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3．向心加速度
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 (1)知道向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并能用来进行简单的计算．
(2)能根据问题情境选择合适的向心加速度公式．
科学思维 了解用极限思想分析匀速圆周运动的速度变化量．
科学探究 体验向心加速度的导出过程．
科学态度
与责任 通过向心加速度的方向和公式的学习，培养学生认识未知世界要敢于猜想的勇气和严谨的科学态度．
探究点一 向心加速度的理解
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________，这个加速度叫作向心加速度． 没有特殊情况
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向________，故向心加速度只改变速度的______，不改变速度的______.
描述速度方向变化的快慢
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向________，方向在时刻________，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
圆心
垂直
方向
大小
圆心
变化
【情境思考】
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案：(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心．小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心．
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．
【思维提升】
1．匀速圆周运动中的“变”与“不变”
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变．
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻改变．
2．向心加速度的方向特点
(1)指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直．
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变．所以一切圆周运动都是变加速曲线运动．
3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是变加速曲线运动．
例1 (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案：ABD
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．
练1 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
答案：C
解析：匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，所以A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误．
练2 (多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
答案：BD
解析：若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和切向方向的力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO方向的切向加速度，故D项正确．
ω2r
【情境思考】
如图所示，两个啮合的齿轮上，A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点．
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
【教材拓展】 阅读教材P32“思考与讨论”，同学们想一下A、B、C三点中哪一个点的向心加速度最大？
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
④an与r的关系图像：如图所示，由an r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
角度1 对向心加速度公式的理解
例2 (多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知( )
A．甲球运动时，线速度大小保持不变
B．甲球运动时，角速度大小保持不变
C．乙球运动时，线速度大小保持不变
D．乙球运动时，角速度大小保持不变
答案：AD
教你解决问题——图析
角度2 应用向心加速度公式定量计算
例3 在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动．小孩的向心加速度为多大？小孩受到的静摩擦力为多大？
答案：0.36 m/s2 10.8 N
解析：
由an＝ω2r可求得小孩的向心加速度
an＝0.62×1 m/s2＝0.36 m/s2.
小孩所受的静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，可得
f＝man＝30×0.36 N＝10.8 N.
角度3 传动装置中向心加速度的分析
例4 [2024·陕西渭南高一期末]我国古代的指南车是利用齿轮来指引方向的．指南车某部分结构如图所示，在A、B、C三个齿轮的边缘上分别取1、2和3三点，齿轮B和C在同一转动轴上，三个齿轮的半径分别为r1、r2、r3，且r2>r1>r3.下列说法正确的是( )
A．1和3的线速度大小关系：v1
B．1和2的角速度大小关系：ω1<ω2
C．1和3的周期大小关系：T1>T3
D．1和2的向心加速度大小关系：a1>a2
答案：D
题后反思
分析传送问题中的向心加速度要“看”“找”“选”
练3 2023年2月10日，“神舟十五号”航天员乘组圆满完成出舱既定任务，“黑科技”组合机械臂发挥了较大作用．图示机械臂绕O点旋转时，机械臂上A、B两点的线速度v、向心加速度a的大小关系正确的是( )
A．vAaB
C．vA>vB，aAvB，aA>aB
答案：A
解析：机械臂绕O点转动的过程中，机械臂上的两点A、B属于同轴转动，角速度相同，而根据v＝ωr，a＝ω2r可知，角速度相同的情况下，转动半径越大线速度越大，向心加速度越大，根据A、B两点的位置可知rA练4 [2024·扬州市邵伯高级中学高一月考]2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军．如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小．
