)=560
答：参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
样本容量为19÷0.2=50
∴a=5÷50=0.1
b=50-5-10-19=17
c=17÷50=0.34
故答案为：0.1；17；0.34
【分析】（1）根据60-70的频数与频率可得样本容量，再求出a，b，c值即可.
（2）根据（1）中b的值补全频数分别直方图即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应频率即可求出答案.
19．（2025·西湖二模）如图，在△ABC中，AD=3，BD=DC=4，∠ADC=45°·
（1）求线段AC的长.
（2）求tan∠ABC的值.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E
在Rt△ADE中，∠ADC=45°，AD=3
∴
∵CD=4
∴CE=CD-DE=1
在Rt△AEC中，
（2）解：∵BD=4，DE=3
∴BE=BD+DE=7
在Rt△ABE中，AE=3
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，解直角三角形可得AE=3，DE=3，再根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得BE，再根据正切定义即可求出答案.
20．（2025·西湖二模）在直角坐标系中，函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2.
（1）求k的值和点B的坐标.
（2）若函数y=2x的图象向下平移m（m>0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D.
①求m的值.
②求△ABD的面积.
【答案】（1）解：∵函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2
将x=2代入函数y=2x可得：y=2×2=4
∴A(2，4)
∴k=2×4=8
根据反比例函数与正比例函数的对称性可得：
点B的坐标为（-2，-4）
（2）解：①将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m
∵图象经过点C（3，1）
∴2×3-m=1，解得：m=5
②如图，
令x=0，则y=-5
∴D(0，5)
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将x=2代入函数 y=2x 可得y=4，则A(2，4)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得k=8，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标.
（2）①根据函数图象平移规律可得将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m，再根据待定系数法将点C坐标代入函数图象即可求出答案.
②根据y轴上过点的坐标特征可得D(0，5)，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
21．（2025·西湖二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PEIIAB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由。
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.
【答案】（1）解：正确，理由如下
由作图可知CP=CD=PE=DE
∴四边形CPED是菱形
∴PE∥AB
（2）解：连接PD，CE交点为O，设点P到AB的距离为h
∵四边形CPED是菱形
∴PD⊥CE
∴OP=OD=3，OC=OE
∴
∴EC=2OC=8
∵菱形CPED的面积为
∴
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）由作图可知CP=CD=PE=DE，根据菱形判定定理可得四边形CPED是菱形，则PE∥AB，即可求出答案.
（2）连接PD，CE交点为O，设点P到AB的距离为h，根据菱形性质可得OP=OD=3，OC=OE，再根据菱形面积即可求出答案.
22．（2025·西湖二模）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面。如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上.小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场.同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟.两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示。（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度。
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧.
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求t的值.
【答案】（1）解：（8800-800)÷（30-10)=400（米/分）
答：公交车的平均速度是400米/分
（2）解：当10≤t≤30时，小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为
s=800+400(t-10)=400t-3200
小慧距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为
s=200t+1800，
当小敏追上小慧时，得400t-3200=200t+1800，
解得t＝25.
答：同时出发后，经过25分小敏追上小慧.
（3）解：当10≤t≤30时，得
|400t -3200-(200t+1800)|=400
解得t=23或27.
答：小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，t的值为23或27
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据速度=路程 ÷时间即可求出答案.
（2）求出小慧和小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式，联立解析式，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·西湖二模）在直角坐标系中，设函数（m是常数）.
（1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标.
（2）若点A（n，，，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合.
①比较，的大小.
②若，，直接写出n的取值范围.
【答案】（1）解：当m=5时
令y=0，则
解得x=5或x=7
∴ 该函数图象与x轴的交点坐标 为 （5，0）（7，0）
（2）解：①由题意可得：
令n-m=k，则
顶点坐标为(1，-1)，开口朝上
∵n≠m+1
∴y1>1
∴＞
②n≠-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）②当时，
∴，解得：m=0或m=-4
当m=0时，
∴时，即
解得：n<-1或n>3
当m=-4时，
∴时，即
解得：n<-5或n>-1
综上所述，n的取值范围为n≠-1
【分析】（1）将m=5代入解析式，根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
（2）①将点A坐标代入解析式可得，令n-m=k，则，结合二次函数性质可得y1>1，再将点B坐标代入解析式可得y2=-1，再比较大小即可求出答案.
