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1.功与功率
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 (1)知道力做功的条件，掌握力做功的计算公式．
(2)理解正功、负功的含义，掌握求总功的方法．
科学思维 (1)了解做功是学习能量的切入点．
(2)学会用矢量分解方法推导得到做功计算的一般公式，体会把未知转化为已知的思想．
(3)学会从求和运算法则的角度理解做功是标量．
科学探究 通过课堂实验探究，观察实验现象，总结实验结论，体验实验探究的一般过程．
科学态度
与责任 了解生活中不同种类的能量形式，体验科学知识对社会进步的巨大作用，激发学习兴趣，产生努力学习，服务社会的人生观．
探究点一 功及其正负
1．功
两要素：力和力的方向上的位移
(1)内容：力对物体所做的功，等于________的大小，________的大小、力与位移夹角的________这三者的乘积．
(2)公式：W＝________．
(3)功是________(选填“标量”或“矢量”)．
力
位移
余弦
Fl cos α
标量
(4)功的单位；在国际单位制中，功的单位是________，简称________，符号是________．
(5)功的单位的物理意义：1 J等于________使物体在____________发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝________．
焦耳
焦
J
1 N的力
力的方向上
1 N·m
2．正功和负功
(1)正功和负功
α的取值 W的取值 含义
W＝0 力F________
W____0 力F对物体做________
W____0 力F对物体做________
>
<
不做功
正功
负功
(2)总功
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体
合力恒定，可用W总＝F合l cos α计算
所做功的________．
代数和
【情境思考】
1．
(1)足球运动员把足球踢出去后的过程，足球运动了一段距离，踢出后运动员对足球是否做功？
(2)举重运动员举着杠铃不动的过程中，运动员对杠铃做功吗？
(3)马拉雪橇时拉力方向和雪橇运动方向间有一个角度，在前进过程中马对雪橇做功吗？
答案：
(1)踢出后运动员对足球不做功．
(2)运动员对杠铃不做功．
(3)马对雪橇做功．
2．判断下面两种情况下人对车做功的情况．
答案：
甲：人的拉力对车的运动起到动力作用，人对车做正功．
乙：人的拉力对车的运动起到阻力作用，人对车做负功．
【思维提升】
1．功的理解
(1)做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移，其中位移是物体相对地面的位移．
(2)功是过程量，公式W＝Fl cos α适用于恒力做功．
(3)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功．
(4)公式W＝Fl cos α可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(l cos α)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(F cos α)l.
(5)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关．
(6)功描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的积累效应．
2．正功和负功的理解
(1)某个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功(正值)．例如，滑动摩擦力对物体做功－5 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为5 J．
(2)功是标量，功的正、负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正、负号．例如－8 J的功要比7 J的功多．
角度1 正、负功的判断
例1 [2024·北京昌平高一期末]雪车(也称“有舵雪橇”)比赛是冬奥会比赛项目之一．如图所示，在一段赛道上，运动员操控雪车无助力滑行，沿斜坡赛道由静止从A点滑行至B点，再沿水平赛道滑行至C点停下来．已知运动员和雪车的总质量为m，A、B两点间的竖直高度为h，雪车与赛道间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力的影响．运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做正功 B．支持力做正功
C．支持力做负功 D．摩擦力做正功
答案：A
解析：由题图可知，运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，重力方向与位移方向的夹角为锐角，根据W＝Gx cos θ，可知重力做正功，故A正确；支持力方向总是与运动方向垂直，支持力不做功，故B、C错误；摩擦力方向总是与运动方向相反，摩擦力做负功，故D错误．
题后反思
判断力做正、负功的方法
(1)根据力F和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形．
(2)根据力F与物体瞬时速度v方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形．
如图所示：
①若夹角θ是锐角，力做正功．
②若夹角θ是钝角，力做负功．
③若夹角θ是直角，力不做功．
例2 如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgl
答案：C
解析：支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Fl cos θ，W2＝－μ(mg－F sin θ)l，C正确，D错误．
答案：B
解析：小球速度方向与力F方向的夹角由锐角逐渐变为钝角，力F对小球先做正功后做负功，故选B.
