3．万有引力理论的成就
探究点一 天体质量、密度的计算
1．“称量”地球的质量
(1)思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为
考虑自转时万有引力不等于重力
m的物体所受的重力mg等于________________．
(2)关系式：mg＝________________．
(3)结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
(4)推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
2．计算天体的质量
知道行星的运行情况
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力由它们之间的________提供．
(2)关系式：G＝mr.
(3)结论：m太＝，测出行星公转周期T和它与太阳的距离r，就可以算出太阳的质量．
知三求一
(4)推广：已知引力常量G，只要测得卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，就可计算行星的质量．
【情境思考】
我们测量物体质量的常用工具如图所示，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
他“称量”的依据是什么？
【思维提升】
天体质量和密度的计算方法
方法 重力加速度法 环绕法
情境 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力，mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力，G＝m()2r(以T为例)
天体 质量 天体质量m0＝ 中心天体质量m0＝
天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝
说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出．例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．T为公转周期，r为轨道半径，R为中心天体半径
例1 2024年4月25日上午20时57分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射升空，然后采用自主快速交会对接模式与天和核心舱成功对接，对接于中国空间站天和核心舱径向对接口，形成三船三舱组合体．随后航天员乘组从飞船返回舱进入轨道舱．当天05时04分，在轨执行任务的神舟17号航天员乘组顺利打开舱门，迎接神舟18号航天员乘组入驻“天宫”．假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T.已知地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体．则( )
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．地球表面的重力加速度和组合体的向心加速度之比为
D．地球表面的重力加速度为()2R
[解题心得]
例2 (多选)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
[解题心得]
题后反思
1.求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量．
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径．
2．求解天体质量和密度时的方法
(1)重力加速度法
mg＝G→M＝
(2)环绕法
①G＝m(已知r、v)→M＝
②G＝mω2r(已知ω、r)→M＝
③G＝mr(已知r、T)→M＝
练1 2023年11月23日《中国日报》消息，11月23日18时00分04秒，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭及远征三号上面级成功将互联网技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．如果互联网技术试验卫星的轨道半径为r，周期为T，地球的半径为R，引力常量为G，则( )
A．地球的质量为 B．地球的质量为
C．地球的密度为 D．地球的密度为
练2 (多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
探究点二 天体运动的分析与计算
【情境思考】
太阳系的部分行星围绕太阳运动的示意图如图所示．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
【思维提升】
1．一个模型
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动．
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr.
(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力，由mg＝G，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代．该公式通常被称为黄金代换式．
3．四个重要结论
设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小．
例3 火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
[解题心得]
例4 如图所示是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知( )
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
[解题心得]
练3 两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比为TA∶TB＝8∶1，则( )
A．轨道半径之比rA∶rB＝4∶1
B．线速度之比vA∶vB＝2∶1
C．角速度之比ωA∶ωB＝1∶4
D．向心加速度之比aA∶aB＝1∶4
探究点三 发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，各自独立地
运动轨道偏离计算得出的轨道
利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
“笔尖下发现的行星”
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据________________，计算了彗星的轨道，发现三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为________年．
4．以海王星的发现为例，归纳发现未知天体的方法
例5 (多选)[2024·东北师大附中高一月考]万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象．下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C．牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
D．天王星被称为“笔尖上发现的行星”
[解题心得]
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
2．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的( )
A．速率变大，周期变小 B．速率变小，周期不变
C．速率变大，周期变大 D．速率变小，周期变小
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
4．[2024·湖南名校期中]为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器．假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期为T1；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为T2，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，下列说法正确的是( )
A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C．可以求得火星的密度为
D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
5.(多选)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
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3．万有引力理论的成就
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
1．(1)地球对物体的引力 (2)G
2．(1)万有引力
情境思考
答案：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝G得m地＝.
[例1] 解析：根据＝m()2(R＋h)解得M＝，A正确；根据ρ＝，V＝πR3解得ρ＝，B错误；在地球表面有mg＝G，对组合体有＝ma解得＝()2，C错误；设地球表面卫星运行轨道半径为r，根据＝m可知地球表面的卫星周期小于T，故地球表面的重力加速度大于()2R，D错误．
答案：A
[例2] 解析：根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得m月＝，月球体积V＝πR3，所以月球平均密度ρ＝＝，故B项正确，A项错误；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有G＝mg月，又m月＝，解得g月＝，故D项正确，C项错误．
答案：BD
练1 解析：根据G＝m可得地球的质量M＝，故A正确，B错误；地球的体积为V＝πR3可得地球密度为ρ＝，故C、D错误．
答案：A
练2 解析：根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．
答案：AB
探究点二
情境思考
答案：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
(2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系．
[例3] 解析：轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，得v＝ ，得＝ ＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝ ，得＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，得＝＝，故D错误．
答案：C
[例4] 解析：根据万有引力提供向心力有：G＝m()2r＝m＝mrω2＝man，可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，故A错误；公转速度v＝ ，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，故B错误；公转角速度ω＝，木星的轨道半径大于地球，故其公转角速度小于地球，故C正确；向心加速度an＝，金星的轨道半径小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D错误．
答案：C
练3 解析：根据万有引力提供向心力，有G＝m＝mr＝mω2r＝ma，解得r＝，v＝，ω＝，a＝，依题意，可得rA∶rB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2，ωA∶ωB＝1∶8，aA∶aB＝1∶16，故选A.