（2）将点C坐标代入解析式可得m值，分类讨论，结合题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
24．（2025·西湖二模）综合与实践
我们已经学过，在△ABC中，若∠ABC=90°，则三角形三边满足勾股定理：AC2=AB2+BC2.
（1）【知识应用】
如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC>AB，则AC2-AB2=BC（CD-BD），请说明理由.
（2）【拓展探究】
如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC的中点，连接BE.
求证：BE2-AC2=BD·BC.
（3）【拓展应用】
如图3，在△ABC中，点E在边AB上（不与点A，B重合），点F在边BC上（不与点B，C重合），连接EF，∠BEF=∠BCA，点O为△BEF的外心，连接OA，OC，求证：OC2-OA2=BC2-BA2.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2
∴AC2-AB2=AD2+CD2-(AD2+BD2)
=CD2-BD2
=(CD+BD)(CD-BD)
=BC（CD-BD）
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠BFE=∠CFE=90°
∴BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2
∵点E是AC的中点
∴
∴
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴EF∥AD
∵CE=AE
∴，即CF=DF
∴BF-CF=BF-DF=BD
∵BF+CF=BC
∴BE2-AC2=BD·BC
（3）证明：连接BO，EO，FO，延长BO交AC于点M
∵点O为△BEF的外心
∴BO=EO=FO
∴∠OBE=∠OEB，∠OBF=∠OFB，∠OEF=∠OFE
∴2(∠OBE+∠OFB+∠OFE)=180°
∴∠OBE+∠OFB+∠OFE=90°，即∠OBE+∠BFE=90°
∵∠BCA+∠AEF=180°
∴∠BAC+∠EFC=180°
∵∠BFE+∠EFC=180°
∴∠BFE=∠BAC
∴∠OBE+∠BAC=90°
∴∠AMB=90°
∴∠OMC=90°
∴OA2=OM2+AM2，OC2=OM2+CM2
∴OC2-OA2=OM2+CM2-(BM2+AM2)=CM2-AM2
∴OC2-OA2=BC2-BA2
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AD2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥BC于点F，则∠BFE=∠CFE=90°，根据勾股定理可得BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得EF∥AD，根据平行线分线段成比例定理可得，即CF=DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接BO，EO，FO，延长BO交AC于点M，根据三角形外角性质可得BO=EO=FO，根据等边对等角可得∠OBE=∠OEB，∠OBF=∠OFB，∠OEF=∠OFE，再根据角之间的关系可得∠OMC=90°，再根据勾股定理可得OA2=OM2+AM2，OC2=OM2+CM2，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1浙江省杭州市西湖区2025年5月初中毕业生学业水平练习数学试题（二模）
1．（2025·西湖二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m） -155 -154 -133 -430
其中海拔最低的是（ ）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
2．（2025·西湖二模）以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·西湖二模）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功，据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳.数据228000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.228×1012 B．2.28×1011 C．22.8×1011 D．228×109
4．（2025·西湖二模）下列各式中，运算结果为6m5的是（ ）
A．2m3+4m2 B．（-3m3）2
C．12m5÷（2m） D．2m2·3m3
5．（2025·西湖二模）据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
6．（2025·西湖二模）如图，在中，点D在BC边上，，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·西湖二模）如图，AB为的直径，点在上，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·西湖二模）反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·西湖二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A． B．8 C．-8 D．
10．（2025·西湖二模）已知△ABC中，AB2=AC（AC+BC），则（ ）
A．∠ABC=2∠ACB B．∠ACB=2∠ABC
C．∠ACB=2∠BAC D．∠BAC=2∠ABC
11．（2025·西湖二模）因式分解：4x2-y2= 。
12．（2025·西湖二模）若二次根式有意义，则a的取值范围为 .
