广东省湛江市第二十一中学2025届高三5月启航热身模拟数学试题（含答案）

湛江市第二十一中学2025届高考启航模拟测试
数学
考试时间：120分钟，满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．25 C． D．20
3．中国营养学会把走路称为“最简单 最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能 血管弹性 肌肉力量等，甲 乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲走路里程的极差等于11 B．乙走路里程的中位数是27
C．甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数
D．甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差
4．已知为等比数列前项和，若，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ）
A．12 B．24 C．32 D．48
7．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．1 D．24
8．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数z满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．对应的点在第四象限
C． D．和是方程的两个根
10. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 零点为，
C. 图象的对称轴方程为，
D. 的单调递减区间为，
11．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若双曲线的离心率e=2，则m= .
13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ▲ ．
14．已知正六棱锥的高为,它的外接球的表面积是.若在此正六棱锥内放一个正方体,使正方体可以在该正六棱锥内任意转动,则正方体的棱长的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角所对的边分别是，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：.
18．（17分）．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
19.（17分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.
证明：直线与直线的斜率之积为定值；
B
A
C
A
C
D
D
B
BC
BC
ACD
48
50
（1）由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）由余弦定理得：
，代入得：，
根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，
的面积为：，故面积的最大值为.
16.（1）连接BD交AC于点H，连接HE.
因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点.
又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得.
由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE.
（2）因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD.
又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz.
又底面ABCD为边长为2的正方形，，则，
，；
；
设平面PAC的一个法向量为，则，即，
令，得，
设直线AE与平面PAC所成角为θ，，
即直线AE与平面PAC所成角正弦值为.
17.（1）因为，所以，
则，则.
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，
令，得.
令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
.
因为，所以，即.
18.（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
19.【1】由题意可设椭圆，
由椭圆的上定点为，则，
易知的中垂线为直线，由，则，
将代入椭圆，可得，解得，
所以椭圆.
【2】
由题意可知，则直线与直线的斜率相等，
由点位于直线上方，则可设斜率为，
设直线，代入椭圆，
整理可得，
，
则当时，直线与椭圆相切，可得，
设，，，
同理可得：设，，，
由为直线与的交点，则设，
当直线的斜率不存在时，，
整理可得，解得，则，
直线的斜率，所以；
当直线的斜率存在时，，解得，
直线的斜率，所以；
综上所述，直线与直线的斜率之积为定值，即为.