练2 如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同．设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则( )
A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，则W1>W2
C．若水平面粗糙，则W1>W2
D．若水平面粗糙，则W1答案：A
解析：设两物块的位移均为l，则F1对A做的功为W1＝F1l cos α，F2对B做的功为W2＝F2l cos α，因F1＝F2，则W1＝W2，故B、C、D错误，A正确．
探究点二 总功的计算
【情境思考】
如图所示，当大鱼上钩逃跑时，钓鱼者根据大鱼的拉动情形快速将线轮调到松紧适度，既要使钓线的拉力尽快消耗大鱼的体力，又不至于让大鱼把钓线拉断．
(1)当大鱼逃跑时，钓线的拉力是否对大鱼做功？若做功，是做正功还是做负功呢？
(2)力对物体做正功和负功会产生什么不同的效果？
(3)如果有多个力对物体做功，怎么计算总功？
答案：
(1)当大鱼逃跑时，钓线拉力对大鱼做功；钓线拉力的方向与大鱼逃跑的方向夹角大于90°，cos α<0，所以钓线的拉力对大鱼做负功，阻碍大鱼前进．
(2)力做正功产生的效果是使物体加速，力做负功产生的效果是使物体减速．
(3)功是标量，有两个方法可以计算总功．第一个方法是先分别计算每个力所做的功，然后计算所有力所做功的代数和，就是总功；第二个方法是先求出物体所受到的合力，再计算合力所做的功，也等于总功．
【思维提升】
计算总功的两种方法
(1)几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和．若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…(负功连同负号一起代入计算)．
(2)几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功．若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合l cos α.
例3 [2024·福建期中]一个质量m＝150 kg的物体，受到与水平方向成α＝37°角斜向左上方的500 N的拉力F作用，在水平地面上移动的距离l＝5 m(如图所示)．物体与地面间的滑动摩擦力Ff＝100 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)力F对物体所做的功；
(2)摩擦力对物体所做的功；
(3)合外力对物体所做的总功．
答案：(1)2 000 J (2)－500 J (3)1 500 J
解析：
(1)根据W＝Fl cos α，
代入数据得WF＝500×5×0.8 J＝2 000 J.
(2)摩擦力做功为Wf＝－Ff·l＝－100×5 J＝－500 J.
(3)合外力做的总功为W总＝WF＋Wf＝2 000 J－500 J＝1 500 J．
练3 (多选)甲、乙两人共同推着一辆熄火的汽车沿平直路面匀速前进一段距离，甲、乙对汽车做的功分别为400 J和600 J，下列说法正确的是( )
A．两人对汽车做的总功为1 000 J
B．合外力对汽车做的功为0
C．阻力对汽车做的功为1 000 J
D．甲的推力一定小于乙的推力
答案：AB
解析：甲、乙对汽车做的功分别为400 J和600 J，两人对汽车做的总功为每个人对汽车做功的代数和，为1 000 J，故A正确；汽车沿平直路面匀速前进，合力为零，合外力对汽车做的功为零，故B正确；合力做功为零，两人对汽车做的总功为1 000 J，则阻力对汽车做的功为－1 000 J，故C错误；功由力、位移、力与位移的夹角决定，位移相同，但力的方向不确定，力的大小也无法确定，故甲的推力不一定小于乙的推力，故D错误．
探究点三 功率的理解及计算
【情境思考】
1．收割麦子时，如果人和收割机做功一样多，谁更快？
答案：收割机做功更快．
2．不同的起重机将重物吊起，它们的工作情况如下记录，如何比较哪台起重机做功多？哪台起重机做功快？
起重机 被吊重
物重力 匀速上
升速度 上升高度 所用时间
A 1×105 N 0.2 m/s 20 m 100 s
B 1×105 N 0.4 m/s 20 m 50 s
C 2×105 N 0.4 m/s 20 m 50 s
答案：
起重机A做功为WA＝GAh1＝2×106 J，
起重机B做功为WB＝GBh2＝2×106 J，
起重机C做功为WC＝GCh3＝4×106 J，
由此可知，起重机C做功最多．
可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢，起重机C做功最快．
公式 P＝Fv
适用
条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用于求平均功率 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，一般用于求瞬时功率
联系
角度1 功率的理解与计算
例4 [2024·台州市高一期中]从空中以2 m/s的初速度平抛一质量为1 kg的物体，物体在空中运动0.6 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体平抛运动过程中重力做的功；
(2)物体平抛运动过程中重力做功的平均功率；
(3)物体落地前重力的瞬时功率．
答案：(1)18 J (2)30 W (3)60 W