答案：(1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
1．关于圆周运动的概念，以下说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是速度恒定的运动
B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快
C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心
D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度大小与角速度大小成正比
答案：D
解析：匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故A错误；做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变得越快，故B错误；只有匀速圆周运动的加速度方向始终指向圆心，变速圆周运动的加速度方向不指向圆心，故C错误；物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度大小与角速度大小成正比，故D正确．
2．“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现，拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
答案：C
3.[2024·温州市高一期末]光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示．一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是( )
A．线速度增大，角速度不变
B．线速度不变，角速度减小
C．线速度减小，向心加速度增大
D．角速度增大，向心加速度增大
答案：D
4.如图，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
答案：A
5．(多选)如图为某品牌自行车的部分结构．A、B分别是飞轮边缘和大齿盘边缘上的一个点．现在提起自行车后轮，转动脚蹬子，使大齿盘和飞轮在链条带动下转动，则下列说法正确的是( )
A．A、B两点的线速度大小相等
B．A、B两点的角速度大小相等
C．由图中信息可知，A、B两点的角速度之比为3∶1
D．由图中信息可知，A、B两点的向心加速度之比为3∶1
答案：ACD
1.(4分)物体在做匀速圆周运动的过程中，下列关于线速度、向心加速度说法正确的是( )
A．线速度方向都保持不变
B．线速度大小时刻改变
C．向心加速度大小保持不变
D．向心加速度方向保持不变
答案：C
2．(4分)如图所示，轻质细绳上端固定于天花板上，下端拴一小球．小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，细绳沿圆锥面旋转，这样就形成了圆锥摆．关于小球向心加速度的方向，下列说法正确的是( )
A．沿绳向上 B．指向圆心O
C．竖直向下 D．沿绳向下
答案：B
解析：由题可知，小球所受重力和绳子拉力的合力提供向心力，方向指向圆心；向心加速度的方向与向心力方向相同，均指向圆心．故选B.
3．(4分)如图所示，某机械上的偏心轮绕竖直轴转动，A、b是轮上质量相等的两个质点，下列描述A、b运动的物理量大小相等的是( )
A．线速度 B．角速度
C．向心力 D．向心加速度
答案：B
解析：a、b两点共轴转动，角速度相等，由于转动的半径不相等，根据v＝rω可知，两点转动的线速度大小不相等，根据A＝rω2、F＝mrω2可知，向心加速度大小和向心力大小都不相等，故B正确，A、C、D错误．
4．(6分)(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)( )
A．线速度大小之比为5∶4
B．周期之比为5∶4
C．向心加速度大小之比为4∶5
D．受到的合力大小之比为15∶14
答案：AD
5．(6分)(多选)[2024·北京海淀高一期中]如图所示，地球绕与赤道面垂直的地轴由西向东匀速转动，O为地心．A点和C点位于赤道上，B点与C点位于同一条经线上．以地心O为参考系，记A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB和vC，向心加速度大小分别为AA、AB和AC，绕地轴转动的周期分别为TA、TB和TC，下列说法正确的是( )
A．vA＝vC＞vB
B．TA＝TB＞TC
C．AA＝AC＞AB
D．AA、AB和AC的方向均始终指向地心O
答案：AC
6．(6分)(多选)如图所示是建筑工地上起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，O、M、N三点共线，此时M点的角速度为ω.已知MN＝2OM＝2L，则下列说法正确的是( )
A．M点的线速度方向垂直于液压杆
B．N点的角速度ωN＝ω
C．N点的向心加速度大小AN＝3ω2L
D．M、N两点的线速度大小关系为vN＝2vM
答案：BC
解析：液压杆收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，M、N点在吊臂上，做圆周运动，故线速度方向沿圆周该点的切线方向，垂直于吊臂，不垂直于液压杆，故A错误；M、N两点属于同轴转动，角速度相同，故N点的角速度等于ω，故B正确；根据向心加速度公式An＝ω2r，已知MN＝2OM＝2L，则rN＝3L，得AN＝3ω2L，故C正确；M、N两点的角速度相同，根据v＝ωr；rN＝3rM，得vN＝3vM，故D错误．
答案：B
8．(4分)[2024·苏州市高一联考]如图所示，光滑的凸轮绕O轴匀速转动，C、D是凸轮边缘上的两点，AB杆被限制在竖直方向移动，杆的下端A在O点正上方与凸轮边缘接触且被托住．凸轮位于图示位置时，AB杆正在上升．则( )
A．凸轮绕O轴沿逆时针方向旋转
B．凸轮上C、D两点线速度大小相等
C．凸轮上C、D两点角速度大小相等
D．凸轮上C、D两点向心加速度大小相等
答案：C
解析：由题知，AB杆正在上升，可知A点到轴心的距离在增大，故可判断凸轮的转动方向为顺时针，选项A错误；凸轮上C、D两点属于同轴转动，所以角速度相等，但它们到轴O的距离不同，由v＝rω可得，线速度大小不相等，选项B错误，C正确；凸轮上C、D两点的角速度相等，但它们到轴O的距离不同，由An＝rω2可得，加速度大小不相等，选项D错误．
9．(4分)如图所示，走时准确的时钟，分针与秒针由转动轴到针尖的长度之比是3∶4，则下列说法正确的是( )
A．分针与秒针的角速度之比为12∶1
B．分针与秒针的周期之比为1∶60
C．分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶80
D．分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶480
答案：C
