湖南省益阳市沅江市两校联考2025届九年级下学期中考二模数学试卷（含详解）

2024-2025学年下学期第二次中考质量检测试卷
数 学
注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示:
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1．一种面粉的外包装袋上标有“净含量：”，质监工作人员为了解这种面粉的质量是否标准，测量了下面4袋，其中不标准的为（ ）
A．60.01 B．61.01 C．59.95 D．60.05
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．叶绿体是植物进行光合作用的场所，某种叶绿体的直径约米．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
5．如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．三角形的内角和等于 D．如果两个角相等，那么它们是对顶角
8．如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
10．在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（ ）

A． B． C． D．5
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11．函数自变量的取值范围是 ．
12．直线向下平移5个单位，得到直线 ．
13．一元二次方程的解是
14．《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是 ．
15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ．
16．如图，扇形的圆心角为直角，边长为4的正方形的顶点分别在半径和上．则阴影部分的周长为 ．
17．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米．
18．如图，在正方形中，点为上的一点，的垂直平分线交于点，交于点，，交于点，连接．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上）
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中，．
21．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处．
(1)问避风港处距离灯塔有多远．
(2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，，
22．某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的总人数为______人．
(2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人．
(3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率．
23．2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？
24．如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点，，垂足为点，延长交于点，连接，．
(1)若，则_________度；
(2)求证：平分；
(3)若的半径为，，求的值．
25．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示．
(1)______，______，补全函数图象；
(2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于；
(3)连接，交于点，求平分时的值．
26．阅读短文，解决问题．
若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”．
(1)如图，平行四边形为的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明．
(2)在（1）的条件下，如图，．
①若，，求四边形的周长；
②如图，分别是的中点，连接，若，求的值．
参考答案
1．B
解析：解：一种面粉的外包装袋上标有“净含量：”，可知标准的范围是到，
A．60.01，符合标准，不符合题意；
B．61.01，不符合标准，符合题意；
C．59.95，符合标准，不符合题意；
D．60.05，符合标准，不符合题意．
故选：B．
2．D
解析：解：不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：D
3．D
解析：解：用科学记数法表示为，故D正确．
故选：D．
4．B
解析：解：把分式中的x与y都扩大2倍得，
则所得分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
5．D
解析：解：∵，两点的坐标分别为，，
∴得出坐标轴如图所示位置：
∴点的坐标为．
故选：D．
6．A
解析：解：，
∵，，
∴原式，
故选：．
7．D
解析：解：A、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
C、三角形的内角和等于，是真命题，不符合题意；
D、如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题，符合题意；
故选：D．
8．C
解析：解：如图：连接，
∵为的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
解析：解：∵反比例函数，
∴，
∵，
∴其图象经过点，故①正确；
∵，
∴其图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故②正确，③错误；
当时，，
∵在每一象限内，随的增大而减小，
∴当时，
综上，正确的说法是①②，
故选：．
10．B
解析：解：如图，过点作，
，
由题意可得为的垂直平分线，
，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度，
如图，
，
设，则，
，
，
，
，
则可得，
解得，
，
故选：B．
11．/
解析：解：根据题意，被开方数大于等于0，分母不等于0，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
解析：解：由“上加下减”的原则可知，直线向下平移5个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
13．，
解析：解：，
移项，得，
因式分解，得，
∴，，
解得，．
故答案为：，
14．
解析：解：该班学会炒菜的学生频数为：．
故答案为：．
15．
解析：解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5，
∴这个几何体的表面积是，
故答案为：．
16．
解析：解：连接，如图所示，
四边形是正方形，
，
，
，
，
阴影部分的周长，
故答案为：．
17．
解析：解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米，
由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，
由勾股定理得，分米，
∴需要走的最短路程是分米，
故答案为：．
18．①②④
解析：解：设相交于点，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，故①正确；
过点作交于，交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，故④正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：．
19．
解析：解：
．
20．；
解析：解：
当，时，原式
21．(1)海里
(2)能
解析：（1）由题意得，，海里．
如图，过点作于点，则．
在中，，
海里．
在中，，
海里．
答：避风港处距离灯塔约海里．
（2）如图，在中，
海里．
在中，，海里，
海里，
海里．
小时，
故轮船能在小时内赶到避风港处．
22．(1)40
(2)；420
(3)
解析：（1）解：本次抽样调查的总人数为（人．
故答案为：40．
（2）解：参加排球项目的学生人数为（人）．
扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为．
故答案为：．
（人．
参加“游泳”的人数大约为420人．
（3）解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种，
到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为．
23．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车
(2)200名
解析：（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，
根据题意得：，
解得：
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车．
（2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，
根据题意得：，
解得
．
．
∴当时，W取最小值，最小值为2360000．
答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少．
24．(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
解析：（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，连接，则，
∵是的直径，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵的半径为，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
25．(1)；；补全函数图象见解析
(2)
(3) 平分 时 的值为
解析：（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象，
当 时，从点正好运动到点，
，
点运动的速度，
当 时， ，
即，
，
，
；
当时，，
当时，从运动到点，停止，
，补全图象如图所示：
故答案为：；；补全图象见解析．
（2）当时，，，
，即，
整理得，
解得：，
，
；
当时，，
，即，
解得：，
；
综上分析可知，当时，的面积为的值不小于．
（3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为，
平分，
点为的中点，
点的坐标为：，
设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
点在上，
，
解得：，（舍去），
即平分时的值是．
26．(1)四边形为菱形，证明过程见详解
(2)①四边形的周长为；
②
解析：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
平分
四边形为菱形．
（2）①由（1）可知四边形为菱形，
设，
，
，，
．
．
，
解得
四边形的周长为；
②过作交于，如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
分别是的中点，
，
，
，
为的中点，
，
，，
，