角度2 P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
例5 如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”．驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动．下列说法正确的是( )
A．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力
B．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率
C．徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功
D．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
答案：A
解析：根据P＝Fv可知，挂入低速挡是为了增大牵引力，A正确，B错误；徐徐踩下加速踏板是为了保持F缓慢增大使车慢慢启动，C、D错误．
角度3 功率与图像的综合问题
例6 起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是下列中的( )
答案：B
教你解决问题
练4 (人教教材变式——足球训练背景)在足球训练时，某运动员先后两次将足球(可视为质点)从同一地点踢飞出去，足球在空中第一、二次运动的轨迹分别如图中①、②所示，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．足球第一次被踢飞到落地的过程中受到的重力始终做正功
B．足球两次着地时受到的重力的瞬时功率相等
C．足球两次从被踢飞到落地的过程中受到的重力的平均功率相等
D．足球第一次着地时受到的重力的瞬时功率小于第二次着地时受到的重力的瞬时功率
答案：C
练5 如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
答案：(1)960 W (2)480 W
1．如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
答案：C
解析：A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景人对物体做了功．
2．汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率．如图所示是赛车越野比赛时正在爬坡的情形，为了能够顺利爬上陡坡，司机应该( )
A．拨1挡，减小油门 B．拨1挡，加大油门
C．拨5挡，减小油门 D．拨5挡，加大油门
答案：B
3．(多选)用起重机把质量为2.0×103 kg的物体以v＝5 m/s的速度匀速提高了5 m(g取10 m/s2)．下列说法正确的是( )
A．钢绳的拉力做功1.0×105 J
B．重力做功1.0×105 J
C．钢绳的拉力和重力做的总功为2.0×105 J
D．钢绳的拉力和重力做的总功为0
答案：AD
解析：物体匀速提升，由平衡条件F＝mg＝2.0×104 N，钢绳的拉力做功WF＝Fh＝2.0×104×5 J＝1.0×105 J，故A正确；重力做功WG＝－mgh＝－2.0×104×5 J＝－1.0×105 J，故B错误；钢绳的拉力和重力做的总功W总＝WF＋WG＝0，故C错误，D正确．
答案：B
5．如图所示，两个质量相同小球从水平地面上方同一点O分别以初速度v1、v2水平抛出，落在地面上的位置分别是A、B，O′是O在地面上的竖直投影，且O′A∶O′B＝1∶2，若不计空气阻力，则两小球( )
A．下落时间之比为1∶2
B．落地速度大小之比为1∶2
C．落地时重力的瞬时功率之比为1∶2
D．落地速度与水平夹角的正切值之比为2∶1
答案：D
1.(4分)关于功的概念，以下说法正确的是( )
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．某物体通过一段位移，作用在该物体上的力一定都做功
答案：B
解析：功是标量，A错误；功有正、负之分，但功的正、负不是表示方向，而是表示力对物体的做功效果，B正确；当力的方向和物体位移的方向垂直时，该力同样对物体不做功，C错误；当力与位移的夹角是90°时，力对物体不做功，D错误．
2．(6分)(多选)下列说法正确的是( )
A．－10 J的功大于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
答案：ABC
解析：功的正、负不代表大小，－10 J的功大于＋5 J的功，A正确；功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功，B正确，D错误；一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动，C正确．
3．(4分)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，现在使斜面体向右匀速移动距离L，物体相对斜面静止，则下列关于物体所受各力对物体做功的说法中正确的是( )
A．重力做正功 B．重力做负功
C．重力不做功 D．支持力不做功
答案：C
解析：由于物体的位移方向与重力方向垂直，所以重力不做功；物体受到的支持力方向垂直斜面向上，可知支持力方向与位移方向的夹角小于90°，则支持力做正功．故选C.
