第2课时 向心力表达式的应用
探究点一 向心力表达式的理解及应用
1．向心力的大小
(1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力．
(2)根据圆周运动规律求得：Fn＝mω2r＝m＝m()2r＝m(2πn)2r＝mωv.
2．向心力公式的瞬时性
对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值．
3．求解圆周运动问题必须进行的三类分析
几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
角度1 利用向心力公式进行简单计算
例1 [2023·全国甲卷]一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解题心得]
角度2 利用向心力公式解决匀速圆周的动力学问题
例2 2022年北京冬奥会上，我国选手夺得花样滑冰双人滑冠军．花样滑冰极具观赏性，体现了力与美的融合．图甲为花样滑冰男运动员牵着女运动员的手使其恰好做圆周运动，该过程可以简化为长L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动的模型，如图乙所示．当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
[规范答题示范]
题后反思
解决匀速圆周运动动力学问题的思路
练1 如图所示，把一个原长为20 cm，劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以 r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为( )
A．5.2 cm B．5.3 cm C．5.0 cm D．5.4 cm
练2 [2024·四川绵阳高一期末]如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直
杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为( )
A. B. C. D.
探究点二 变速圆周运动和一般的曲线运动
【情境思考】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景．
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝m＝mω2r还适用吗？
【思维提升】
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动所受的合力不指向圆心，产生两个方向的效果：
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度．
2．一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理．
①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
例3 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
[解题心得]
例4 [2024·南通市高一期末]如图所示，质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小明在最高点的速度为零，合力为零
B．小明在最低点的加速度为零，速度最大
C．最高点秋千对小明的作用力为mg
D．最低点秋千对小明的作用力为mg
[解题心得]
练3 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A. B. C． D．
1．下列说法中正确的是( )
A．只要物体做圆周运动，它所受的合力一定指向圆心
B. 做曲线运动的物体，受到的合力方向一定在不断改变
C．匀速圆周运动是匀速运动
D．向心力只改变做圆周运动的物体的速度方向，不改变速度的大小
2．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目．如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是( )
A．匀速圆周运动、沿F1方向
B．匀速圆周运动、沿F2方向
C．加速圆周运动、沿F3方向
D．减速圆周运动、沿F2方向
3.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
4.[2023·北京卷]在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R.下列说法正确的是( )
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C.若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
5．[2024·邯郸高一检测]图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
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第2课时 向心力表达式的应用
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
[例1] 解析：质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，
合外力等于向心力，根据F合＝Fn＝mr，
联立可得Fn＝r3，其中为常数，r的指数为3，
故题中n＝3.
故选C.
答案：C
[例2] 答案：(1) (2) (3) 2π
练1 解析：小球转动的角速度ω＝2πn＝12 rad/s，弹簧的弹力为小球做圆周运动提供向心力，即kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm，选项C正确．
答案：C
练2 解析：小球在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为r＝l sin 60°＝l，小球所受的合力提供向心力，即Fn＝mg tan 30°＝mg，由向心力公式Fn＝mω2r可得ω＝ ＝ ＝ ，故选A.
答案：A
探究点二
情境思考
答案：(1)小朋友做的是变速圆周运动．
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点，公式Fn＝m＝mω2r仍然适用．
[例3] 解析：当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
答案：A
[例4] 解析：小明在最高点时，速度为零，受力分析如图；已知F合＝mg sin 30°，F1＝mg cos 30°，解得F1＝mg，F合≠0，故A错误，C正确；小明在最低点速度最大，设最低点秋千对小明的作用力大小为F2，由牛顿第二定律，可得F2－mg＝man＝m>0，易知加速度不为零，秋千对小明的作用力F2大于mg，故B、D错误．
答案：C
练3 解析：斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cos α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动．到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cos α，且为水平方向．这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝m得ρ′＝C正确，A、B、D错误．
答案：C
导练 随堂检测诊断 落实学科素养
1．解析：只有做匀速圆周运动的物体所受合力才一定指向圆心提供向心力，A错误；物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合力方向不一定变化，如平抛运动，B错误；匀速圆周运动的速度大小不变，方向沿圆周的切线方向，时刻在变化，所以速度是变化的，是变速运动，C错误；向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，D正确．
答案：D
2．解析：翻滚过山车正在下行中，做加速圆周运动，合力方向应该与速度成锐角，即沿F3方向．故选C.
答案：C
3．解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确．
答案：D
4．解析：空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；
根据F＝mω2R，ω＝，
解得小球质量m＝，故B错误；
若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；
若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误．故选A.
答案：A
5.解析：(1)如图所示，对质点进行受力分析，图中F为绳子的拉力．质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
故F cos37°－mg＝0，解得F＝＝750 N.
(2)质点在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，有mg tan 37°＝mω2R，分析可知R＝d＋l sin 37°，
联立解得ω＝ ＝ rad/s.