答案：A
探究点三
1．亚当斯 勒维耶 伽勒
3．万有引力定律 76
[例5] 解析：卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误．
答案：ABC
导练 随堂检测诊断 落实学科素养
1．解析：本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有＝mr，故GM＝，选项A正确．
答案：A
2．解析：根据G＝m可得v＝ ，故半径减小，速率增大；根据G＝mr可得T＝2π ，故半径减小，周期减小，A正确．
答案：A
3．解析：卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星质量为M，则＝mR，解得M＝，带入数据计算可得，M＝≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误．
答案：B
4．解析：设火星质量为M，“天问一号”质量为m，根据万有引力提供向心力有G＝mr，将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误；根据万有引力提供向心力G＝R，V＝πR3，求得火星的密度ρ＝，C正确、D错误．
答案：C
5．解析：两卫星均做匀速圆周运动，F万＝Fn，向心力选不同的表达形式分别分析，由G＝m，得＝＝ ，A错误；由G＝m()2r，得＝＝，B错误；由G＝mω2r，得＝＝，C正确；由G＝man，得＝＝，D正确．
答案：CD
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3．万有引力理论的成就
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 (1)理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
(2)理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转化为相关模型后进行求解．
科学思维 把圆周运动模型引入天体动理论，认为行星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
科学探究 学习估算地球和太阳质量和密度的科学方法，并且会把方法应用于其他星球质量和密度的求解．
科学态度
与责任 认识万有引力定律的科学成就，体会科学迷人魅力．
地球对物体的引力
万有引力
【情境思考】
我们测量物体质量的常用工具如图所示，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
他“称量”的依据是什么？
【思维提升】
天体质量和密度的计算方法
方法 重力加速度法 环绕法
情境 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
天体
质量
天体
密度
说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出．例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．T为公转周期，r为轨道半径，R为中心天体半径
例1 2024年4月25日上午20时57分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射升空，然后采用自主快速交会对接模式与天和核心舱成功对接，对接于中国空间站天和核心舱径向对接口，形成三船三舱组合体．随后航天员乘组从飞船返回舱进入轨道舱．当天05时04分，在轨执行任务的神舟17号航天员乘组顺利打开舱门，迎接神舟18号航天员乘组入驻“天宫”．假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T.已知地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体．则( )
答案：A
答案：BD
答案：A
答案：AB
探究点二 天体运动的分析与计算
【情境思考】
太阳系的部分行星围绕太阳运动的示意图如图所示．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
答案：C
例4 如图所示是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知( )
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
答案：C
练3 两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比为TA∶TB＝8∶1，则( )
A．轨道半径之比rA∶rB＝4∶1
B．线速度之比vA∶vB＝2∶1
C．角速度之比ωA∶ωB＝1∶4
D．向心加速度之比aA∶aB＝1∶4
答案：A
探究点三 发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，各自独立地
运动轨道偏离计算得出的轨道
利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．“笔尖下发现的行星”
亚当斯
勒维耶
伽勒
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据________________，计算了彗星的轨道，发现三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为________年．
万有引力定律
76
4．以海王星的发现为例，归纳发现未知天体的方法
例5 (多选)[2024·东北师大附中高一月考]万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象．下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C．牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
D．天王星被称为“笔尖上发现的行星”
答案：ABC
解析：卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误．
答案：A
2．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的( )
A．速率变大，周期变小 B．速率变小，周期不变
C．速率变大，周期变大 D．速率变小，周期变小
答案：A
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
答案：B
答案：C
答案：CD
1.(4分)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
答案：D
答案：AC
答案：D
4．(4分)一颗卫星绕X行星做圆形轨道运行，且轨道距离行星表面非常近．要估计行星X的密度，我们只需测量( )
A．卫星的周期 B．轨道半径
C．卫星的速度 D．行星X的质量
答案：A
答案：B
6．(4分)[2024·重庆八中高一月考]假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得其表面的重力加速度与地球上的相同，行星半径只有地球半径的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
答案：A
7.(4分)如图所示是“嫦娥五号”到达月球正面的巡视器．已知地球和月球的半径之比为4∶1，其表面的重力加速度之比为6∶1.则地球和月球的密度之比为( )
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1
答案：B
8．(6分)(多选)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，引力常量为G，则根据以上数据可解得的物理量有( )
A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的质量 D．太阳的质量
答案：ABD
答案：AC
答案：B
11．(4分)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案：A
12．(4分)为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信，我国新研制的“鹊桥二号”中继通信卫星计划2024年上半年发射，并定位在地月拉格朗日L2点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动．已知地、月中心间的距离约为L2点与月球中心距离的6倍，如图所示．则地球与月球质量的比值约为( )
A．36 B．49 C．83 D．216
答案：C
13．(10分)我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星．利用该卫星可对月球进行成像探测．如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知．
(1)求月球质量M2；
(2)求地球表面重力加速度g1.