4．(4分)一飞船返回舱进入大气层后，在离地面20 km处打开减速伞，如图所示．在返回舱减速下降的过程中( )
A．合力做负功 B．重力做负功
C．空气阻力做正功 D．伞绳拉力做正功
答案：A
解析：飞船返回舱在减速下降过程中，空气阻力向上，重力向下，合力向上，绳拉力向上，而位移向下，故合力做负功，重力做正功，空气阻力做负功，绳的拉力做负功，故A正确，B、C、D错误．
答案：D
答案：C
解析：物体受恒力作用由静止开始运动，故做初速度为零的匀加速直线运动，则根据匀变速直线运动规律可知，0～t0时间内的位移x1与t0～2t0时间内位移x2的比值为x1∶x2＝1∶3，根据公式可知W2∶W1＝Fx2∶Fx1＝3，故选C.
7．(4分)[2024·青岛市第一中学高一期末]如图是无人机送货时的情景，其中无人机对货物做负功的是( )
A．加速上升 B．减速上升
C．匀速下降 D．悬停空中
答案：C
解析：加速上升时，位移向上，无人机对货物的拉力向上，则无人机对货物做正功，选项A错误；减速上升，位移向上，无人机对货物的拉力向上，则无人机对货物做正功，选项B错误；匀速下降，位移向下，无人机对货物的拉力向上，则无人机对货物做负功，选项C正确；悬停空中，位移为零，无人机对货物的拉力向上，则无人机对货物不做功，选项D错误．
8．(4分)[2024·山东省实验中学高一期末]仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目之一．根据该标准高三女生一分钟内完成55个以上仰卧起坐记为满分．若某女生(身高约1.6 m)一分钟内做了50个仰卧起坐，其质量为50 kg，上半身质量为总质量的0.6倍，仰卧起坐时下半身重心位置不变，g取10 m/s2.则测试过程中该女生克服重力做功的平均功率约为( )
A．10 W B．40 W C．100 W D．200 W
答案：C
9．(10分)[2024·江门市高一期末]质量为m＝20 kg的箱子静止在光滑水平面上．如果给这个箱子施加两个大小都是F＝50 N且互成120°角的水平恒力，问：
(1)3 s末箱子的速度v是多大？
(2)3 s内两个力对箱子做的总功是多少？
答案：(1)7.5 m/s (2)562.5 J
答案：(1)3 s (2)6 000 W
11.(4分)质量m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v t图像如图所示．g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
答案：B
解析：取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可知0～2 s内，－F－f＝mA1且A1＝－5 m/s2；2～4 s内，－F＋f＝mA2且A2＝－1 m/s2，联立以上两式解得F＝60 N，f＝40 N，A错误；由P＝Fv得4 s时拉力的瞬时功率为120 W，B正确；由W＝Fx，0～2 s内，W1＝－Fx1，2～4 s内，W2＝Fx2，由题图可知x1＝10 m，x2＝2 m，代入数据解得，4 s内拉力所做的功为－480 J，C错误；克服摩擦力做功W＝fs，摩擦力始终与速度方向相反，故s为路程，由题图可求得总路程为12 m，4 s内物体克服摩擦力做的功为480 J，D错误．
12．(12分)如图，某小学举行拍皮球比赛，一参赛者将皮球从0.8 m高度处以一定的初速度竖直向下拋出，皮球碰地反弹后恰好可以返回原来高度，此时参赛者立即用手竖直向下拍皮球，使皮球获得一个速度，之后皮球又恰能回到原来高度，如此反复．已知皮球每次碰地反弹的速率均为碰地前瞬间速率的0.8倍，皮球的质量为0.5 kg，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力和球与手、地面的接触时间．求：
(1)皮球来回运动一次的时间；
(2)参赛者拍皮球过程中做功的平均功率．
1.功与功率
探究点一 功及其正负
1．功
两要素：力和力的方向上的位移
(1)内容：力对物体所做的功，等于________的大小，________的大小、力与位移夹角的________这三者的乘积．
(2)公式：W＝________．
(3)功是________(选填“标量”或“矢量”)．
(4)功的单位；在国际单位制中，功的单位是________，简称________，符号是________．
(5)功的单位的物理意义：1 J等于________使物体在____________发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝________．
2．正功和负功
(1)正功和负功
α的取值 W的取值 含义
α＝ W＝0 力F________
0≤α＜ W____0 力F对物体做________
＜α≤π W____0 力F对物体做________
(2)总功
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体