13．（2025·西湖二模）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和a个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则a的值为 .
14．（2025·西湖二模）如图，PA，PB为OO的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧AB上.若∠ACB=115°，则∠P的度数为 .
15．（2025·西湖二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在一起总高度为16cm，则一个碗的高度为 cm.
16．（2025·西湖二模）如图，在中，，，点O为BC中点，连接AO，正方形ODEF在内部，边EF交AO于点G，连接AF，CE.若点G为EF中点，，，则线段CE的长为
17．（2025·西湖二模）计算：
（1）.
（2）.
18．（2025·西湖二模）某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图，（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）
抽取的学生的成绩频数表
组别/分 频数 频率
60～70 5 a
70～80 10 0.2
80～90 b c
90~100 18 0.36
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，c= .
（2）补全频数分布直方图。
（3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？
19．（2025·西湖二模）如图，在△ABC中，AD=3，BD=DC=4，∠ADC=45°·
（1）求线段AC的长.
（2）求tan∠ABC的值.
20．（2025·西湖二模）在直角坐标系中，函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2.
（1）求k的值和点B的坐标.
（2）若函数y=2x的图象向下平移m（m>0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D.
①求m的值.
②求△ABD的面积.
21．（2025·西湖二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PEIIAB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由。
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.
22．（2025·西湖二模）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面。如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上.小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场.同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟.两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示。（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度。
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧.
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求t的值.
23．（2025·西湖二模）在直角坐标系中，设函数（m是常数）.
（1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标.
（2）若点A（n，，，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合.
①比较，的大小.
②若，，直接写出n的取值范围.
24．（2025·西湖二模）综合与实践
我们已经学过，在△ABC中，若∠ABC=90°，则三角形三边满足勾股定理：AC2=AB2+BC2.
（1）【知识应用】
如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC>AB，则AC2-AB2=BC（CD-BD），请说明理由.
（2）【拓展探究】
如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC的中点，连接BE.
求证：BE2-AC2=BD·BC.
（3）【拓展应用】
如图3，在△ABC中，点E在边AB上（不与点A，B重合），点F在边BC上（不与点B，C重合），连接EF，∠BEF=∠BCA，点O为△BEF的外心，连接OA，OC，求证：OC2-OA2=BC2-BA2.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：
-430<-155<-154<-133
∴海拔最低的是死海
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
228000000000用科学记数法表示为2.28×1011
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m3+4m2，不能合并，不符合题意；
B：（-3m3）2=9m6，错误，不符合题意；
C：12m5÷（2m）=6m4，错误，不符合题意；
D：2m2·3m3=6m5，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵EF∥BD
∴△AEF∽△ABD
∴，A，C错误
∵FG∥DC
∴△AFG∽△ADC
∴
∴，B正确
∵FG∥DC
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据相似三角形判定定理及性质，平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；补角
【解析】【解答】解：∵AB为的直径，AB=2AC=6
∴OA=OB=OC=AC=3
∴△OAC是等边三角形
∴∠AOC=60°
∴∠BOC=120°
∴
故答案为：C
【分析】根据圆的性质可得OA=OB=OC=AC=3，再根据等边三角形判定定理可得△OAC是等边三角形，则∠AOC=60°，再根据补角可得∠BOC=120°，再根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限
∴k<0
∴二次函数图象开口朝下
对称轴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质可得k<0，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴
∴
即m2-4×15=4
解得：m=
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】正弦定理和余弦定理
【解析】 【解答】解：设△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
∵AB2=AC（AC+BC），即c2=b(b+a)
∵，代入上式可得：
，即
∵，即，代入上式可得：
∵
∴，即
整理得；
∴，即
故答案为：B
【分析】设△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，，由题意可得c2=b(b+a)，根据正弦定理即余弦定理进行判断即可求出答案.
