第十二章定义命题证明期末单元复习题（含解析）

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第十二章定义命题证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角
2．下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等.
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列语句，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接A，B两点 D．对顶角相等
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．同旁内角相等，两直线平行
C．钝角没有余角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若，，则 D．对顶角相等
7．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．对假命题：“若，则”举个反例，符合要求的反例是（ ）
A． B． C． D．
9．能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．定理可以推导出基本事实
B．定理都是真命题
C．定理和基本事实都不需要证明
D．基本事实不一定是真命题
11．下列语句中，是定义的是（　　）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
12．下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值）
14．能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ．
15．命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 ；
16．命题“垂直于同一直线的两直线平行”的题设是 ，结论是 ．
17．“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为 （选填“真”或“假”）命题．
三、解答题
18．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
19．命题：如果是不等于的数，那么一定大于．
(1)判断这个命题的真假；
(2)仿照题中命题，写一个关于与大小关系的真命题．
20．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设　　．
∵，
∴　　．
∵　　，
∴，这和　　矛盾，
∴假设　　不成立，即．
21．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交．
22．写出四个数学名词的定义．
23．下列说法对吗？请说明理由．
(1)每个定理都有逆定理．
(2)每个命题都有逆命题．
(3)假命题没有逆命题．
(4)真命题的逆命题是真命题．
24．命题：同位角相等
(1)请将上述命题改写：“如果······，那么·····”，并指出这个命题的条件与结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题．
《第十二章定义命题证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C A A A B B
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】根据反证法的步骤，先设原命题结论的反面成立，然后再进行判断．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，
应先假设这个三角形中有两个角是钝角．
故选：B．
【点睛】本题考查了用反证法证明命题的方法，理解原命题的结论的反面是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．
【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；
故选C．
3．C
【解析】略
4．C
【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题；
B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题；
C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题；
D．对顶角相等，是命题．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，平行线的判定、余角的概念、平行公理、实数的乘方，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
【详解】解：A、当，时，，，故本选项是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、钝角没有余角，是真命题，符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了命题与逆命题、真命题与假命题：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．解决本题的关键是分别写出这四个命题的逆命题，再判断逆命题的真假．
【详解】解：A选项：命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是“三个内角都相等的的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故A选项符合题意；
B选项：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定是全等三角形，所以这个逆命题是假命题，故B选项不符合题意；
C选项：命题“，，则”的逆命题是“若，则，”，当时，有可能是、异号并且正数的绝对值大，所以这个逆命题是假命题，故C选项不符合题意；
D选项：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，两个角相等不一定是对顶角，所以这个逆命题是假命题，故D选项不符合题意．
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键．
【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意；
④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．将各选项代入判断即可．
【详解】解：“若，则”举个反例，则反例应为小于等于1的数，故C、D不符合题意，
那么A、当时，，故A符合题意；
那么B、当时，，故B不符合题意，
故选：A．
9．B
【分析】当时，不成立，据此作答即可．
【详解】当时，，
当时，，
即“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是，
故选：B．
【点睛】本题考查了假命题中的举反例问题，同时也考查了绝对值的知识，得出当时，，是解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意；
B、定理都是真命题，正确，符合题意；
C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意；
D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
11．D
【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可．
【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意；
C、直角都相等，不是定义，不符合题意；
D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意；
故选：D．
12．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题；
②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题是假命题；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题．
综上所述，真命题有2个．
故选：B．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理，熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例即可．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求求解即可．
【详解】解：当，时，
有，但，故原命题是假命题.
故答案为：，．
14． ； ．
【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键．
【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以，
当，时，有，但，
∴，是假命题的反例，
故答案为：；．
15．如果两个角的余角相等，那么这两个角是等角
【分析】本题主要考查了逆命题的定义，正确理解原命题与逆命题的关系是关键．题设是：两个角是等角，结论是：它们的余角相等．把题设与结论互换即可得到逆命题．
【详解】解：命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
16． 两条直线都和同一条直线垂直 这两条直线平行
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【详解】解：∵该命题可改写为：如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线平行，
∴题设是：两条直线都和同一条直线垂直，结论是：这两条直线平行．
故答案为：两条直线都和同一条直线垂直，这两条直线平行．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
17．真
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边距离相等的点在角平分线上”，它是真命题．
故答案为：真
【点睛】本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
18．见解析
【分析】先假设结论不成立，反面成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】已知：四边形．
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
证明：假设四边形中没有一个角是钝角或直角，即，
于是．
这与“四边形的内角和为”矛盾，
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角．
【点睛】此题考查了反证法，解题关键要掌握反证法的步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
19．(1)这是一个假命题
(2)如果a小于，则．
【分析】本题考查了命题的真假，完全平方公式，整式的化简，关键是由完全平方公式计算出结果，才能说明问题．
（1）由，知不一定大于0，即可得到答案；
（2）利用与大小关系写出一个真命题.
【详解】（1）解：
，
∵不一定大于0，即不一定大于．
∴这个命题是假命题，
（2）解：
，
当，即时，，
∴如果a小于，那么一定大于．
20．；；；平角为；．
【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明．
【详解】证明：假设．
∵，
∴．
∵，
∴，这与平角为矛盾，
∴假设不成立，即．
故答案为：；；；平角为；．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
21．见解析
【分析】根据题意，先写出已知，求证，然后利用反证法证明即可解答本题．
【详解】已知：在同一平面内，直线，直线b与c相交，
求证：a与c相交．
证明：假设a与c不相交，则，
∵，
∴，
又∵已知直线b与c相交，
∴假设a与c不相交不成立，
∴a与c相交．
【点睛】本题考查平行线的性质、相交线、“反证法”，解答本题的关键是会用反证法证明问题．
22．答案不唯一，见解析
【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可．
【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程；
（2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解；
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程；
（4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．
23．(1)说法错误，理由见解析
(2)说法正确，理由见解析
(3)说法错误，理由见解析
(4)说法错误，理由见解析
【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：说法错误，理由如下：
每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题；
（2）解：说法正确，理由如下：
每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题；
（3）解：说法错误，理由如下：
每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题；
（4）解：说法错误，理由如下：
每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大．
24．(1)如果两个角是同位角，那么这两个角相等；条件是：两个角是同位角，结论是：这两个角相等；
(2)假命题
【分析】（1）根据如果后面为条件，那么后面为结论，进行改写即可；
（2）根据平行线的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
条件是：两个角是同位角，结论是这两个角相等；
（2）解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以此命题为假命题．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，命题条件，结论的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．
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