合力恒定，可用W总＝F合l cos α计算
所做功的________．
【情境思考】
1．(1)足球运动员把足球踢出去后的过程，足球运动了一段距离，踢出后运动员对足球是否做功？
(2)举重运动员举着杠铃不动的过程中，运动员对杠铃做功吗？
(3)马拉雪橇时拉力方向和雪橇运动方向间有一个角度，在前进过程中马对雪橇做功吗？
2．判断下面两种情况下人对车做功的情况．
【思维提升】
1．功的理解
(1)做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移，其中位移是物体相对地面的位移．
(2)功是过程量，公式W＝Fl cos α适用于恒力做功．
(3)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功．
(4)公式W＝Fl cos α可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(l cos α)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(F cos α)l.
(5)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关．
(6)功描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的积累效应．
2．正功和负功的理解
(1)某个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功(正值)．例如，滑动摩擦力对物体做功－5 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为5 J．
(2)功是标量，功的正、负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正、负号．例如－8 J的功要比7 J的功多．
角度1 正、负功的判断
例1 [2024·北京昌平高一期末]雪车(也称“有舵雪橇”)比赛是冬奥会比赛项目之一．如图所示，在一段赛道上，运动员操控雪车无助力滑行，沿斜坡赛道由静止从A点滑行至B点，再沿水平赛道滑行至C点停下来．已知运动员和雪车的总质量为m，A、B两点间的竖直高度为h，雪车与赛道间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力的影响．运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做正功 B．支持力做正功
C．支持力做负功 D．摩擦力做正功
[解题心得]
题后反思
判断力做正、负功的方法
(1)根据力F和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形．
(2)根据力F与物体瞬时速度v方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形．
如图所示：
①若夹角θ是锐角，力做正功．
②若夹角θ是钝角，力做负功．
③若夹角θ是直角，力不做功．
角度2 恒力做功的计算
例2 如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgl
[解题心得]
练1 [2024·滨州高一检测]光滑圆弧固定，小球在图示恒力F作用下从最高点下滑的过程中，F( )
A．一直做正功
B．先做正功后做负功
C．一直做负功
D．先做负功后做正功
练2 如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同．设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则( )
A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，则W1>W2
C．若水平面粗糙，则W1>W2
D．若水平面粗糙，则W1探究点二 总功的计算
【情境思考】
如图所示，当大鱼上钩逃跑时，钓鱼者根据大鱼的拉动情形快速将线轮调到松紧适度，既要使钓线的拉力尽快消耗大鱼的体力，又不至于让大鱼把钓线拉断．
(1)当大鱼逃跑时，钓线的拉力是否对大鱼做功？若做功，是做正功还是做负功呢？
(2)力对物体做正功和负功会产生什么不同的效果？
(3)如果有多个力对物体做功，怎么计算总功？
【思维提升】
计算总功的两种方法
(1)几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和．若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…(负功连同负号一起代入计算)．
(2)几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功．若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合l cos α.
