填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 √ × · 注 意 事 项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
H
H
D=C-N
N-C-CH
HC-C=N
-C=0
H
H
A
N
E
M
B
F
D
F
D武汉二中2025届高三全真模拟考试
数学试题
满分150分
一、单选题
1．已知集合，那么集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机事件A，B，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知）
A．31 B．32 C．33 D．34
6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知抛物线的焦点为，过点的直线与拋物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，数列的前项和为，且，，则（ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
二、多选题
9．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为
B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数是14
C．已知随机变量，若最大，则的取值集合是
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，2，3，，则
11．已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．关于原点对称
B．若圆与有公共点，则
C．存在轴上方的两点，使得
D．若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值
三、填空题
12．设随机变量服从正态分布，且，若，则 .
13.已知向量，满足，且在上的投影向量为，则 ．
14.如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）.记为曲线所围成图形的面积. 则数列的通项公式为
四、解答题
15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
16．在中，分别为角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.
17．已知双曲线过点且一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18.已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
19．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.武汉二中2025届高三全真模拟考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D B D C D B BD AD ACD
12.【答案】0.5 13.【答案】 14.【答案】
【详解】1．因为,所以.
2．，则.
3. 因为，所以，其中不符题意，
所以，所以.
4.因为，故，而，故，故，同理，故.
5.因为衰减学习率模型为，所以根据已知条件可得：①
② 用②式除以①式可得：,化简可得：.
将代入①式中可得：.所以衰减学习率模型为.
当学习率衰减到0.05以下时，即.
化简上述不等式得：，所以.
因为为正数，所以最小值取34.
6.设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，所以，
所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.
如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点，由题意可知．设，则，
易证，则，即，整理得，
解得，故．
8．因为，
所以
所以的图象关于点对称，因为，所以，
所以，所以，所以，又，，所以，，所以，所以，
所以，，所以.
9.对于A：由图象可知定义域不是，不满足；
对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D： 由函数定义可知D满足．故选：BD．
10．对于A，样本点的残差为，故A正确；
对于B，因为，所以分位数是，故B错误；
对于C，若最大，则，
解得，所以的取值集合是，，故C错误；
对于D，若且，2，3，，则，2，3，，
所以，故D正确．
11．对于A项，设曲线上任意一点为，则关于原点的对称也在曲线上，所以关于原点对称，故A项正确.
对于B项，不妨设，则曲线，要使圆与有公共点，则，得，因为有解，且，当且仅当时等号成立，所以，其他象限同理可证，故B项不正确.
对于C项，不妨设曲线上任意一点为，则关于轴的对称也在曲线上，所以曲线关于轴对称，此时的张角可取到最大或最小，对于，，设过两点，与曲线相切的直线斜率为，同理可得，此时，
所以，因为，所以存在轴上方的两点，使得，故C正确.
对于D项，设曲线上任意一点为，则点到轴的距离，设直线为，点到直线的距离，又因为，代入得，当时，为定值，故D正确.
12.【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称. 因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称. 已知3.5与关于对称，所以，可得：，移项可得：. 故答案为：0.5.
13. 【详解】因为向量在上的投影向量为，，所以，所以．
14.【详解】设图形的边长为，由题意可知，，边数是3；
根据图形规律，图形边长为，边数为每一条边都扩大4倍，即；
图形边长为，边数为；
以此类推，图形边长为，边数为；图形边长为，边数为；
而根据图形规律可知曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，每一个边增加的小等边三角形面积为，
则，整理后得，
又图形的面积，
由累加法可知，，，……，，
得，故答案为：
15．【答案】（1） （2）见解析
【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，
依题意，，，
因此，
所以智能客服的回答被采纳的概率为. ………………………………………………………………（6分）
（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望；.………………………………………………………（13分）
16．【答案】（1） （2）最大值为
【详解】（1）解：在中，因为，
由正弦定理可得，即，
可得,
因为，所以，可得，所以，
又因为，所以，所以，因为，所以.………………………（7分）
（2）解：由题意知：，，且，则，
根据正弦定理得，可得，
所以的周长
，
因为，所以当，即时，取得最大值，
此时，即周长的最大值为.…………………………………………（15分）
17.【答案】(1)双曲线的方程为；(2)存在定点
【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，
又双曲线过点，则代入得，双曲线的方程为；………………………（5分）
（2）设，，
假设在轴上存在定点，使直线与直线关于轴对称.
由题意知，直线的斜率一定存在，则设其方程为，
联立方程组，消去得：，
由题意知，即，
又有，，则，，，，
上式对恒成立，，
存在定点，使，即使直线与直线关于轴对称.…………………………（15分）
18.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1），记，，故单调递增，又，单调递增，所以，即.…………………………（4分）
（2），，若时，，则存在区间，使得单调递增，故必有，即，验证：当时，.由（1）可知，
，即在上单调递增，满足题意，综上，.………………………………………（10分）
（3）由（2）可知，当，时，，取，则①，
.②，，综上.……………………………………………………………………………（17分）
19．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【详解】（1）由题意可得：，
故 ………………（4分）
另解：取的中点，的中点，连接、、，
因为、分别为、的中点，所以，，
翻折前，中，，，，是的中点，是的中点，是的中点，
则，，，，，翻折后，则有，，，因为，为的中点，所以，，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
因为为的中点，所以，，故四边形为平行四边形，
所以，，故，，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以.
（2）过点在平面内作，垂足为点，
翻折前，因为，翻折后，则有，，
因为、平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，即是三棱锥的高.由（1）的图，在中，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
在中，，，，是的中点，则，，
所以，所以三棱锥的体积为.…………………………………………………………………（10分）
另解：由于，故平面，故
由于，故平面，在梯形中，设，则
故，故，，
又，故
（3）在平面中，过点作，交于点，因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，
设，则，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，则
，
因为，所以，则，当且仅当，即时，即时，等号成立.
所以平面与平面的夹角的余弦值的最大值为.…………………………………………（17分）