11．【答案】（2x+y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解 ：原式=（2x）2-y2=（2x+y）（2x-y）
【分析】直接利用平方差公式法分解即可。
12．【答案】a≤2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-a≥0
解得：a≤2
故答案为：a≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=4
故答案为：4
【分析】根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：作所对的圆周角∠ADB
∵∠ADB+∠ACB=180°
∴∠ADB=180°-115°=65°
∴∠AOB=2∠ADB=130°
∵PA，PB为OO的两条切线，点A，B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴∠P+∠AOB=180°
∴∠P=180°-130°=50°
故答案为：50°
【分析】作所对的圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质可得∠ADB=180°-115°=65°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=2∠ADB=130°，再根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，则∠P+∠AOB=180°，即可求出答案.
15．【答案】7
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm
由题意可得：，解得：
∴一个碗的高度为7cm
故答案为：7
【分析】设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CD，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EJ⊥BC于点J，EJ交OD与点K
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点O为BC中点
∴
∵四边形ODEF是正方形，且
∴，
∵∠AOC=∠DOF=90°
∴∠AOF+∠AOD=∠AOD+∠COD
∴∠AOF=∠COD
在△AOF和△COD中
∴△AOF≌△COD
∴
∵点G为EF中点
∴
∵EJ⊥BC
∴∠EJC=∠AOC=90°
∴AO∥EJ
∴四边形EGOK是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∴
∵DH⊥BC
∴∠OHD=∠OFE=90°
∵∠AOF=∠COD
∴△OHD∽△OFG
∴
∴
∴
∵EJ⊥BC，DH⊥BC
∴EJ∥DH
∵
∴KJ是△ODH的中位线
∴
∴CJ=JH+CH=5，EJ=EK+KJ=3
∴
故答案为：
【分析】连接CD，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EJ⊥BC于点J，EJ交OD与点K，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据正方形性质可得，
，再根据角之间的关系可得∠AOF=∠COD，根据全等三角形判定定理可得△AOF≌△COD，则，再根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形EGOK是平行四边形，则，再根据边之间的关系可得DK，OK，根据勾股定理可得EK，再根据相似三角形判定定理可得△OHD∽△OFG，则，代值计算可得DH，根据勾股定理可得OH，CH，再根据直线平行判定定理可得EJ∥DH，再根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得CJ，EJ，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式=4-9×2
=4-18
=-14
（2）解：原式=
=-1
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）化简绝对值，有理数的乘方，再根据有理数的乘法，减法计算即可求出答案.
（2）根据分式的减法即可求出答案.
18．【答案】（1）0.1；17；0.34
（2）解：如图
（3）解：800×(0.34+0.36)=560
答：参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
样本容量为19÷0.2=50
∴a=5÷50=0.1
b=50-5-10-19=17
c=17÷50=0.34
故答案为：0.1；17；0.34
【分析】（1）根据60-70的频数与频率可得样本容量，再求出a，b，c值即可.
（2）根据（1）中b的值补全频数分别直方图即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应频率即可求出答案.
19．【答案】（1）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E
在Rt△ADE中，∠ADC=45°，AD=3
∴
∵CD=4
∴CE=CD-DE=1
在Rt△AEC中，
（2）解：∵BD=4，DE=3
∴BE=BD+DE=7
在Rt△ABE中，AE=3
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，解直角三角形可得AE=3，DE=3，再根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得BE，再根据正切定义即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2
将x=2代入函数y=2x可得：y=2×2=4
∴A(2，4)
∴k=2×4=8
根据反比例函数与正比例函数的对称性可得：
点B的坐标为（-2，-4）
（2）解：①将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m
∵图象经过点C（3，1）
∴2×3-m=1，解得：m=5
②如图，
令x=0，则y=-5
∴D(0，5)
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将x=2代入函数 y=2x 可得y=4，则A(2，4)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得k=8，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标.
（2）①根据函数图象平移规律可得将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m，再根据待定系数法将点C坐标代入函数图象即可求出答案.