例3 [2024·福建期中]一个质量m＝150 kg的物体，受到与水平方向成α＝37°角斜向左上方的500 N的拉力F作用，在水平地面上移动的距离l＝5 m(如图所示)．物体与地面间的滑动摩擦力Ff＝100 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)力F对物体所做的功；
(2)摩擦力对物体所做的功；
(3)合外力对物体所做的总功．
[试答]
练3 (多选)甲、乙两人共同推着一辆熄火的汽车沿平直路面匀速前进一段距离，甲、乙对汽车做的功分别为400 J和600 J，下列说法正确的是( )
A．两人对汽车做的总功为1 000 J
B．合外力对汽车做的功为0
C．阻力对汽车做的功为1 000 J
D．甲的推力一定小于乙的推力
探究点三 功率的理解及计算
【情境思考】
1．收割麦子时，如果人和收割机做功一样多，谁更快？
2．不同的起重机将重物吊起，它们的工作情况如下记录，如何比较哪台起重机做功多？哪台起重机做功快？
起重机 被吊重 物重力 匀速上 升速度 上升高度 所用时间
A 1×105 N 0.2 m/s 20 m 100 s
B 1×105 N 0.4 m/s 20 m 50 s
C 2×105 N 0.4 m/s 20 m 50 s
【思维提升】
公式P＝和P＝Fv的比较
公式 P＝ P＝Fv
适用 条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用于求平均功率 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，一般用于求瞬时功率
联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论； (2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率； (3)当v为平均速度时，P＝Fv所求功率为平均功率
角度1 功率的理解与计算
例4 [2024·台州市高一期中]从空中以2 m/s的初速度平抛一质量为1 kg的物体，物体在空中运动0.6 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体平抛运动过程中重力做的功；
(2)物体平抛运动过程中重力做功的平均功率；
(3)物体落地前重力的瞬时功率．
[试答]
题后反思
求解功率的步骤
1．首先明确求哪个力的功率，即求某个力的功率，还是求物体所受合力的功率．
2．若求平均功率，应该明确求哪段时间内的平均功率，然后根据公式P＝或P＝Fv求解．
3．若求瞬时功率，需要明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv进行求解．如果F、v不同向，成夹角α，应用公式P＝Fv·cos α进行计算．尤其应该注意F与v的同时性．
角度2 P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
例5 如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”．驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动．下列说法正确的是( )
A．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力
B．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率
C．徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功
D．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
[解题心得]
角度3 功率与图像的综合问题
例6 起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是下列中的( )
教你解决问题
[解题心得]
练4 (人教教材变式——足球训练背景)在足球训练时，某运动员先后两次将足球(可视为质点)从同一地点踢飞出去，足球在空中第一、二次运动的轨迹分别如图中①、②所示，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．足球第一次被踢飞到落地的过程中受到的重力始终做正功
B．足球两次着地时受到的重力的瞬时功率相等
C．足球两次从被踢飞到落地的过程中受到的重力的平均功率相等
D．足球第一次着地时受到的重力的瞬时功率小于第二次着地时受到的重力的瞬时功率
练5 如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
1．如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
2．汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率．如图所示是赛车越野比赛时正在爬坡的情形，为了能够顺利爬上陡坡，司机应该( )