10．(12分)[2024·新疆喀什高一期中]如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块，其质量为m＝2 kg.当圆盘转动的角速度ω＝2 rAd/s时，物块随圆盘一起转动．求：
(1)物块的线速度大小；
(2)物块的向心加速度大小．
答案：(1)0.4 m/s (2)0.8 m/s2
11.(4分)如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rAd/s
D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2
答案：A
12．(14分)2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000 m接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金．
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度v＝9 m/s时，滑过的距离x＝15 m，求加速度的大小；
答案：2.7 m/s2
解析：
根据速度位移公式有v2＝2Ax，
代入数据可得A＝2.7 m/s2.
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8 m、R乙＝9 m，滑行速率分别为v甲＝10 m/s、v乙＝11 m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道．3．向心加速度
探究点一 向心加速度的理解
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________，这个加速度叫作向心加速度．
没有特殊情况
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向________，故向心加速度只改变速度的______，不改变速度的______.
描述速度方向变化的快慢
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向________，方向在时刻________，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
【情境思考】
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
【思维提升】
1．匀速圆周运动中的“变”与“不变”
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变．
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻改变．
2．向心加速度的方向特点
(1)指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直．
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变．所以一切圆周运动都是变加速曲线运动．
3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是变加速曲线运动．
例1 (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[解题心得]
练1 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
练2 (多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
探究点二 向心加速度公式的理解和应用
1．向心加速度公式：an＝或an＝________．
可导出其他变形公式
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
【情境思考】
如图所示，两个啮合的齿轮上，A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点．
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
【教材拓展】 阅读教材P32“思考与讨论”，同学们想一下A、B、C三点中哪一个点的向心加速度最大？
【思维提升】
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m，可得向心加速度的大小an＝或an＝ω2r.
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
④an与r的关系图像：如图所示，由an r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
角度1 对向心加速度公式的理解
例2 (多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知( )
A．甲球运动时，线速度大小保持不变
B．甲球运动时，角速度大小保持不变
C．乙球运动时，线速度大小保持不变
D．乙球运动时，角速度大小保持不变
教你解决问题——图析
[解题心得]
角度2 应用向心加速度公式定量计算
例3 在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动．小孩的向心加速度为多大？小孩受到的静摩擦力为多大？
[试答]
角度3 传动装置中向心加速度的分析
例4 [2024·陕西渭南高一期末]我国古代的指南车是利用齿轮来指引方向的．指南车某部分结构如图所示，在A、B、C三个齿轮的边缘上分别取1、2和3三点，齿轮B和C在同一转动轴上，三个齿轮的半径分别为r1、r2、r3，且r2>r1>r3.下列说法正确的是( )
A．1和3的线速度大小关系：v1B．1和2的角速度大小关系：ω1<ω2
C．1和3的周期大小关系：T1>T3
D．1和2的向心加速度大小关系：a1>a2
[解题心得]
题后反思
分析传送问题中的向心加速度要“看”“找”“选”
练3 2023年2月10日，“神舟十五号”航天员乘组圆满完成出舱既定任务，“黑科技”组合机械臂发挥了较大作用．图示机械臂绕O点旋转时，机械臂上A、B两点的线速度v、向心加速度a的大小关系正确的是( )
A．vAaB
C．vA>vB，aAvB，aA>aB
练4 [2024·扬州市邵伯高级中学高一月考]2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军．如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小．
1．关于圆周运动的概念，以下说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是速度恒定的运动
B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快
C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心