答案：(1)750 N (2) rad/s
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第2课时 向心力表达式的应用
3．求解圆周运动问题必须进行的三类分析
几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
角度1 利用向心力公式进行简单计算
例1 [2023·全国甲卷]一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
角度2 利用向心力公式解决匀速圆周的动力学问题
例2 2022年北京冬奥会上，我国选手夺得花样滑冰双人滑冠军．花样滑冰极具观赏性，体现了力与美的融合．图甲为花样滑冰男运动员牵着女运动员的手使其恰好做圆周运动，该过程可以简化为长L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动的模型，如图乙所示．当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
[规范答题示范]
题后反思
解决匀速圆周运动动力学问题的思路
答案：C
答案：A
2．一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理．
①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
例3 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案：A
解析：当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
答案：C
答案：C
1．下列说法中正确的是( )
A．只要物体做圆周运动，它所受的合力一定指向圆心
B. 做曲线运动的物体，受到的合力方向一定在不断改变
C．匀速圆周运动是匀速运动
D．向心力只改变做圆周运动的物体的速度方向，不改变速度的大小
答案：D
解析：只有做匀速圆周运动的物体所受合力才一定指向圆心提供向心力，A错误；物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合力方向不一定变化，如平抛运动，B错误；匀速圆周运动的速度大小不变，方向沿圆周的切线方向，时刻在变化，所以速度是变化的，是变速运动，C错误；向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，D正确．
2．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目．如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是( )
A．匀速圆周运动、沿F1方向
B．匀速圆周运动、沿F2方向
C．加速圆周运动、沿F3方向
D．减速圆周运动、沿F2方向
答案：C
解析：翻滚过山车正在下行中，做加速圆周运动，合力方向应该与速度成锐角，即沿F3方向．故选C.
答案：D
解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确．
答案：A
5．[2024·邯郸高一检测]图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
答案：750 N
(2)转盘角速度的大小．
1.(4分)在光滑水平杆上穿着两个小球，其质量关系是m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
答案：D
解析：由题图可知，两球均由所受细线的拉力提供向心力，所以向心力相等，两球同轴转动，角速度也相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，m1＝2m2，联立解得r1∶r2＝1∶2.
2．(4分)一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中容易爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( )
A．A处 B．b处 C．c处 D．d处
答案：B
3．(4分)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来．该演员( )
A．受到四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．圆筒的角速度越大，演员所受的支持力越大
D．圆筒的角速度越大，演员所受的静摩擦力越大
答案：C
解析：根据受力分析可知，杂技演员受重力、支持力和竖直方向上的摩擦力，共三个力，A错误；指向圆心的只有支持力，因此是支持力提供向心力，B错误；圆筒的角速度越大，所需的向心力越大，因此演员所受的支持力越大，在竖直方向上，由于演员静止，摩擦力与重力在竖直方向上，两者平衡，因此静摩擦力大小不变，C正确，D错误．故选C.
4．(4分)如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是( )
A．线速度vA＝vB
B．角速度ωA>ωB
C．它们受到合力FA合>FB合
D．它们受到的摩擦力FfA>FfB
答案：C
解析：A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝ωr可知，选项A错误；由F合＝mω2r可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误．
答案：B
6．(10分)如图所示一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从如图所示位置从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s.(小球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图；
解析：由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示．
(2)小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小．
答案：3 N
7．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动．已知小球质量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rAd/s，细线长L＝0.20 m.
(1)求小球的线速度大小v、周期T、转速n；
(2)求细线对小球的拉力大小F；
答案：0.4 N
解析：细线对小球的拉力大小，根据牛顿第二定律得F＝mω2L＝0.4 N．
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力，求小球运行的最大线速度vm.
答案：2 m/s
8.(12分)如图所示，圆盘绕轴匀速转动时，在距离圆心0.8 m处放一质量为0.4 kg的金属块，恰好能随圆盘做匀速圆周运动而不被甩出，此时圆盘的角速度为2 rAd/s.求：
(1)金属块受到的最大静摩擦力．
答案：1.28 N
解析：金属块随圆盘恰好能做匀速圆周运动，由最大静摩擦力提供向心力，则有F向＝fmAx＝mω2r，fmAx＝0.4×22×0.8 N＝1.28 N.
(2)若把金属块放在距圆心1.25 m处，在角速度不变的情况下，金属块还能随圆盘做匀速圆周运动吗？并说明理由．
答案：不能 理由见解析
解析：因为角速度不变，根据F合＝mω2r可知，金属块距圆心的距离越大，金属块随圆盘做圆周运动需要的向心力越大，而圆盘对金属块的最大静摩擦力不变，提供的静摩擦力小于需要的向心力，所以金属块不能随圆盘做匀速圆周运动．
答案：40 N
解析：衣服所受弹力F＝mω2r＝40 N，
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力为F′＝F＝40 N.
(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数．
10．(10分)质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力大小之比．
答案：3∶2
解析：球所受的重力和水平面的支持力在竖直方向，且是一对平衡力，故球的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供．
分别隔离A、B受力分析，如图所示．A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：对A：FOA－FAB＝mrω2，
对B：F′AB＝2mrω2，又FAB＝F′AB，联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2.