A．拨1挡，减小油门
B．拨1挡，加大油门
C．拨5挡，减小油门
D．拨5挡，加大油门
3．(多选)用起重机把质量为2.0×103 kg的物体以v＝5 m/s的速度匀速提高了5 m(g取10 m/s2)．下列说法正确的是( )
A．钢绳的拉力做功1.0×105 J
B．重力做功1.0×105 J
C．钢绳的拉力和重力做的总功为2.0×105 J
D．钢绳的拉力和重力做的总功为0
4．[2023·山东卷]《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景．引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动．水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动．每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高于水面H处灌入稻田．当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A． B．
C． D．nmgωRH
5．如图所示，两个质量相同小球从水平地面上方同一点O分别以初速度v1、v2水平抛出，落在地面上的位置分别是A、B，O′是O在地面上的竖直投影，且O′A∶O′B＝1∶2，若不计空气阻力，则两小球( )
A．下落时间之比为1∶2
B．落地速度大小之比为1∶2
C．落地时重力的瞬时功率之比为1∶2
D．落地速度与水平夹角的正切值之比为2∶1
温馨提示：请完成分层训练素养提升(二十一)
1．功与功率
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
1．(1)力 位移 余弦 (2)Fl cos α (3)标量 (4)焦耳 焦 J (5)1 N的力 力的方向上 1 N·m
2．(1)> < 不做功 正功 负功 (2)代数和
情境思考
1．答案：(1)踢出后运动员对足球不做功．
(2)运动员对杠铃不做功．
(3)马对雪橇做功．
2．答案：甲：人的拉力对车的运动起到动力作用，人对车做正功．
乙：人的拉力对车的运动起到阻力作用，人对车做负功．
[例1] 解析：由题图可知，运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，重力方向与位移方向的夹角为锐角，根据W＝Gx cos θ，可知重力做正功，故A正确；支持力方向总是与运动方向垂直，支持力不做功，故B、C错误；摩擦力方向总是与运动方向相反，摩擦力做负功，故D错误．
答案：A
[例2] 解析：支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Fl cos θ，W2＝－μ(mg－F sin θ)l，C正确，D错误．
答案：C
练1 解析：小球速度方向与力F方向的夹角由锐角逐渐变为钝角，力F对小球先做正功后做负功，故选B.
答案：B
练2 解析：设两物块的位移均为l，则F1对A做的功为W1＝F1l cos α，F2对B做的功为W2＝F2l cos α，因F1＝F2，则W1＝W2，故B、C、D错误，A正确．
答案：A
探究点二
情境思考
答案：(1)当大鱼逃跑时，钓线拉力对大鱼做功；钓线拉力的方向与大鱼逃跑的方向夹角大于90°，cos α<0，所以钓线的拉力对大鱼做负功，阻碍大鱼前进．
(2)力做正功产生的效果是使物体加速，力做负功产生的效果是使物体减速．
(3)功是标量，有两个方法可以计算总功．第一个方法是先分别计算每个力所做的功，然后计算所有力所做功的代数和，就是总功；第二个方法是先求出物体所受到的合力，再计算合力所做的功，也等于总功．
[例3] 解析：(1)根据W＝Fl cos α，
代入数据得WF＝500×5×0.8 J＝2 000 J.
(2)摩擦力做功为Wf＝－Ff·l＝－100×5 J＝－500 J.
(3)合外力做的总功为W总＝WF＋Wf＝2 000 J－500 J＝1 500 J．
答案：(1)2 000 J (2)－500 J (3)1 500 J
练3 解析：甲、乙对汽车做的功分别为400 J和600 J，两人对汽车做的总功为每个人对汽车做功的代数和，为1 000 J，故A正确；汽车沿平直路面匀速前进，合力为零，合外力对汽车做的功为零，故B正确；合力做功为零，两人对汽车做的总功为1 000 J，则阻力对汽车做的功为－1 000 J，故C错误；功由力、位移、力与位移的夹角决定，位移相同，但力的方向不确定，力的大小也无法确定，故甲的推力不一定小于乙的推力，故D错误．
答案：AB
探究点三
情境思考
1．答案：收割机做功更快．
2．答案：起重机A做功为WA＝GAh1＝2×106 J，
起重机B做功为WB＝GBh2＝2×106 J，
起重机C做功为WC＝GCh3＝4×106 J，
由此可知，起重机C做功最多．
可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢，起重机C做功最快．
[例4] 解析：(1)物体下落的高度为h＝gt2＝×10×0.62 m＝1.8 m，
物体平抛运动过程中重力做的功为WG＝mgh＝18 J.