D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度大小与角速度大小成正比
2．“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现，拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
3.[2024·温州市高一期末]光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示．一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是( )
A．线速度增大，角速度不变
B．线速度不变，角速度减小
C．线速度减小，向心加速度增大
D．角速度增大，向心加速度增大
4.如图，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
5．(多选)如图为某品牌自行车的部分结构．A、B分别是飞轮边缘和大齿盘边缘上的一个点．现在提起自行车后轮，转动脚蹬子，使大齿盘和飞轮在链条带动下转动，则下列说法正确的是( )
A．A、B两点的线速度大小相等
B．A、B两点的角速度大小相等
C．由图中信息可知，A、B两点的角速度之比为3∶1
D．由图中信息可知，A、B两点的向心加速度之比为3∶1
温馨提示：请完成分层训练素养提升(十一)
3．向心加速度
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
1．圆心
2．垂直 方向 大小
3．圆心 变化
情境思考
答案：(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心．小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心．
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．
[例1] 解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．
答案：ABD
练1 解析：匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，所以A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误．
答案：C
练2 解析：若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和切向方向的力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO方向的切向加速度，故D项正确．
答案：BD
探究点二
1．ω2r
情境思考
答案：(1)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比．
(2)A、B两个点的线速度相同，由an＝知向心加速度与半径成反比．
教材拓展
答案：C点．因A、B线速度相等，则应用向心加速度公式an＝，又因A的半径大于B的半径，可知，A的向心加速度小于B的向心加速度，B与C绕同一转轴转动，角速度相等，根据an＝ω2r可知半径大的向心加速度大，则C的向心加速度大，故C点的向心加速度最大．
[例2] 答案：AD
[例3] 解析：由an＝ω2r可求得小孩的向心加速度
an＝0.62×1 m/s2＝0.36 m/s2.
小孩所受的静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，可得
f＝man＝30×0.36 N＝10.8 N.
答案：0.36 m/s2 10.8 N
[例4] 解析：由题意可知1和2的线速度大小相等，即v1＝v2，根据ω＝，a＝，由于r2>r1，可知1和2的角速度大小关系为ω1>ω2，1和2的向心加速度大小关系为a1>a2，故B错误，D正确；由题意可知2和3的角速度相等，即ω2＝ω3，又有ω1>ω2，故有ω1>ω3，根据v＝ωr，T＝，结合r1>r3，可知1和3的线速度大小关系为v1>v3，1和3的周期大小关系为T1答案：D
练3 解析：机械臂绕O点转动的过程中，机械臂上的两点A、B属于同轴转动，角速度相同，而根据v＝ωr，a＝ω2r可知，角速度相同的情况下，转动半径越大线速度越大，向心加速度越大，根据A、B两点的位置可知rA答案：A
练4 解析：(1)女运动员做圆周运动的角速度ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s.
(2)根据v＝ωr得r＝＝ m＝1.5 m.
(3)根据向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝.
答案：(1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
导练 随堂检测诊断 落实学科素养
1．解析：匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故A错误；做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变得越快，故B错误；只有匀速圆周运动的加速度方向始终指向圆心，变速圆周运动的加速度方向不指向圆心，故C错误；物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度大小与角速度大小成正比，故D正确．
答案：D
2．解析：圆周运动的向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r，由题干信息知n＝50 r/s，r＝0.01 m，代入数据可得an接近，故C正确．
答案：C
3．解析：水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω＝可知角速度增大，根据a＝可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误．
答案：D
4．解析：时间相同，路程之比即线速度大小之比，为4∶3，A项正确；由于时间相同，运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，等于角速度之比，为3∶2，B项错误；线速度之比除以角速度之比等于半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝知，线速度平方之比除以半径之比即向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误．
答案：A
5．解析：A、B两点通过同一链条传动，线速度大小相等，故A正确；由公式ω＝可知，A、B两点的角速度大小不相等，且＝＝3，故B错误，C正确；由题可知大齿盘和飞轮的周长之比为＝＝3，则半径之比为＝3，由a＝可知，A、B两点的向心加速度与飞轮、大齿盘半径成反比，即＝＝3∶1，故D正确．
答案：ACD
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