②根据y轴上过点的坐标特征可得D(0，5)，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）解：正确，理由如下
由作图可知CP=CD=PE=DE
∴四边形CPED是菱形
∴PE∥AB
（2）解：连接PD，CE交点为O，设点P到AB的距离为h
∵四边形CPED是菱形
∴PD⊥CE
∴OP=OD=3，OC=OE
∴
∴EC=2OC=8
∵菱形CPED的面积为
∴
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）由作图可知CP=CD=PE=DE，根据菱形判定定理可得四边形CPED是菱形，则PE∥AB，即可求出答案.
（2）连接PD，CE交点为O，设点P到AB的距离为h，根据菱形性质可得OP=OD=3，OC=OE，再根据菱形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：（8800-800)÷（30-10)=400（米/分）
答：公交车的平均速度是400米/分
（2）解：当10≤t≤30时，小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为
s=800+400(t-10)=400t-3200
小慧距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为
s=200t+1800，
当小敏追上小慧时，得400t-3200=200t+1800，
解得t＝25.
答：同时出发后，经过25分小敏追上小慧.
（3）解：当10≤t≤30时，得
|400t -3200-(200t+1800)|=400
解得t=23或27.
答：小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，t的值为23或27
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据速度=路程 ÷时间即可求出答案.
（2）求出小慧和小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式，联立解析式，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：当m=5时
令y=0，则
解得x=5或x=7
∴ 该函数图象与x轴的交点坐标 为 （5，0）（7，0）
（2）解：①由题意可得：
令n-m=k，则
顶点坐标为(1，-1)，开口朝上
∵n≠m+1
∴y1>1
∴＞
②n≠-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）②当时，
∴，解得：m=0或m=-4
当m=0时，
∴时，即
解得：n<-1或n>3
当m=-4时，
∴时，即
解得：n<-5或n>-1
综上所述，n的取值范围为n≠-1
【分析】（1）将m=5代入解析式，根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
（2）①将点A坐标代入解析式可得，令n-m=k，则，结合二次函数性质可得y1>1，再将点B坐标代入解析式可得y2=-1，再比较大小即可求出答案.
（2）将点C坐标代入解析式可得m值，分类讨论，结合题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2
∴AC2-AB2=AD2+CD2-(AD2+BD2)
=CD2-BD2
=(CD+BD)(CD-BD)
=BC（CD-BD）
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠BFE=∠CFE=90°
∴BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2
∵点E是AC的中点
∴
∴
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴EF∥AD
∵CE=AE
∴，即CF=DF
∴BF-CF=BF-DF=BD
∵BF+CF=BC
∴BE2-AC2=BD·BC
（3）证明：连接BO，EO，FO，延长BO交AC于点M
∵点O为△BEF的外心
∴BO=EO=FO
∴∠OBE=∠OEB，∠OBF=∠OFB，∠OEF=∠OFE
∴2(∠OBE+∠OFB+∠OFE)=180°
∴∠OBE+∠OFB+∠OFE=90°，即∠OBE+∠BFE=90°
∵∠BCA+∠AEF=180°
∴∠BAC+∠EFC=180°
∵∠BFE+∠EFC=180°
∴∠BFE=∠BAC
∴∠OBE+∠BAC=90°
∴∠AMB=90°
∴∠OMC=90°
∴OA2=OM2+AM2，OC2=OM2+CM2
∴OC2-OA2=OM2+CM2-(BM2+AM2)=CM2-AM2
∴OC2-OA2=BC2-BA2
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AD2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥BC于点F，则∠BFE=∠CFE=90°，根据勾股定理可得BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得EF∥AD，根据平行线分线段成比例定理可得，即CF=DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接BO，EO，FO，延长BO交AC于点M，根据三角形外角性质可得BO=EO=FO，根据等边对等角可得∠OBE=∠OEB，∠OBF=∠OFB，∠OEF=∠OFE，再根据角之间的关系可得∠OMC=90°，再根据勾股定理可得OA2=OM2+AM2，OC2=OM2+CM2，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1