(2)物体平抛运动过程中重力做功的平均功率为P＝＝30 W.
(3)物体落地瞬间竖直向下的速度为vy＝gt＝6 m/s，
物体落地前重力的瞬时功率为PG＝mgvy＝60 W.
答案：(1)18 J (2)30 W (3)60 W
[例5] 解析：根据P＝Fv可知，挂入低速挡是为了增大牵引力，A正确，B错误；徐徐踩下加速踏板是为了保持F缓慢增大使车慢慢启动，C、D错误．
答案：A
[例6] 答案：B
练4 解析：足球第一次被踢飞到落地的过程中，足球先向上运动后向下运动，重力先做负功再做正功，故A错误；足球着地时受到的重力的瞬时功率P＝mgv cos θ＝mgvy＝mg，第一次足球的最高点比第二次足球的最高点高，可知足球第一次着地时受到的重力的瞬时功率大于第二次受到的重力的瞬时功率，故B、D错误；足球两次从被踼飞到落地的过程中受到的重力做功为零，故足球两次从被踢飞到落地的过程中受到的重力的平均功率相等，故C正确．
答案：C
练5 解析：(1)水平面对物体的支持力大小FN＝mg－F sin 37°＝10×10 N－100×0.6 N＝40 N，
由牛顿第二定律得物体的加速度大小a＝＝ m/s2＝6 m/s2，
第2 s末，物体的速度大小v＝at＝12 m/s，
第2 s末，拉力F对物体做功的功率P＝Fv cos 37°＝960 W.
(2)从开始运动到物体前进12 m，所用时间为t′＝ ＝ s＝2 s，
该过程中拉力对物体做功W＝Fl cos 37°＝100×12×0.8 J＝960 J，
拉力对物体做功的平均功率＝＝ W＝480 W.
答案：(1)960 W (2)480 W
导练 随堂检测诊断 落实学科素养
1．解析：A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景人对物体做了功．
答案：C
2．解析：赛车爬坡时要克服重力做功，因此需要较大的牵引力，由功率P＝Fv得牵引力F＝，为了能够顺利爬上陡坡，应增大发动机的输出功率P和减小速度v，才能获得更大的牵引力F，因此应拨1挡，加大油门．故选B.
答案：B
3．解析：物体匀速提升，由平衡条件F＝mg＝2.0×104 N，钢绳的拉力做功WF＝Fh＝2.0×104×5 J＝1.0×105 J，故A正确；重力做功WG＝－mgh＝－2.0×104×5 J＝－1.0×105 J，故B错误；钢绳的拉力和重力做的总功W总＝WF＋WG＝0，故C错误，D正确．
答案：AD
4．解析：以n个水筒为研究对象(关键：研究多对象时，以单位长度上的水筒为对象)，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，则筒车对长度l内的水筒中流入稻田的水做的总功W＝60%nlmgH＝，做这些功所用时间t＝＝，做功的功率为P＝＝，B正确．
答案：B
5．解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，平抛运动的时间取决于下落的高度，而题中两种情况下落的高度相同，故所用时间相同，在水平方向上有xO′A＝v1t，xO′B＝v2t，故初速度大小之比为1∶2，竖直分速度vy＝gt相等，所以落地时速度大小之比不是1∶2，故A、B错误；落地时重力的瞬时功率P＝mgvy相同，故C错误；落地速度与水平地面夹角的正切值tan θ＝，因为竖直方向上的速度相同，所以落地速度与水平地面夹角的正切值之比为2∶1，故D正确．
答案：D
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